第4講 導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)比大小問題題型總結(jié)（解析版）

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【典型例題】
題型一：構(gòu)造比較大小

此函數(shù)定義域為，求導(dǎo)，當(dāng)時，，故為增函數(shù)，當(dāng)時，，故為減函數(shù)，當(dāng)時，取得極大值為，且，此結(jié)論經(jīng)常用來把函數(shù)轉(zhuǎn)化到同一邊進行比較
【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二階段練習(xí)）若，則的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通過對三個數(shù)的變形及觀察，可以構(gòu)造出函數(shù)，通過求導(dǎo)分析其單調(diào)性即可得到答案
【詳解】
解：，設(shè)，則時，，故在上單調(diào)遞減，則，即，所以．
故選：A.
【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
結(jié)合已知要比較函數(shù)值的結(jié)構(gòu)特點,可考慮構(gòu)造函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分析出時,函數(shù)取得最大值,可得最大,然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】
設(shè),則,
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,
故當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,
因為,,
,
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,可得,
即.
故選:C
【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命題為真命題的個數(shù)是（???????）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
本題首先可以構(gòu)造函數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)計算出函數(shù)的單調(diào)性以及最值，然后通過對①②③④四組數(shù)字進行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過函數(shù)的單調(diào)性即可比較出大?。?br /> 【詳解】
解：構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時，，時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時取得最大值，
，
由可得，故正確；
，由，可得，故錯誤；
，
因為函數(shù)在上遞減，
所以，故正確；
因為，所以，
即，即，則，
即，故錯誤，
綜上所述，有2個正確.
故選：B．
【點睛】
本題考查如何比較數(shù)的大小，當(dāng)兩個數(shù)無法直接通過運算進行大小比較時，如果兩個數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為某個函數(shù)上的兩個函數(shù)值，那么可以構(gòu)造函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷兩個數(shù)的大小，考查函數(shù)思想，是難題．
【例4】（2021·陜西漢中·高二期末（理））已知a，b，c均為區(qū)間內(nèi)的實數(shù)，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進而利用單調(diào)性即可求解.
【詳解】
解：令，則，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為，所以，
因為a，b，c均為區(qū)間內(nèi)的實數(shù)，且，，，
所以，
所以，
故選：B.
【例5】（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））設(shè)，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)a、b、c算式特征構(gòu)建函數(shù)，通過求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性即可比較a、b、c的大小關(guān)系.
【詳解】
令，則，
因此在上單調(diào)遞減，
又因為，，，
因為，所以．
故選：B．
【題型專練】
1.（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））若，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最大值，再利用作差法判斷、，即可得解；
【詳解】
解：令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以
又
所以，即.
故選：A
2.（2022·浙江臺州·高二期末）設(shè)，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題設(shè)，，，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而比較它們的大小.
【詳解】
由題設(shè)，，，，
令且，可得，
所以有，則上遞增；
有，則上遞減；
又，故.
故選：B
3.（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（理））在給出的（1）（2）（3）.三個不等式中，正確的個數(shù)為（???????）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題目特點，構(gòu)造函數(shù)，則可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解決問題.
【詳解】
首先，我們來考察一下函數(shù)，則
，
令解得，
令解得，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，

所以，（1），即，即，則正確；
（2），即，即，則錯誤；
（3），即，
所以，，則正確
故選：C.
4.（2022·四川資陽·高二期末（文））若，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷出答案.
【詳解】
設(shè)，則，
當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
由于 ，故，即，
故選：A
5.（2022·山東日照·高二期末）是圓周率，是自然對數(shù)的底數(shù)，在，，，，，，，八個數(shù)中，最小的數(shù)是___________，最大的數(shù)是___________.
【答案】???? ????
【解析】
【分析】
分別利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出底數(shù)同為以及的數(shù)的大小關(guān)系，再由冪函數(shù)的單調(diào)性，找出最小的數(shù)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷出最大的數(shù)．
【詳解】
顯然八個數(shù)中最小的數(shù)是.
函數(shù)是增函數(shù)，且，∴；
函數(shù)是增函數(shù)，且，；
函數(shù)是增函數(shù)，且，；
函數(shù)在是增函數(shù)，且，，則八個數(shù)中最小的數(shù)是
函數(shù)在是增函數(shù)，且，，
八個數(shù)中最大的數(shù)為或，構(gòu)造函數(shù)，
求導(dǎo)得，當(dāng)時，函數(shù)在是減函數(shù)，，
即，即，即，，
則八個數(shù)中最大的數(shù)是.
故答案為：；．
6.（2022·安徽省宣城中學(xué)高二期末）設(shè)，則的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最值，化簡可得，，，根據(jù)函數(shù)解析式，可得且，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分析比較，即可得答案.
【詳解】
設(shè)，
則，
當(dāng)時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，
又，，，
又，，且在上單調(diào)遞減，
所以，
所以.
故選：D
7.（2022·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高二期末）已知實數(shù)，，滿足，則，，的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
判斷出，構(gòu)造函數(shù)，判斷時的單調(diào)性，利用其單調(diào)性即可比較出a,b的大小，即可得答案.
【詳解】
由，得 ，
設(shè) ，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
因為，所以，
所以，故，則 ，
即有，
故.
故選：C.
題型二：利用常見不等式關(guān)系比較大小
1、常見的指數(shù)放縮：
證明：設(shè)，所以，所以當(dāng)時，，所以為減函數(shù)，當(dāng)當(dāng)時，，所以為增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值為，所以，即
2.常見的對數(shù)放縮：
3.常見三角函數(shù)的放縮：
【例1】（2022·湖北武漢·高二期末）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分別令、、，利用導(dǎo)數(shù)可求得，，，由此可得大小關(guān)系.
【詳解】
令，則，
在上單調(diào)遞增，，即，則；
令，則，
在上單調(diào)遞減，，即，則；
，即；
令，則，
在上的單調(diào)遞增，，即，
則，即；
綜上所述：.
故選：D.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系的比較問題，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性后，即可得到函數(shù)值的大小.
【例2】（2022·山東菏澤·高二期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到，從而得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到，從而得到和，即可得到答案.
【詳解】
解：設(shè)，，令，解得.
，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增.
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以.
又，，故，所以；
設(shè)，，令，解得.
，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減.
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以，故，
又，所以，
故.
故選：B.
【例3】（2022·四川涼山·高二期末（文））已知，，，則（???????）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進而即得．
【詳解】
設(shè)，則，在時恒成立，
所以在上是增函數(shù)，
所以，即，，
∴，又，
∴，即，
所以．
故選：C．
【例4】（2022·四川綿陽·高二期末（理））若，,，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可比較得出、的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故，
則，即，
，因此，.
故選：D.
【例5】（2022·全國·高考真題（理））已知，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可得解.
【詳解】
因為,因為當(dāng)
所以,即,所以；
設(shè)，
，所以在單調(diào)遞增，
則,所以，
所以,所以，
故選：A
【題型專練】
1.（2022·福建·莆田一中高二期末）設(shè)，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)（），證明，令，排除選項A,B,再比較大小，即得解.
【詳解】
解：構(gòu)造函數(shù)（），，，
所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以，
令，則，，，考慮到，可得，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到，故時，排除選項A，B.
下面比較大小，由得，故，所以.
故選：D.
2.（2022·吉林·長春市第二中學(xué)高二期末）已知，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進行求解.
【詳解】
解：設(shè)，則，
設(shè)，則，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，
即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，可得，故，
利用三角函數(shù)線可得時，，
所以，即，
所以，故
綜上，
故選：D.
3（2022·湖北武漢·高二期末）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分別令、、，利用導(dǎo)數(shù)可求得，，，由此可得大小關(guān)系.
【詳解】
令，則，
在上單調(diào)遞增，，即，則；
令，則，
在上單調(diào)遞減，，即，則；
，即；
令，則，
在上的單調(diào)遞增，，即，
則，即；
綜上所述：.
故選：D.
題型三： 構(gòu)造其它函數(shù)比大?。ㄑ芯拷o出數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，合理構(gòu)造函數(shù)）
【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知，，，其中，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（???????）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，并求，利用函數(shù)的圖象去比較三者之間的大小順序即可解決.
【詳解】
將題目中等式整理，得，，，
構(gòu)造函數(shù)，，
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)的大致圖象如圖所示．

因為，，，且，，，
則由圖可知，，所以．
故選：A．
【例2】（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
可判斷，，，再令，，，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大?。?br /> 【詳解】
解：，，，
令，，，
，
故在，上是減函數(shù)，
故，
即，
故，即，
故選：D．
【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.
【詳解】
令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，則，故，單調(diào)遞減，又，故，即，而，則，即，所以，
故選：A
【例4】（山東省淄博市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較的大小，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性可比較出，從而可比較出三個數(shù)的大小
【詳解】
因為在上為增函數(shù)，且，
所以，
因為，所以，即，
令（），得，
所以在上遞增，
所以，所以，
令，則，即，即，
所以，
故選：D
【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））設(shè)，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)給定數(shù)的特征，構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性比較函數(shù)值大小作答.
【詳解】
令函數(shù)，，
顯然，則，
令，，
求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞減，
，，即，
因此當(dāng)時，，
取，則有，
令，，，
令，，，
在上單調(diào)遞減，
，，有，則在上單調(diào)遞增，
，，因此當(dāng)時，，
取，則有，
所以.
故選：A
【點睛】
思路點睛：涉及某些數(shù)或式大小比較，探求它們的共同特性，構(gòu)造符合條件的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【例6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作差法比較出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較出，從而得出.
【詳解】
，所以，故，又，則在上單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，且在時，，在時，，即在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，又因為，所以當(dāng)時，，其中因為，所以，所以，故，即.
故選：B
【例7】（2022·河南洛陽·三模（理））已知，，，則，，的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，，求其單調(diào)性，從而判斷，，的大小關(guān)系.
【詳解】
構(gòu)造，，
，
在時為減函數(shù)，且，
所以在恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，
即，所以，即.
故選：D
【點睛】
對于指數(shù)式，對數(shù)式比較大小問題，通常方法是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小，稍復(fù)雜的可能需要構(gòu)造函數(shù)進行比較大小，要結(jié)合題目特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，比較出大小.
【例8】（2022·河南·模擬預(yù)測（理））若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，進而可得，可得，再利用函數(shù)，可得，即得.
【詳解】
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，
，，
∵，
∴，故，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，所以時，，即，
∴，
又，
∴，
故.
故選：B.
【點睛】
本題解題關(guān)鍵是構(gòu)造了兩個不等式與進行放縮，需要學(xué)生對一些重要不等式的積累.
【題型專練】
1（2022·山東煙臺·高二期末）設(shè)a=0.9，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再由單調(diào)性可比較大小.
【詳解】
令，因為
所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，即，；
令，因為
所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，即，，即.
綜上，.
故選：B
2.（2022·山東青島·高二期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)得出大小，又即得出結(jié)論.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，則，
在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，則，
，則，
由對于函數(shù)，恒成立，
所以， 即在上恒成立.
所以，（注： ）
所以，
故選：C
3.（2022·湖北襄陽·高二期末）設(shè)，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得到，即可判斷出.記，推理判斷出.
【詳解】
.
記，則，所以在上單調(diào)遞減.
所以，所以.
.
記，則.
所以在上，，則單調(diào)遞減；在上，，則單調(diào)遞增；所以，
所以，即.
所以.
綜上所述：.
故選：C
4.（2022·福建寧德·高二期末）已知，，且，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題設(shè)有，分別構(gòu)造、、、，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，進而判斷各項的正誤.
【詳解】
由，即，
A：若且，則，
故，，即在上存在零點且在上遞增，
所以在上不單調(diào)，則不一定成立，排除；
B：若且，則，
所以上，遞增；上，遞減；
故在上不單調(diào)，則不一定成立，排除；
C：若且，則，即在上遞增，
所以，即，排除；
D：若且，則，即在上遞增，
所以，即，正確.
故選：D
5.（2022·貴州貴陽·高二期末（理））設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可得，，，令，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，可比較和的大小，即可得答案.
【詳解】
由題意得，，，
令，
則，所以在為減函數(shù)，
所以，即，
所以，則，即.
故選：D
6.（2022·重慶南開中學(xué)高二期末）已知，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出和的大小，從而可得出的大小關(guān)系，將兩邊同時取對數(shù)，然后作差，從而可得出的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】
解：，，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
即，
所以，
即，所以，
由，得，
由，得，
，
因為，
所以，所以，
所以，即，
所以，
綜上所述.
故選：A.
【點睛】
本題考查了比較大小的問題，考查了同構(gòu)的思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，有一定的難度.
7.（2022·湖北恩施·高二期末多選）已知，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可將式子變形為，，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
解：由題意知，，對三個式子變形可得，，，
設(shè)函數(shù)，則.
由，得；由，得,
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為，所以,所以.
故選：AC.
8.（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知，且滿足，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先對已知條件取對數(shù)后得到，，.根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，比較大小.
【詳解】
由得即.
同理得：，.
令則.
故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.所以.
故選：C.