?2022學年第二學期寧波市九校聯(lián)考高二數(shù)學試題
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復數(shù)z滿足，則對應的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 設集合，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知隨機變量，，它們的分布密度曲線如下圖所示，則下列說法中正確的是（ ）

A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 已知平面向量，滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，點O滿足，過點O直線分別交射線AB，AC于點M，N，且，，則的最小值為（ ）
A. B. C. 3 D. 4
7. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的，，均有成立，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
8. 三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角是指由有公共端點且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角余弦定理告訴我們，若，，，平面與平面所成夾角為，則.現(xiàn)已知三棱錐，，，，，，則當三棱錐的體積最大時，它的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 以下四個正方體中，滿足平面CDE的有（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，的圖象關于點中心對稱，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. ， D. ，
12. 一個不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍三種顏色的小球各一個，每次從袋子中隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回，當三種顏色的小球均被摸出過時就停止摸球.設“第i次摸到紅球”，“第i次摸到黃球”，“第i次摸到藍球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，則（ ）
A. B.
C ， D. ，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知實數(shù)a，b滿足且，則m＝______.
14. 現(xiàn)有一枚質地不均勻硬幣，若隨機拋擲它兩次均正面朝上的概率為，則隨機拋擲它兩次得到正面、反面朝上各一次的概率為______；若隨機拋擲它10次得到正面朝上的次數(shù)為，則______.（第一空2分，第二空3分）
15. 已知函數(shù)，若有4個零點，則實數(shù)a的范圍是______.
16. 已知平面向量，，滿足，，則的最小值為______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______，
請從下列兩個條件中任選一個填入上方的橫線中作為已知條件，并解答本題（如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）：
①；②，
（1）求A；
（2）若D為邊BC上一點，且，試判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，并說明理由.
18. 已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且在上沒有最小值.
（1）求的單調增區(qū)間；
（2）已知函數(shù)（且），對任意，總存在，使得，求實數(shù)a取值范圍.
19. 航班正點率是指航空旅客運輸部門在執(zhí)行運輸計劃時，航班實際出發(fā)時間與計劃出發(fā)時間較為一致的航班數(shù)量與全部航班數(shù)量的比率.人們常用航班正點率來衡量一個航空公司的運行效率和服務質量.現(xiàn)隨機抽取10家航空公司，對其近一年的航班正點率和顧客投訴次數(shù)進行調查，得到數(shù)據如下：
航空公司編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
航班正點率/%
82
77
77
76
74
73
71
70
91
69
顧客投訴次數(shù)/次
21
58
79
68
74
93
72
122
18
125
整理數(shù)據得：，，，，，.
（1）（i）證明：樣本相關系數(shù)；
（ii）根據以上數(shù)據計算樣本相關系數(shù)（結果保留2位小數(shù)），并由此推斷顧客投訴次數(shù)與航班正點率之間的線性相關程度（若，則認為線性相關程度很強；若，則認為線性相關程度一般；若，則認為線性相關程度很弱）.
（2）用一元線性回歸模型對上表中的樣本數(shù)據進行擬合，得到顧客投訴次數(shù)關于航班正點率的經驗回歸方程為.現(xiàn)有一家航空公司擬通過加強內部管理來減少由于公司自身原因引起的航班延誤次數(shù)，并希望一年內收到的顧客投訴不超過73次，試估計該公司的航班正點率應達到多少？
參考公式：樣本相關系數(shù).
20. 2023年4月23日是第28個“世界讀書日”.為了倡導學生享受閱讀帶來的樂趣、尊重和保護知識產權，立德中學舉辦了一次閱讀知識競賽.初賽中每支隊伍均要參加兩輪比賽，只有兩輪比賽均通過的隊伍才能晉級.現(xiàn)有甲、乙兩隊參賽，初賽中甲隊通過第一輪和第二輪的概率均為，乙隊通過第一輪和第二輪的概率分別為，，且各隊各輪比賽互不影響.
（1）記甲、乙兩隊中晉級的隊伍數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學期望；
（2）經過激烈的比拼，甲、乙兩隊成功進入決賽爭奪冠軍.決賽共有兩道搶答題.第一題中，某支隊伍若搶到并答對則加10分，若搶到但答錯則對方加10分.第二題中，某支隊伍若搶到并答對則加20分，若搶到但答錯則對方加20分.最終得分高的隊伍獲勝.假設兩支隊伍在每一題中搶到答題權的概率均為，且每一題答對的概率分別與初賽中通過對應輪次的概率相等.各隊各題作答互不影響.已知甲隊獲得了冠軍，計算第二題是由甲隊搶到答題權的概率.
21. 如圖，四面體中，平面平面，，，，

（1）若，證明：平面；
（2）設過直線且與直線BC平行的平面為，當與平面所成的角最大時，求平面與平面的夾角的余弦值.
22. 已知，.定義，設，．

（1）若，（i）畫出函數(shù)的圖象；
（ii）直接寫出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）定義區(qū)間的長度.若，，則.設關于x的不等式的解集為D.是否存在t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.





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