1.線段的對(duì)稱最值題型（將軍飲馬）
平面幾何中涉及最值問題的相關(guān)定理有：兩點(diǎn)之間?,______最短點(diǎn)和直線之間___________最短翻折運(yùn)動(dòng)————軸對(duì)稱{
小結(jié)： 做對(duì)稱，選定點(diǎn)；倆定點(diǎn)，選方便，對(duì)稱軸，看動(dòng)點(diǎn)
例1 古希臘一位將軍騎馬，要從營(yíng)地A到城堡B處，途中馬需要飲水一次。問將軍怎么走路程最短？
解： (1)做點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B' (2)連接B’A，交直線MN于點(diǎn)C ∴點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)
小結(jié)：做對(duì)稱，選定點(diǎn)；倆定點(diǎn)，選方便，對(duì)稱軸，看動(dòng)點(diǎn)
證明： 在MN上任取另一點(diǎn)C'連接BC、BC'、AC'、B'C'∵M(jìn)N是B、B'的對(duì)稱軸，點(diǎn)C、C'在對(duì)稱軸上 ∴BC=B'C BC'=B'C'∴BC+AC=B'C+AC=AB'∴BC'+AC'=B'C'+AC'在△AB'C'中AB'＜B'C'+AC'∴BC+AC＜B'C'+AC' 即BC+AC最小
例1變式 已知P、Q是△ABC邊AB、AC上的點(diǎn)。你能在BC上確定一點(diǎn)R，使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？
解： (1)做點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P' (2)連接P'Q，交直線BC于點(diǎn)R ∴點(diǎn)R就是所求的點(diǎn)
技巧小結(jié)：先分析定邊，再分析動(dòng)邊
例2 一個(gè)將軍從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地OM吃草，再牽馬去河邊喝水，最后回到駐地A。問將軍怎么走路程最短？
解： (1)做點(diǎn)A關(guān)于直線OM、ON的對(duì)稱 點(diǎn)A'、A'' (2)連接A'、A''，交直線OM于點(diǎn)B，交直線ON于點(diǎn)C ∴先到B點(diǎn)吃草，再到C點(diǎn)喝水，再回駐地A路程最短
技巧小結(jié)：一定點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)，都對(duì)稱，再相連
例2變式 已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)。你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R，使△PQR周長(zhǎng)最短嗎？
解： (1)做點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱 點(diǎn)P'、P'' (2)連接P'、P''，交直線AB于點(diǎn)Q，交直線AC于點(diǎn)R ∴Q、R為所求點(diǎn)
例3 如圖，M為矩形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，N為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M和N使MN+MC的值最小。
解： 作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C' 過點(diǎn)C'作C'N⊥BC于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)M。 則此時(shí)的MN+MC最小。
技巧小結(jié)：三個(gè)點(diǎn)，一條線，垂線段，是最短
例4 如圖A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地某一處去牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷。請(qǐng)你幫助確定這一天的最短距離。
解： (1)做點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'；做點(diǎn)B關(guān)于NL的對(duì)稱點(diǎn)B'(2)連接A'、B'，草地于點(diǎn)C，交小河于點(diǎn)D ∴AC、CD、DB的和為最短距離
技巧小結(jié)：倆定點(diǎn)，倆動(dòng)點(diǎn)，看路徑，再對(duì)稱
1.怎么對(duì)稱，作誰的對(duì)稱？定點(diǎn)對(duì)稱軸是動(dòng)點(diǎn)所在直線2.對(duì)稱完以后和誰連接？和另外一個(gè)定點(diǎn)相連有兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的時(shí)候，兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)相連過對(duì)稱點(diǎn)作不在對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)所在直線的垂線段3.?所求點(diǎn)怎么確定？所連直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)。
做對(duì)稱，選定點(diǎn)；對(duì)稱軸，看動(dòng)點(diǎn)。
兩定點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)，選方便。
一定點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)，都對(duì)稱，兩相連。
兩定點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)，看路徑，再對(duì)稱。
三個(gè)點(diǎn)，一條線，垂線段，是最短。
2.線段的和差最值題型
線段和差最值的存在性問題解題策略1.三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖2）．2.兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng)．(如圖3)，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，即P′．
兩直線：y=k1x+b1與y=k2x+b2平行
兩直線：y=k1x+b1與y=k2x+b2垂直
例1 如圖，拋物線 與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段PA與PB中較長(zhǎng)的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。
求|PA－PB|的最小值與最大值
①當(dāng)|PA－PB|最小時(shí)為0，即PA=PB
幾何法設(shè)P(x, 0)
PA2=OP2+OA2=PB2=BH2+PH2
x2＋22＝(x－3)2＋62
②當(dāng)|PA－PB|最大時(shí)P、A、B三點(diǎn)共線
小結(jié)： 兩線段之差的最大值——構(gòu)造三角形 三角形兩邊只差小于第三邊
例2 如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離．
取AC中點(diǎn)D，連接OD，BD
OB最大=CD+BD=1+√2
小結(jié)：一線段最大值構(gòu)造三角形三角形兩邊之和大于第三邊
相關(guān)知識(shí)——直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
例3 如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙B和⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，求PE＋PF的最小值．
PE+BE+PF+AF=PE+PF+3
作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B’，交CD與點(diǎn)P
PE+PF=AB'-3=3
例4 如圖,在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，過點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F，求AF的最小值．
取AF中點(diǎn)D，連接DE則DE=AD=DF
作DH⊥CB于點(diǎn)D當(dāng)DE與DH重合時(shí)DE為最小值
小結(jié)：求一個(gè)線段的最小值 構(gòu)造直角三角形，斜邊不小于直角邊
例5 如圖，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△PAC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：連接CB交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P 則此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小 由題可求出坐標(biāo)B(3,0)，C(0,-3) 則BC所在直線為y=x-3, 題中拋物線的對(duì)稱軸為x=1 則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-2)
線段和差最值問題解題思路◆最小值——（構(gòu)造）將軍飲馬 構(gòu)造直角三角形，斜邊不小于直角邊◆最大值——構(gòu)造三角形兩線段之差最大值——三角形兩邊之差小于第三邊一線段最大值——三角形兩邊之和大于第三邊
1.如圖,∠AOB=30°,0C=5,OD=12,點(diǎn)E,F分別是射線OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),求CF+EF+DE的最小值.
2.如圖，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋2, 0)，求a為何值時(shí)，四邊形ABEF周長(zhǎng)最??？請(qǐng)說明理由．

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