?東莞中學(xué)?廣州二中?惠州一中?深圳實(shí)驗(yàn)?珠海一中?中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第一次六校聯(lián)考試題
數(shù)學(xué)
命題人 中山市中山紀(jì)念中學(xué) 李健?周勝 審題人 黃華
本試卷共22題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等信息填涂在答題卡的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將解答過程寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，只需將答題卡上交.
一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.或
2.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則的離心率等于（ ）
A. B.3 C. D.2
4.某種包裝的大米質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，根據(jù)檢測結(jié)果可知，某公司購買該種包裝的大米1000袋，則大米質(zhì)量以上的袋數(shù)大約是（ ）
A.5 B.10 C.20 D.40
5.已知等差數(shù)列的公差不為且成等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則（ ）
A. B.
C. D.
6.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)信號0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號0和1是等可能的，則接受信號為1的概率為（ ）
A.0.475 B.0.525 C.0.425 D.0.575
7.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.某學(xué)校組建了辯論?英文劇場?民族舞?無人機(jī)和數(shù)學(xué)建模五個(gè)社團(tuán)，高一學(xué)生全員參加，且每位學(xué)生只能參加一個(gè)社團(tuán).學(xué)校根據(jù)學(xué)生參加情況繪制如下統(tǒng)計(jì)圖，已知無人機(jī)社團(tuán)和數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的人數(shù)相等.下列說法正確的是（ ）

A.高一年級學(xué)生人數(shù)為120人
B.無人機(jī)社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為17人
C.若按比例分層抽樣從各社團(tuán)選派20人，則無人機(jī)社團(tuán)選派人數(shù)為3人
D.若甲?乙?丙三人報(bào)名參加社團(tuán)，則共有60種不同的報(bào)名方法
10.已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A.的圖象關(guān)于直線對稱
B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.當(dāng)時(shí)，
11.如圖，正方體的棱長為2，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.直線可能與平面相交
B.三棱錐與三棱錐的體積之和為
C.的周長的最小值為
D.當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，與平面所成角最大
12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.的解集為
B.當(dāng)時(shí)，
C.有且只有兩個(gè)零點(diǎn)
D.
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.幸福指數(shù)是衡量人們對自身生存和發(fā)展?fàn)顩r的感受和體驗(yàn)，即人們的幸福感的一種指數(shù).某機(jī)構(gòu)從某社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了12人，得到他們的幸福指數(shù)（滿分：10分）分別是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（也稱第一四分位數(shù)）是__________.
14.已知的展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中第5項(xiàng)是__________.
15.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖像都有對稱中心，其中滿足.已知三次函數(shù)，若，則__________.
16.法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日圓，已知橢圓，則C的蒙日圓O的方程為__________；在圓上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P能作橢圓C的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是__________.（第一空2分，第二空3分）
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（本小題10分）
已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列.
（1）求和；
（2）令，求數(shù)列的最大項(xiàng).
18.（本小題12分）
在中，為中點(diǎn)，.
（1）若，求的面積；
（2）若，求的長.
19.（本小題12分）.
如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面是棱上的動點(diǎn).

（1）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面：
（2）若，求點(diǎn)到平面距離的范圍.
20.（本小題12分）
某企業(yè)擁有甲?乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機(jī)抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個(gè)零件，測量其尺寸（單位：）得到如下統(tǒng)計(jì)表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于）和的零件為二等品，否則零件為三等品.
生產(chǎn)線







甲
4
9
23
28
24
10
2
乙
2
14
15
17
16
15
1
（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？

一等品
非一等品
合計(jì)
甲



乙



合計(jì)



（2）將樣本頻率視為概率，從甲?乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機(jī)抽取1個(gè)零件，每次抽取零件互不影響，以表示這2個(gè)零件中一等品的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，
（3）已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機(jī)裝箱出售，每箱60個(gè).產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進(jìn)行檢驗(yàn).若執(zhí)行檢驗(yàn)，則每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為5元，并將檢驗(yàn)出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗(yàn)，則對賣出的每個(gè)三等品零件支付120元賠償費(fèi)用，現(xiàn)對一箱零件隨機(jī)檢驗(yàn)了20個(gè)，檢出了1個(gè)三等品.將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請說明理由.
附：，其中
21.（本小題12分）
已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，短軸的頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為（點(diǎn)在軸的上方）為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，且直線與圓相切于點(diǎn)，求.
22.（本小題12分）
已知函數(shù).
（1）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)和有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
東莞中學(xué)?廣州二中?惠州一中?深圳實(shí)驗(yàn)?珠海一中?中山紀(jì)念中學(xué)
2024屆高三第一次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案
一?單選題，二多選題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
C
B
A
D
AC
BC
BD
ABD
三?填空題（第16題第一問2分，第二問3分）
13.7.85 14. 15.-2 16.
四?解答題
17.解：（1）解法一：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
所以，因?yàn)?，所?
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，
所以，即，解得
所以，所以.
解法二：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則.
所以，
所以所以
（2）因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，即，.
所以數(shù)列的最大項(xiàng)是第10項(xiàng)
18.解：（1）在中，，
由余弦定理可知，
因?yàn)?，所以?br /> 所以；
（2）在中，設(shè)，則由正弦定理，
即，得，所以，
，
所以，
所以，.
由正弦定理得：，即.
19.解：（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所?
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，且，
因?yàn)榍遥?，且?br /> 所以，四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?.
（2）取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)槭钦切危?
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br /> 所以，平面.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)?，則，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，
設(shè)，其中，則，
設(shè)平面的法向量，
所以，
令，得，
設(shè)點(diǎn)到平面距離為.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
綜上，點(diǎn)到平面距離的取值范圍是.
20.解：（1）由題意得列聯(lián)表如下：

一等品
非一等品
合計(jì)
甲
75
25
100
乙
48
32
80
合計(jì)
123
57
180


依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為零件是否為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián).
（2）由已知任取一個(gè)甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，
任取一個(gè)乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，
的所有可能取值為，則

的分布列為：

0
1
2





（3）由已知零件為三等品的頻率為，
設(shè)余下的40個(gè)零件中三等品個(gè)數(shù)為，則，

設(shè)檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和為，若不對余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，則，所以，
若對余下的所有零件進(jìn)行檢測，則檢驗(yàn)費(fèi)用為元，
應(yīng)對剩下零件進(jìn)行檢驗(yàn)..
21.解：（1）由題意知，四邊形為菱形，面積為，即，
又，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，直線的方程為，
由得，聯(lián)立得，

則，由，
得，
所以，
化簡得，易知原點(diǎn)到直線的距離，
又直線與圓相切，
所以，即
由，
得，即，
解得，則，滿足，所以，
在Rt中，.
22.解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，
設(shè)，
則，
，
令，得（舍負(fù)），.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
.
根據(jù)題意的取值范圍為
（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線，
則
，
，代入.
得
問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，
設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，.
問題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.
，
設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的最小值為.
由知，
故.
設(shè)，
則，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
的最小值等價(jià)于.
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，

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