?一、選擇題
1.（2019江蘇無(wú)錫，8，3分）如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A.20° B.25° C.40° D.50°

第8題圖 第8題答圖
【答案】B
【思路分析】本題考查切線的性質(zhì)，連接OA，先利用切線性質(zhì)求∠AOP，再借助等邊對(duì)等角求∠B.
【解題過(guò)程】∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∵∠APB=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=∠AOP=25°．故選B．
【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)

2.（2019四川自貢，12，4分）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，8），點(diǎn)C、F分別是直線x=-5和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，CF=10，點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)△ABE的面積取得最小值時(shí)，tan∠BAD的值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B.
【解析】
解：∵A（8，0），B（0，8），∠AOB=900，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=，∠OBA=450，
取D（-5，0），當(dāng)C、F分別在直線x=-5和x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵線段DH是Rt△CFD斜邊上中線，
∴DH=CF=10，
故D在以H為圓心,半徑為5的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)AD與圓H相切時(shí)，△ABE的面積最小.
在Rt△ADH中，AH=OH+OA=13,
∴AD=.
∵∠AOE=∠ADH=900，∠EAO=∠HAD，
∴△AOE∽△ADH，
∴，即，
∴OE=，
∴BE=OB-OE=.
∵S△ABE=BE·OA=AB·EG，
∴EG=.
在Rt△BGE中，∠EBG=450，
∴BG=EG=，
∴AG=AB-BG=.
在Rt△AEG中，
tan∠BAD=.
故選B.

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓的切線.

3. (2019浙江臺(tái)州,7,4分)如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8,以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓分別與邊AB,AC相切,則¤O的半徑為( )
A. B.3 C.4 D.

第7題圖
【答案】A
【解析】∵¤O與AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO＝OA,又∵在Rt△AOB中,,∴OD＝,故選A.

第7題答圖
【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì),角平分線的判定,三角函數(shù),勾股定理

4.（2019重慶市B卷，4，4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，若∠C＝40°則∠B的度數(shù)為（　　?。?br /> A.60° B.50° C.40° D.30°

【答案】Ｂ
【解析】圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，因?yàn)锳C是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，所以∠BAC＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，若∠C＝40°則∠B的度數(shù)為50°.故選Ｂ．
【知識(shí)點(diǎn)】切線定義，三角形內(nèi)角和 .


5.（2019重慶A卷，4，4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC與⊙O交于點(diǎn)D，連結(jié)OD．若∠C＝50°，則∠AOD的度數(shù)為（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
第4題圖

【答案】C
【解析】∵AC是⊙O的切線，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故選C．
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)



6.（2019廣東廣州，5，3分）平面內(nèi)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P到O的距離為2，過(guò)點(diǎn)P可作⊙O的切線條數(shù)為（　　）
A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條
【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半徑為1，點(diǎn)P到圓心O的距離為2，∴d＞r，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是：P在⊙O外，∵過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的2條切線，故選：C．
【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)
二、填空題
1.（2019湖南岳陽(yáng)，16，4分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PE，切點(diǎn)為M，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結(jié)論正確的是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①AM平分∠CAB；
②AM2=AC·AB；
③若AB=4，∠APE=30°，則的長(zhǎng)為；
④若AC=3，BD=1，則有CM=DM=．

【答案】①②④
【思路分析】①連接OM，運(yùn)用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；②連接BM，證明△AMC∽△ABM，則結(jié)論可證；③分別求出圓心角和半徑，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算；④先運(yùn)用平行線等分線段定理證明CM=DM，再證明△ACM∽△MDB，利用比例式進(jìn)行計(jì)算．
【解題過(guò)程】連接OM，BM

∵PE是⊙O的切線，
∴OM⊥PE．
∵AC⊥PE，
∴AC∥OM．
∴∠CAM＝∠AMO．
∵OA＝OM，
∴∠AMO＝∠MAO．
∴∠CAM=∠MAO．
∴AM平分∠CAB．選項(xiàng)①正確；
∵AB為直徑，
∴∠AMB=90o=∠ACM．
∵∠CAM=∠MAO，
∴△AMC∽△ABM．
∴．
∴AM2=AC·AB．選項(xiàng)②正確；
∵∠P=30°，
∴∠MOP=60°．
∵AB=4，
∴半徑r=2．
∴．選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
∵BD∥OM∥AC，OA=OB，
∴CM=MD．
∵∠CAM＋∠AMC=90°，∠AMC＋∠BMD=90°，
∴∠CAM＝∠BMD．
∵∠ACM=∠BDM=90°，
∴△ACM∽△MDB．
∴．
∴CM·DM=3×1=3．
∴CM=DM=．選項(xiàng)④正確；
綜上所述，結(jié)論正確的有①②④．
【知識(shí)點(diǎn)】圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)

2.（2019江蘇無(wú)錫，17，2分）如圖，在△ABC中，AC∶BC∶AB=5∶12∶13，O在△ABC內(nèi)自由移動(dòng)，若O的半徑為1，且圓心O在△ABC內(nèi)所能到達(dá)的區(qū)域的面積為，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.

第17題圖
【答案】25
【思路分析】本題考查動(dòng)圓與三角形的邊動(dòng)態(tài)相切問(wèn)題，由于Rt△ABC與Rt△O1O2O3的公共內(nèi)心，故可以通過(guò)兩個(gè)內(nèi)切圓半徑的差為1來(lái)求△ABC的周長(zhǎng).

【解題過(guò)程】如圖，圓心O在△ABC內(nèi)所能到達(dá)的區(qū)域是△O1O2O3，∵△O1O2O3三邊向外擴(kuò)大1得到△ACB，∴它的三邊之比也是5∶12∶13，∵△O1O2O3的面積=，∴O1O2=，O2O3=4，O1O3=，連接AO1與CO2，并延長(zhǎng)相交于I，過(guò)I作ID⊥AC于D，交O1O2于E，過(guò)I作IG⊥BC于G交O3O2于F，則I是Rt△ABC與Rt△O1O2O3的公共內(nèi)心，四邊形IEO2F四邊形IDCG都是正方形，∴IE=IF= =，ED=1，∴ID=IE+ED=，設(shè)△ACB的三邊分別為5m、12m、13m，則有ID==2m=，解得m=，△ABC的周長(zhǎng)=30m=25.
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)心的性質(zhì)，直角三角形的內(nèi)切圓

3.（2019山東省濟(jì)寧市，14，3分）如圖，O為Rt△ABC直角邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的⊙O與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)E，已知BC＝，AC＝3．則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】
【解析】在Rt△ABC中，∵，∴∠A＝30°．
∵⊙O與斜邊AB相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB．
設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ADO中，，解得r＝，
∴陰影的面積是S＝×π×()2＝π．
【知識(shí)點(diǎn)】銳角三角函數(shù)，扇形面積格式，圓的切線的性質(zhì)

4.（2019四川眉山，17，3分）如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則線段PQ長(zhǎng)的最小值為 ．

【答案】
【思路分析】連接OQ，由PQ為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OQ與PQ垂直，利用勾股定理列出關(guān)系式，由OP最小時(shí)，PQ最短，根據(jù)垂線段最短得到OP垂直于AB時(shí)最短，利用面積法求出此時(shí)OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值.
【解題過(guò)程】解：連接OQ，如圖所示，
∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=8，∴S△AOB= OA?OB=AB?OP，即OP==4，
∴PQ= ==．故答案為：.

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，等積法，最短距離問(wèn)題

5. (2019浙江寧波,17,4分)如圖,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12 ,點(diǎn)D在邊BC上,CD＝5,BD＝13.點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)半徑為6的P與△ABC的一邊相切時(shí),AP的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

第17題圖
【答案】或
【解析】半徑為6的P與△ABC的一邊相切,可能與AC,BC,AB相切,故分類討論:
①當(dāng)P與AC相切時(shí),點(diǎn)P到AC的距離為6,但點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng),距離最大在點(diǎn)D處取到,為5,故這種情況不存在;
②當(dāng)P與AC相切時(shí),點(diǎn)P到BC的距離為6,如圖PE＝6,PE⊥AC,∴PE為△ACD的中位線,點(diǎn)P為AD中點(diǎn),∴AP＝;

③當(dāng)P與AB相切時(shí),點(diǎn)P到AB的距離為6,即PF＝6,PF⊥AB,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,∴△APF∽△ADG∽△ABC,∴,其中,PF＝6,AC＝12,AB＝＝,∴AP＝;
綜上所述,AP的長(zhǎng)為或.

【知識(shí)點(diǎn)】切線性質(zhì),中位線,相似三角形,勾股定理

6.（2019湖北鄂州，16，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（3，4），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．點(diǎn)A、B在x軸上，且OA＝OB．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝90°，則AB長(zhǎng)度的最大值為　?。?br />
【答案】16
【解析】解：連接OC并延長(zhǎng)，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時(shí)AB的長(zhǎng)度最大，
∵C（3，4），
∴OC5，
∵以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．
∴⊙C的半徑為3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直徑，
∴∠APB＝90°，
∴AB長(zhǎng)度的最大值為16，
故答案為16．
【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)
三、解答題
1.（2019浙江金華，21，8分）如圖，在OABC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)B，與OC相交于點(diǎn)D.
（1）求的度數(shù)；
（2）如圖，點(diǎn)E在⊙O上，連結(jié)CE與⊙O交于點(diǎn)F.若EF=AB，求∠OCE的度數(shù).

（第21題圖）

【思路分析】本題考查了切線的性質(zhì)；垂徑定理；平行四邊形的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定；勾股定理；特殊角的銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用.
（1）連結(jié)OB，利用切線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)證△AOB是等腰直角三角形得∠ABO＝45°．利用平行線的性質(zhì)得∠BOC＝45°．由圓心角的弧度就是所對(duì)弧的度數(shù)得出結(jié)論．
（2）連結(jié)OE，作OH⊥EC．設(shè)EH＝t，先利用垂徑定理，平行四邊形的性質(zhì)證得CO＝2t，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得OH＝t，最后利用特殊角的銳角三角函數(shù)求出∠OCE的度數(shù).
【解題過(guò)程】解： 1）連結(jié)OB．
∵BC是⊙O的切線，
∴OB⊥BC，
∵四邊形OABC是平行四邊形
∴OA∥BC，∴OB⊥OA．
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠ABO＝45°．
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠ABO＝45°．
∴的的度數(shù)為45°；

（2）連結(jié)OE，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EC于點(diǎn)H，設(shè)EH＝t，
∵OH⊥EC，
∴EF＝2HE＝2t，
∵四邊形OABC是平行四邊形
∴AB＝CO＝EF＝2t，
∵△AOB是等腰直角三角形．
∴⊙O的半徑OA＝t．
∴在Rt△EHO中，OH＝＝＝t
在Rt△OCH中，∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°．
【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂徑定理；平行四邊形的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定；勾股定理；特殊角的銳角三角函數(shù)

2.（2019浙江湖州，23，10分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1分別交x軸和y軸于點(diǎn)A(－3，0)、B(0，3)．
（1）如圖1，已知⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與直線l1相切于點(diǎn)B，求⊙P的直徑長(zhǎng)；
（2）如圖2，已知直線l2：y＝3x－3分別交x軸和y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)Q是直線l2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q為圓心，2為半徑畫(huà)圓．
①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線l1與⊙Q相切；
②設(shè)⊙Q與直線l1相交于點(diǎn)M，N，連結(jié)QM，QN．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
圖1 圖2
第23題圖

【思路分析】（1）連接PO、PB，由切線的性質(zhì)得AB⊥BP，再由∠AOB＝90°，OA＝OB，得到∠OBA＝∠OAB＝45°，進(jìn)而得到△OPB是等腰直角三角形，由三角函數(shù)易求⊙P的直徑．（2）第①個(gè)問(wèn)題利用圓心到直線的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，計(jì)算點(diǎn)C到直線AB的距離與半徑2比較即可；②分兩種情況討論：若點(diǎn)Q在CF上，由等腰直角三角形的銳角為45°，加上∠BAC＝45°，得∠AGN＝90°，利用設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)并結(jié)合直線解析式，得到N的坐標(biāo)，從而建立關(guān)于點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的一元方程解之即可．另一種情況利用中心對(duì)稱性質(zhì)，結(jié)合上種情況將兩點(diǎn)坐標(biāo)交換一下，就輕松鎖定答案．
【解題過(guò)程】（1）如答圖1，連接PO、PB．
∵⊙P與直線l1相切于點(diǎn)B，
∴AB⊥BP．
∵A(－3，0)、B(0，3)，
∴OA＝OB＝3．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°．
∴∠PBO＝45°．
∵PB＝PO，
∴∠OPB＝90°．
在Rt△POB中，由sin∠PBO＝，得PO＝OB?sin∠PBO＝3×sin45°＝．
∴⊙P的直徑為3．
第23題答圖1
第23題答圖2

（2）①如答圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．易知C(1，0)，從而AC＝3＋1＝4．
在Rt△ACE中，由sin∠CAE＝，得CE＝AC?sin∠CAE＝4×sin45°＝2．
∵⊙Q的半徑為2，且點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，
∴⊙Q與直線l1相切．
第23題答圖4
第23題答圖3

②假設(shè)存在符合條件的等腰直角三角形，令直線l1、l2相交于點(diǎn)F．
易求直線AB的解析式為y＝x＋3．
分兩種情況討論如下：
若點(diǎn)Q在線段CF上，如答圖3，由∠MNQ＝∠NAG＝45°，得∠AGN＝90°，從而點(diǎn)Q、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，不妨令Q(m，3m－3)，則N(m，m＋3)，于是由NQ＝2，得(m＋3)－(3m－3)＝2，解得m＝3－，故Q(3－，6－3)．
若點(diǎn)Q在線段CF的延長(zhǎng)線上，如答圖4，由可知(3m－3)－(m＋3)＝2，解得m＝3＋，故Q(3＋，6＋3)．
綜上，存在符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)：Q1(3－，6－3)，Q2(3＋，6＋3)．
【知識(shí)點(diǎn)】圓的切線性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；三角函數(shù)；一次函數(shù)；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；分類思想；數(shù)形結(jié)合思想．

3.（2019天津市，21，10分）已知PA,PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A,B，∠APB=80°，C為⊙O上一點(diǎn)，
(1)如圖①，求∠ACB的大?。?br /> (2)如圖②，AE為⊙O的直徑，AE與BC相交于點(diǎn)D，若AB=AD，求∠EAC的大小.

【思路分析】(1)如圖，由于PA,PB分別是切線，所以連接OA,OB可得∠PAO=∠PBO=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求∠AOB,根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系可求∠ACB的大小。

（2）如圖，連接CE，由于AE是直徑可知∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=50°，可求得∠BCE=40°，因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等，所以∠BAE=∠BCE=40°，根據(jù)AB=AD，從而∠ADB=70°，△ACD中，∠ADB是外角，所以∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°

【解題過(guò)程】解：（1）如圖，連接OA,OB
∵PA,PB分別是切線
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
即∠PAO=∠PBO=90°
∵∠APB=80°
∴在四邊形OAPB中，∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°
∴∠ACB=∠AOB=50°
（2）如圖，連接CE,
∵AE為直徑，
∴∠ACE=90°，
由（1）知，∠ACB=50°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°，
∴∠BAE=∠BCE=40°，
∵在△ABD中，AB=AD,
∴∠ADB=∠ABD=70°
∵△ACD中，∠ADB是外角，
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°
【知識(shí)點(diǎn)】圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，三角形的外角定理，等腰三角形的性質(zhì)

4.（2019四川攀枝花，22，8分）
如圖1，有一個(gè)殘缺的圓，請(qǐng)做出殘缺圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法）
如圖2，設(shè)AB是該殘缺圓⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，∠CAB的角平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：AE⊥DE；（2）若DE＝3，AC＝2，求殘缺圓的半圓面積．

【思路分析】如圖1,圓弧上任取三點(diǎn),連接任意兩點(diǎn)可得到兩條弦,作這兩條弦的中垂線, 其交點(diǎn)就是殘缺圓的圓心O．
如圖2, (1)連接OD交BC于H．由直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠ACB＝90°,由角平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)證得OD∥AE，所以AE⊥DE．
(2) 證OD⊥BC ,由垂徑定理得BC＝2CH．由矩形的性質(zhì)得CH＝ED＝3,所以BC＝6．在Rt△ABC中，由勾股定理可得直徑AB的長(zhǎng)，由圓的面積公式可得殘缺圓的半圓面積．
【解題過(guò)程】解：圖1問(wèn)題解答如下:如圖，

點(diǎn)即為所求．
圖2問(wèn)題解答如下：
（1）證明：連接OD交BC于H．
∵AB是該殘缺圓⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°．
∵DE為⊙O的切線
∴OD⊥DE．
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD＝∠DAB．
∵OD＝OA,
∴∠DAB＝∠ODA＝∠CAD．
∴OD∥AE．
∴AE⊥DE．

（2）∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB＝90°．
∵OD∥AE,
∴OD⊥BC．
∴BC＝2CH．
∴四邊形CEDH為矩形．
∵DE＝3，
∴CH＝ED＝3,∴BC＝6,
∵AC＝2，
∴AB＝2,
∴AO＝,
∴S半圓＝π·AO2＝5π．
【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理；矩形的判定；勾股定理；

5.（2019四川涼山，22，8分）
如圖，點(diǎn)D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若OB=BF，EF=4，求 AD 的長(zhǎng).


【思路分析】（1）連接OD.先根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角證∠CDB =90°，再證ED=EB得出∠EDB=∠EBD，轉(zhuǎn)化得到∠ODF=90°從而得出結(jié)論；
（2）先利用銳角三角函數(shù)求∠F，再證△ODB是等邊三角形，得出AD、BD的關(guān)系，最后借助銳角三角函數(shù)與勾股定理求得DB的長(zhǎng)從而得出結(jié)論.
【解題過(guò)程】（1）證明：連接OD.∵⊙O的切線，∴BC⊥OB，∴∠OBC=90°.∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ADB+∠CDB =180°，∴∠CDB =90°.∵E是BC的中點(diǎn)，∴ED=EB=BC，∴∠EDB=∠EBD.∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠ODF=∠OBC=90°,∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切線；
（2）由（1）知∠ODB=90°，∵OD=OB=BF，∴sin∠F=,∴∠F=30°，∵∠DOB+∠F =90°，∴∠DOB=60°，∴△ODB是等邊三角形，∴∠OBD=60°，∴tan∠OBD==，∴AD=BD.∵BC⊥AF，∴sin∠F=,∵EF=4，∴BE=2，∴BF==2=OB=DB，∴AD=BD=6.



【知識(shí)點(diǎn)】銳角三角函數(shù);圓周角;等邊三角形的判定；勾股定理

6.（2019四川樂(lè)山，23，10分）已知關(guān)于的一元二次方程.
（1）求證：無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，滿足，求的值；
（3）若△的斜邊為5，另外兩條邊的長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根、，求的內(nèi)切圓半徑.
【思路分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△＞0，進(jìn)而即可證出結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出、，將其代入=x12+x22+4x1x2=（x1+x2）2+2x1x2中求出的值；
（3）解方程求兩邊長(zhǎng)，利用勾股定理求k，結(jié)合切線長(zhǎng)定理求內(nèi)切圓半徑．
【解題過(guò)程】
（1）證明： ， 無(wú)論為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
（2）由題意得：，， ，，即， 解得：；
（3）解方程得：，， 根據(jù)題意得：，即， 設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，如圖， 由切線長(zhǎng)定理可得：，直角三角形的內(nèi)切圓半徑=；

第23題答圖

【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理；一元二次方程的解法；切線長(zhǎng)定理

24．（2019四川樂(lè)山，24，10分）如圖，直線與⊙相離，于點(diǎn)，與⊙相交于點(diǎn)，.是直線上一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交⊙于另一點(diǎn)，且.
（1）求證：是⊙的切線；
（2）若⊙的半徑為，求線段的長(zhǎng).

第24題圖

【思路分析】
（1）連結(jié)OB，如圖，由等腰三角形的性質(zhì)得，，由得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得，從而得到∠OBA=90°得出結(jié)論；
（2）過(guò)作于，先據(jù)垂徑定理得到PD=DB，再據(jù)△ODP∽△CAP求PD，從而求得BP的長(zhǎng).
【解題過(guò)程】
證明：(1)如圖，連結(jié)，則，，
，，而，即，
，即，，
，故是⊙的切線；
(2)由(1)知：，而，，由勾股定理，得：，
過(guò)作于，則，在和中，，，∽，，又，，，，.

第24題答圖
【知識(shí)點(diǎn)】切線的判定；垂徑定理；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

7.（2019四川達(dá)州，22，8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作直線DF∥BC.
（1） 判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2） 若AB=6，AE=，CE=，求BD的長(zhǎng).

【思路分析】（1）先連接OD，由AD平分∠BAC，可得，即OD⊥BC，而DF∥BC，可得到OD⊥DF，即可得證.
（2）可以先證△AEC∽△BED，得到，再證△ABD∽△BED，可得到，再代入即可求出BD的值.

【解題過(guò)程】(1)DF與相切.
理由：證明：連接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，所以DF為⊙O的切線．

（2）∵∠EAC=∠DBE，∠C=∠ADB
∴△AEC∽△BED
∴
∵
∴
∵∠BDE=∠ADB ∠DBE=∠BAD
∴△ABD∽△BED
∴
∴
∴
【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理、切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì).

8.(2019山東棗莊,23,8分)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作O，點(diǎn)D為O上一點(diǎn)，且CD＝DB，連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)判斷直線CD與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若BE＝2，DE＝4，求圓的半徑及AC的長(zhǎng).

第23題圖
【思路分析】(1)由過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線可知，點(diǎn)D在圓上，只要證明∠D是直角即可，通過(guò)證明全等得到；(2)分別在Rt△OBE,Rt△CDE和Rt△ABC中,利用圓的半徑相等(OB＝OD),勾股定理,切線長(zhǎng)定理(CB＝CD),依次求出OB,OD,AB,BC,最后求出AC的長(zhǎng).
【解題過(guò)程】(1)連接CO∵點(diǎn)D在圓上,∴OD＝OB,∵CD＝CB,CO＝CO,∴△COD≌COB(SSS),∵∠ABC＝90°,∴∠D＝∠ABC＝90°,∴OD⊥DC,∴直線CD與O相切;
(2)設(shè)OD＝OB＝x,∵DE＝4,∴OE＝4－x,在Rt△OBE中,BE2+BO2＝OE2,即22+x2＝(4－x)2,解之,得,x＝1.5,∴OD＝OB＝1.5,AB＝2OB＝3,∵CB,CD是圓的切線,∴設(shè)CB＝CD＝y(tǒng),在Rt△CDE中,CD2+DE2＝CE2,即y2+42＝(y+2)2,解之,得,y＝3,∴BC＝3,在Rt△ABC中,AC＝＝5.

第23題答圖
【知識(shí)點(diǎn)】切線的判定,切線長(zhǎng)定理,勾股定理

9.(2019山東聊城,24,10分)如圖,△ABC內(nèi)接于O,AB為直徑,作OD⊥AB于點(diǎn)D,延長(zhǎng)BC,OD交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作O的切線CE,交OF于點(diǎn)E.
(1)求證：EC＝ED；
(2)如果OA＝4,EF＝3,求弦AC的長(zhǎng).

第24題圖
【思路分析】(1)連接OC,根據(jù)等邊對(duì)等角,等角的余角相等,得到相等的角,進(jìn)而在△CDE中,利用等角對(duì)等邊得到EC＝ED;(2)由AB是直徑得到Rt△ABC,易得其與△AOD相似,只要求出OD的長(zhǎng),即可通過(guò)比例式求得AC,通過(guò)等角對(duì)等邊,勾股定理和線段和差關(guān)系得到OD,進(jìn)而得到AD,則AC可求.
【解題過(guò)程】(1)連接OC,∵CE與O相切,OC是O的半徑,∴OC⊥CE,∴∠OCA+∠ACE＝90°,∵OA＝OC,∴∠A＝∠OCA,∴∠ACE+∠A＝90°,∵OD⊥AB,∴∠ODA+∠A＝90°,∵∠ODA＝∠CDE,∴∠CDE+∠A＝90°,∴∠CDE＝∠ACE,∴EC＝ED;

第24題答圖
(2)∵AB為直徑,∴∠ACB＝90°,在Rt△DCF中,∠DCE+∠ECF＝90°,∠DCE＝∠CDE,∴∠CDE+∠ECF＝90°,∵∠CDE+∠F＝90°,∴∠ECF＝∠F,∴EC＝EF,∵EF＝3,∴EC＝DE＝3,在Rt△OCE中,OC＝4,CE＝3,∴OE＝＝5,∴OD＝OE－DE＝2,在Rt△OAD中,AD＝＝,在Rt△AOD和Rt△ACB中,∵∠A＝∠A,∴Rt△AOD∽R(shí)t△ACB,∴,∴AC＝.
【知識(shí)點(diǎn)】切線性質(zhì),等邊對(duì)等角,等角的余角相等,等角對(duì)等邊,圓周角定理,勾股定理,相似三角形

10.（2019四川南充，27，10分）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題．
【模型呈現(xiàn)】
如圖，在，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可以推理得到，進(jìn)而得到，．
我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“型”．
推理過(guò)程如下：

【模型應(yīng)用】
如圖，在內(nèi)接于，，，將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，連接交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；
（2）連接交于點(diǎn)，連接．求證：．
【思路分析】（1）因?yàn)橹苯侨切蔚耐庑臑樾边呏悬c(diǎn)，所以點(diǎn)在上，為直徑，故只需證即可．由和可證得，而、、在同一直線上，用減去即為，得證．
（2）依題意畫(huà)出圖形，由要證的結(jié)論聯(lián)想到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以需證．其中為公共角，即需證．為圓周角，所對(duì)的弧為弧，故連接后有，問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為證．把延長(zhǎng)交于點(diǎn)后，有，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證．只要，由等腰三角形三線合一即有，故問(wèn)題繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證．聯(lián)系【模型呈現(xiàn)】發(fā)現(xiàn)能證，得到，，即能求．又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，可得到，再加上第（1）題證得，可得，所以，，得證．
【解題過(guò)程】解：（1）為的外接圓
為斜邊中點(diǎn)，為直徑






是的切線
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接
于點(diǎn)

繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到

在與中


，

為中點(diǎn)






，即

平分，即
，






【知識(shí)點(diǎn)】圓的切線判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；平行線的判定和性質(zhì)；垂徑定理；等腰三角形三線合一；圓周角定理

11.（2019甘肅天水，24，10分）如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PC、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求線段CF的長(zhǎng)．

【思路分析】（1）連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可證得；
（2）先證△OBC是等邊三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所證切線可得∠OCF＝90°，結(jié)合半徑OC＝5可得答案．
【解題過(guò)程】解：（1）連接OC，

∵OD⊥AC，OD經(jīng)過(guò)圓心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切線．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5．
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)

12.（2019甘肅武威，26，10分）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)且與邊相交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的半徑．


【思路分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，于是得到是的切線；
（2）連接，推出是等邊三角形，得到，，求得，得到，于是得到結(jié)論．
【解題過(guò)程】解：（1）證明：連接，
，，
，
，
，
，
，
是的切線；
（2）解：連接，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
的半徑．

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);等邊三角形的判定和性質(zhì);切線的判定與性質(zhì)

13.（2019甘肅省，27，8分）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，切線交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．


【思路分析】（1）只要證明，即可解決問(wèn)題；
（2）首先證明，在中，，設(shè)，在中，，在中，，可得，解方程即可解決問(wèn)題．
【解題過(guò)程】解：（1）證明：連接，
是切線，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：連接．
，
，
是的直徑，，
是的切線，
，
，
，
，
在中，，
設(shè)，在中，，在中，，
，
解得，
．

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)

14.（2019廣東省，24，9分）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．
（1）求證：ED＝EC；
（2）求證：AF是⊙O的切線；
（3）如圖2，若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BC?BE＝25，求BG的長(zhǎng)．

【思路分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，結(jié)合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，從而得證；
（2）連接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，結(jié)合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，據(jù)此可知AF∥BC，從而得OA⊥AF，從而得證；
（3）證△ABE∽△CBA得AB2＝BC?BE，據(jù)此知AB＝5，連接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由點(diǎn)G為內(nèi)心知∠DAG＝∠GAC，結(jié)合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，從而得出BG＝AB＝5．

【解題過(guò)程】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如圖1，連接OA，

∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF為⊙O的切線；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC?BE，
∴BC?BE＝25，
∴AB＝5，
如圖2，連接AG，

∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵點(diǎn)G為內(nèi)心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
【知識(shí)點(diǎn)】圓心角定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)


15.（2019貴州黔東南，22，12分）如圖，點(diǎn)P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，直線PO與⊙O相交于點(diǎn)A、B．
（1）若∠A＝30°，求證：PA＝3PB；
（2）小明發(fā)現(xiàn)，∠A在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，始終有∠BCP（90°﹣∠P）成立．請(qǐng)你寫(xiě)出推理過(guò)程．

【思路分析】（1）由PC為圓O的切線，利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度數(shù)求出∠BCP的度數(shù)，進(jìn)而確定出∠P的度數(shù)，再由PB＝BC，AB＝2BC，等量代換確定出PB與PA的關(guān)系即可；
（2）由三角形內(nèi)角和定理及圓周角定理即可確定出兩角的關(guān)系．
【解題過(guò)程】解：（1）∵AB是直徑
∴∠ACP＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC
∵PC是⊙O切線
∴∠BCP＝∠A＝30°，
∴∠P＝30°，
∴PB＝BC，BCAB，
∴PA＝3PB
（2）∵點(diǎn)P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，直線PO與⊙O相交于點(diǎn)A、B，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，
∴2∠BCP＝180°﹣∠P，
∴∠BCP（90°﹣∠P）
【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)內(nèi)角和定理；圓周角定理；以及含30度直角三角形的性質(zhì)

16.（2019湖北鄂州，22，10分）如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過(guò)A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交⊙O于B，連接BC，PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：E為△PAB的內(nèi)心；
（3）若cos∠PAB，BC＝1，求PO的長(zhǎng)．

【思路分析】（1）連結(jié)OB，根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，證明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根據(jù)切線的判定定理證明；
（2）連結(jié)AE，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，證明EA平分∠PAD，根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念證明即可；
（3）根據(jù)余弦的定義求出OA，證明△PAO∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．
【解題過(guò)程】解：（1）證明：連結(jié)OB，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切線；
（2）證明：連結(jié)AE，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD為⊙O的切線，
∴PD平分∠APB
∴E為△PAB的內(nèi)心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB，
在Rt△ABC中，cos∠C，
∴AC，AO，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO5．

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；解直角三角形

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這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)專題34 與圓有關(guān)的位置關(guān)系【專題鞏固】（含解析），共15頁(yè)。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)專題34 與圓有關(guān)的位置關(guān)系【考點(diǎn)精講】（含解析）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)專題34 與圓有關(guān)的位置關(guān)系【考點(diǎn)精講】（含解析），共16頁(yè)。試卷主要包含了直線與圓的位置關(guān)系有三種等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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