?廣東省汕尾市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題
1、若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)( )
A.1 B.0或1 C.1或2 D.1或3
2、已知，，，則( )
A. B. C. D.或
3、將函數(shù)的圖象向左平移個周期后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為( )
A. B.
C. D.
4、已知直線a，b，l和平面，則下列命題正確的是( )
A.若，，則
B.若，，，，則
C.若，，，，則
D.若，，則
5、已知，，則( )
A. B. C. D.
6、在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，則直線與直線所成角的余弦值為( )
A.0 B. C. D.
7、在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則( )
A. B. C. D.
8、如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O的體積為( )

A. B. C. D.
二、多項選擇題
9、已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的有( )
A. B.
C. D.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱
10、已知函數(shù)，，且的最小正周期為，則下列說法正確的有( )
A.
B.當(dāng)時，的最小值為1
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.若為偶函數(shù)，則正實數(shù)的最小值為
11、下列說法正確的有( )
A.若，滿足，，則的最大值為3
B.向量在向量上的投影向量為
C.若，，且，則
D.若圓O中，弦AB的長為4，則
12、在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則( )
A.直線BN與直線是異面直線
B.直線與直線BN共面
C.直線AM與平面ABC所成角的正弦值為
D.點(diǎn)到平面的距離為
三、填空題
13、化簡______.
14、已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑是______.
15、在平行四邊形ABCD中，，，，則______.
16、如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，直徑分別是直角三角形ABC的斜邊AB，直角邊AC，BC，點(diǎn)E在以AC為直徑的半圓上，延長AE，BC交于點(diǎn)D.若，，，則的面積是______.

四、解答題
17、已知點(diǎn)，，.
(1)若，是實數(shù)，且，求的值；
(2)求與的夾角的余弦值.
18、已知函數(shù).
(1)求的最小正周期；
(2)在中，若，求的最大值.
19、如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，P是線段上的動點(diǎn).證明：
??
(1)平面BDF；
(2)平面BDF.
20、記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的面積.
21、如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，E為棱PB的中點(diǎn).證明：

(1)平面PBC；
(2)平面平面PCD.
22、如圖，已知直線，A是，之間的一個定點(diǎn)，且點(diǎn)A到，的距離分別為1，2，B是直線上的一個動點(diǎn)，作，且使AC與直線交于點(diǎn)C.設(shè)，的面積為.

(1)求的最小值；
(2)已知，，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.
參考答案
1、答案：B
解析：因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，
所以，解得：或，
故選：B.
2、答案：D
解析：因為，，故設(shè)，又，
所以，解得，
所以或.
故選：D
3、答案：D
解析：因為函數(shù)的最小正周期為，即，
故向左平移個周期后所得，
故選：D.
4、答案：B
解析：A選項，若，，可能，所以A選項錯誤.
B選項，若，，，，則，所以B選項正確.
C選項，若，，，，當(dāng)時，l與不一定垂直，所以C選項錯誤.
D選項，若，，可能，所以D選項錯誤.
故選：B
5、答案：C
解析：因為，，所以，
所以.
故選：C
6、答案：A
解析：取AB的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接DE,CE,EF,CF，
則，，
因為D為棱的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，，
因為，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以為直線與直線所成角，
因為在正三棱柱中，，
所以，,，
在中，由余弦定理得，
所以直線與直線所成角的余弦值為0，
故選：A

7、答案：D
解析：根據(jù)題意，，利用正弦定理得：，
再結(jié)合，可得，
由余弦定理：，所以D選項正確.
故選：D
8、答案：C
解析：根據(jù)題意，可得，,且，,
所以三棱錐可補(bǔ)成一個長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，
設(shè)長方體的外接球的半徑為R，可得，所以，
所以外接球的體積為.
故選：C.

9、答案：AB
解析：對于選項A，，故選項A正確；
對于選項B，，，所以，故選項B正確；
對于選項C，，故選項C錯誤；
對于選項D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，對應(yīng)的點(diǎn)為，點(diǎn),關(guān)于實軸對稱，故選項D錯誤.
故選：AB.
10、答案：AD
解析：由，
因為的最小正周期為，所以，所以，
所以A正確；
當(dāng)，可得，當(dāng)時，即時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以B不正確；
當(dāng)，可得，所以函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以C不正確；
由，若函數(shù)為偶函數(shù)，
可得，即，解得，
解得，當(dāng)時，，所以正實數(shù)的最小值為，所以D正確.
故選：AD.
11、答案：BD
解析：對于A，因為，，
所以，
因為，所以當(dāng)時，取得最大值5，所以A錯誤，
對于B，向量在向量上的投影向量為，所以B正確，
對于C，由，，得，
因為，所以或，所以C錯誤，
對于D，因為在圓O中，弦AB的長為4，
所以，
所以D正確，
故選：BD
12、答案：ABD
解析：對于A，因為平面，平面，平面，
由異面直線的定義可得，直線BN與是異面直線，故A正確；

對于B，連接MN,，由正方體的性質(zhì)知，因為，
又因為，所以，所以M,N,,B四點(diǎn)共面，
所以直線與直線BN共面，故B正確；

對于C，取DC的中點(diǎn)H，連接MH，由正方體的性質(zhì)知：平面ABC，
所以是直線AM與平面ABC所成角，
所以，
，故C錯誤；

對于D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，
所以，
因為，，
取DC的中點(diǎn)H，連接MH，由正方體的性質(zhì)知：平面ABC，
連接BH，所以，，
，所以，
所以，
，
所以由可得：，故D正確.
??
故選：ABD.
13、答案：
解析：




，
故答案為：
14、答案：1
解析：設(shè)圓錐的底面的半徑為r，圓錐的母線為l，
則由得，
而
故，
解得，
故答案為：1.
15、答案：24
解析：由于,所以，
故，
故答案為：24
16、答案：
解析：由題意得：，
所以，故，所以，
因為，所以
故
，
因為，，，所以，
又因為，，所以，
所以的面積是.
故選：A.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1），，，
，，，故


解得
（2），，，
，
故與的夾角的余弦值為.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）



的最小正周期為.
（2）由，即，，
得，即，
，

當(dāng)，即時，取得最大值
19、答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
解析：（1）如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接FO.
F為的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，
FO為的中位線，
.
又平面BDF，平面BDF，
平面BDF

（2）連接，，連接交于點(diǎn)，連接，如圖.
在正方體中，，
平面BDF，平面BDF，
平面BDF.
又為的中位線，
.
平面BDF，平面BDF，
平面BDF.
又平面，平面，，
平面平面BDF.
平面，
平面BDF.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）在中，由正弦定理及，
得，
又在中，，，
，
，
.
（2）在中，由余弦定理可知，
又，，
解得或（舍去），
故的面積為.
21、答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
解析：（1），且E為PB的中點(diǎn)，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，
在正方形ABCD中，，
又AB，平面PAB，，
平面PAB，
又平面PAB，
，
BC，平面PBC，，
平面PBC.
（2）設(shè)PD的中點(diǎn)為Q，連接AQ，如圖.
，
，
又，，PA，平面PAD，，
平面PAD，
平面PAD，，
又CD，平面PCD，，
平面PCD，
平面PAD，
平面平面PCD.

22、答案：(1)2
(2)答案見解析
解析：（1）在中，，則；
在中，，，則，
的面積.
，，
故當(dāng)，即時，取得最大值1，此時取得最小值2.
（2）由（1）知，，
.
不等式對任意的恒成立，
等價于對任意的恒成立.
令，則，
因為，所以，所以，
又，
.
令，其中，
，.
①當(dāng)時，，即；
②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，即；
③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，即
綜上，當(dāng)時，實數(shù)b的取值范圍是；
當(dāng)時，實數(shù)b的取值范圍.


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