廣東省珠海市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?珠海市2022-2023學年第二學期期末普通高中學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
高二數(shù)學
本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?班級?考場和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （）
A. 66 B. 54 C. 26 D. 14
2. 已知離散型隨機變量分布列如下表，則其數(shù)學期望（）

1
2
4

0.2

0.6

A. 1 B. 0.2 C. 2.8 D. 3
3. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4. 在楊輝三角中，每一個數(shù)值是它肩上面兩個數(shù)值之和.這個三角形開頭幾行如下圖，若第行從左到右第12個數(shù)與第13個數(shù)的比值為2，則（）

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
5. 下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）
A. B.
C D.
6. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（）
A. B. C. D.
7. 已知定義在上的函數(shù)的圖象如圖，則不等式的解集為（）

A. B. C. D.
8. 設(shè)函數(shù)，實數(shù)滿足不等式，則下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)數(shù)列，前項和分別為，，則下列命題正確的是（）
A. 若，則數(shù)列為等差數(shù)列
B. 若，則數(shù)列為等比數(shù)列
C. 若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列
D. 若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列
10. 某商場設(shè)有電子盲盒機，每個盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個玩家只能用一個賬號登陸，且每次只能隨機選擇一個開啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為，從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎品的概率為，則（）
A. B. 數(shù)列為等比數(shù)列
C. D. 當時，越大，越小
11. 下列結(jié)論正確的有（）
A. 若隨機變量滿足，則
B 若隨機變量，且，則
C. 已知隨機變量服從二項分布，若，則
D. 對于事件，若，且，則
12. 設(shè)函數(shù)在點處的切線方程為.若函數(shù)圖象與軸負半軸的交點為，且點處的切線方程為，函數(shù)，則（）
A. ，
B.
C. 存在最大值，且最大值為
D. 存在最小值，且最小值為
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在的展開式中，的系數(shù)為______.
14. 已知函數(shù)，若直線過點，并且與曲線相切，則直線l的方程為______________．
15. A，B，C，D，E共5位教師志愿者被安排到甲?乙?丙?丁4所學校參加支教活動，要求每所學校至少安排一位教師志愿者，且每位教師志愿者只能到一所學校支教，在A教師志愿者被安排到甲學校支教的前提下，甲學校有兩名教師志愿者的概率為__________.
16. 已知非零數(shù)列，點在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的前2024項和為__________.
四?解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列，滿足.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若等差數(shù)列的公差為成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
18. 二項式展開式前三項的二項式系數(shù)和為22.
（1）求的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項及二項式系數(shù)最大的項.
19. 已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R).
（1）當a＝時，求f(x)的極值；
（2）討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).
20. 月日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了名高一學生進行在線調(diào)查，得到了這名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這名學生日平均閱讀時間的中位數(shù)（保留到小數(shù)點后兩位）；
（2）為進一步了解這名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在、、三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
（3）以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取名學生，用表示這名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中、、、、.當最大時，寫出的值，并說明理由.
21. 設(shè)有甲?乙?丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外其他都相同的四個球，其中甲箱有兩個黃球和兩個黑球，乙箱有三個紅球和一個白球，丙箱有兩個紅球和兩個白球.完成以下步驟稱為一次“操作”：先一次從甲箱中隨機摸出兩個球，若從甲箱中摸出的兩個球同色，則從乙箱中隨機摸出一個球放入丙箱，再一次從丙箱中隨機摸出兩個球；若從甲箱中摸出的兩個球不同色，則從丙箱中隨機摸出一個球放入乙箱，再一次從乙箱中隨機摸出兩個球.
（1）求一次“操作”完成后，最后摸出的兩個球均為白球的概率；
（2）若一次“操作”最后摸出的兩個球均為白球，求這兩個球是從丙箱中摸出的概率；
（3）若摸出每個紅球記1分，摸出每個白球記-2分.用表示一次“操作”完成后，最后摸到的兩個球的分數(shù)之和，求的分布列及數(shù)學期望.
22. 已知函數(shù)，其中常數(shù).
（1）若，求函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意，都有：；
（3）證明：對任意，都有：.
珠海市2022-2023學年第二學期期末普通高中學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
高二數(shù)學
本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?班級?考場和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （）
A. 66 B. 54 C. 26 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計算可得.
【詳解】.
故選：B
2. 已知離散型隨機變量的分布列如下表，則其數(shù)學期望（）

1
2
4

0.2

0.6

A. 1 B. 0.2 C. 2.8 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求解，進而又期望的公式即可求解.
【詳解】由表可知：，
所以，
故選:D
3. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用等差數(shù)列公式計算得到答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意，則，
解得，所以.
故選：A
4. 在楊輝三角中，每一個數(shù)值是它肩上面兩個數(shù)值之和.這個三角形開頭幾行如下圖，若第行從左到右第12個數(shù)與第13個數(shù)的比值為2，則（）

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由楊輝三角的性質(zhì)知，第n行的數(shù)對應(yīng)的是展開式的二項式系數(shù)，進而根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由楊輝三角的性質(zhì)知，第n行的數(shù)對應(yīng)的是展開式的二項式系數(shù)，
因為第行從左到右第12個數(shù)與第13個數(shù)的比值為2，
所以，即，解得.
故選：C.
5. 下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可結(jié)合選項求解.
【詳解】對于A, ,故A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，，故C錯誤，
對于D, ,故D錯誤，
故選：B
6. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可.
【詳解】當時，，
當時，，
故當時，，
因為數(shù)列為等比數(shù)列，易知該數(shù)列的公比為，則，即，
解得.
故選：C.
7. 已知定義在上的函數(shù)的圖象如圖，則不等式的解集為（）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系，分類討論，，，與五種情況即可得解.
【詳解】當時，單調(diào)遞增，則，
此時，所以，滿足題意；
當時，單調(diào)遞減，則，
此時，所以，滿足題意；
當時，單調(diào)遞增，則，
此時，所以，不滿足題意；
當時，易得，不滿足題意；
當時，易得，則，不滿足題意；
綜上：或，即不等式的解集為.
故選：D.
8. 設(shè)函數(shù)，實數(shù)滿足不等式，則下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)關(guān)于對稱，求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】∵，
∴，
∴函數(shù)關(guān)于對稱，
又，
∵，
∴，
∴恒成立，則是增函數(shù)，
∵，
∴，
∴，得，
故選：A
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，，則下列命題正確的是（）
A. 若，則數(shù)列為等差數(shù)列
B. 若，則數(shù)列等比數(shù)列
C. 若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列
D. 若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，C，利用等差數(shù)列的定義判斷即可，對于B，D，通過舉反例判斷
【詳解】解：對于A，由等差數(shù)列的定義可知當時，數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；
對于B，當時，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，所以B錯誤；
對于C，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，
則，

，
所以，所以，，成等差數(shù)列，所以C正確；
對于D，當?shù)缺葦?shù)列的公比，為偶數(shù)時，，，均為零，所以，，不成等比數(shù)列，所以D錯誤，
故選：AC
10. 某商場設(shè)有電子盲盒機，每個盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個玩家只能用一個賬號登陸，且每次只能隨機選擇一個開啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為，從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎品的概率為，則（）
A. B. 數(shù)列為等比數(shù)列
C. D. 當時，越大，越小
【答案】ABC
【解析】
【分析】記玩家第次抽盲盒并抽中獎品為事件，依題意，，，，利用全概率公式可判斷A選項；利用全概率公式推出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B選項；求出數(shù)列的通項公式，可判斷C選項；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項.
【詳解】記玩家第次抽盲盒并抽中獎品為事件，
依題意，，，，，
對于A選項，，A對；
對于B選項，，
所以，，所以，，
又因為，則，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，B對；
對于C選項，由B選項可知，，則，
當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，，則隨著的增大而減小，所以，.
綜上所述，對任意的，，C對；
對于D選項，因為，則數(shù)列為擺動數(shù)列，D錯.
故選：ABC.
【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法：
（1）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等差數(shù)列；
（2）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等比數(shù)列；
（3）當出現(xiàn)時，用累加法求解；
（4）當出現(xiàn)時，用累乘法求解.
11. 下列結(jié)論正確的有（）
A. 若隨機變量滿足，則
B. 若隨機變量，且，則
C. 已知隨機變量服從二項分布，若，則
D. 對于事件，若，且，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解概率判斷B，根據(jù)二項分布的期望公式及期望的性質(zhì)判斷C，根據(jù)條件概率公式求解判斷D.
【詳解】對于選項A，根據(jù)方差的性質(zhì)得，錯誤；
對于選項B，由正態(tài)分布的對稱性可知，，
所以，正確；
對于選項C，因為量服從二項分布，所以，
則根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)得，解得，錯誤；
對于選項D，因為，所以，
根據(jù)條件概率公式得，正確.
故選：BD
12. 設(shè)函數(shù)在點處的切線方程為.若函數(shù)圖象與軸負半軸的交點為，且點處的切線方程為，函數(shù)，則（）
A. ，
B.
C. 存在最大值，且最大值
D. 存在最小值，且最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)切線的斜率以及切點為切線與曲線的公共點求出、的值，可判斷A選項；寫出函數(shù)的解析式，求出點的坐標，可判斷B選項；寫出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，可判斷CD選項.
【詳解】對于A選項，因為，
則，所以，，
且，
因為函數(shù)在點處的切線方程為，
則，
因為點在直線上，則，
可得，所以，，解得，A對；
對于B選項，由A選項可知，，
令可得或，故點，B對；
對于CD選項，由可得，即，
所以，，
所以，，
令，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)存在最小值，且最小值為，C錯D對.
故選：ABD.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在的展開式中，的系數(shù)為______.
【答案】
【解析】
【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合通項公式確定的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若直線過點，并且與曲線相切，則直線l的方程為______________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出切點坐標，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為，再根據(jù)切線過點，可求出，進而求出結(jié)果．
【詳解】∵點不在曲線上，設(shè)切點坐標為．
又∵，所以
∴在處的切線方程為，
∵切線過點，
∴，解得，
∴直線的方程為：，即直線方程為.
故答案為：．
【點睛】方法點睛：用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．
15. A，B，C，D，E共5位教師志愿者被安排到甲?乙?丙?丁4所學校參加支教活動，要求每所學校至少安排一位教師志愿者，且每位教師志愿者只能到一所學校支教，在A教師志愿者被安排到甲學校支教的前提下，甲學校有兩名教師志愿者的概率為__________.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】求出A教師志愿者被安排到甲學校的排法，然后再求出在A教師志愿者被安排到甲學校支教的前提下，甲學校有兩名志愿者的排法，根據(jù)條件概率進行計算，從而可求解．
【詳解】A教師志愿者被安排到甲學校，
若甲學校只有一個人，則有種安排方法，
若甲學校有2個人，則有種安排方法，
A教師志愿者被安排到甲學校共有60種安排方法，
在A教師志愿者被安排到甲學校支教的前提下，甲學校有兩名志愿者的安排方法有24種，
所以在A教師志愿者被安排到甲學校支教的前提下，甲學校有兩名志愿者的概率是，
故答案為：
16. 已知非零數(shù)列，點在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的前2024項和為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義求得數(shù)列的通項公式，進而可得數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求和.
【詳解】由已知條件，可得，
所以①，，
因為點在函數(shù)的圖象上，
所以，將①代入可得，,
化簡得，，，
當時，由，則，得，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，，
因為，
所以，
故答案: .
四?解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列，滿足.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若等差數(shù)列的公差為成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先對遞推式變形得，作差即可得，再利用等差中項證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）利用等比中項及等差數(shù)列基本量的運算求得，然后利用裂項相消法求和即可.
【小問1詳解】
由，得，
所以，兩式相減得，
即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由等差數(shù)列的公差為2，得，
因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，
所以，
所以，
所以.
18. 二項式展開式前三項的二項式系數(shù)和為22.
（1）求的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項及二項式系數(shù)最大的項.
【答案】（1）6 （2）常數(shù)項為960，二項式系數(shù)最大的項為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)即可列式子求解，
（2）根據(jù)二項式展開式的通項特征，即可求解.
【小問1詳解】
展開式前三項的二項式系數(shù)和為22，

或（舍），
故的值為6.
【小問2詳解】
由題可得，展開式中最大的二項式系數(shù)為，
展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項，
即；
設(shè)展開式中常數(shù)項為第項，
即，
令，得，
，
故展開式中的常數(shù)項為第5項，即960.
19. 已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R).
（1）當a＝時，求f(x)的極值；
（2）討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).
【答案】（1）f(x)極大值＝ln 2－1，無極小值；（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）當a＝時，f(x)＝ln x－x，求導(dǎo)得到f′(x)＝－＝，然后利用極值的定義求解.
（2）由（1）知，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)，然后分a≤0和a>0兩種情況討論求解.
【詳解】（1）當a＝時，f(x)＝ln x－x，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

ln 2－1

故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln 2－1，無極小值.
（2）由（1）知，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝ (x>0).
當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；
當a>0時，當x∈時，f′(x)>0，
當x∈時，f′(x)0時，函數(shù)y＝f(x)有一個極大值點，且為x＝.
【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值以及極值點的個數(shù)問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
20. 月日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了名高一學生進行在線調(diào)查，得到了這名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這名學生日平均閱讀時間的中位數(shù)（保留到小數(shù)點后兩位）；
（2）為進一步了解這名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在、、三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
（3）以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取名學生，用表示這名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中、、、、.當最大時，寫出的值，并說明理由.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
（3），理由見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)中位數(shù)為，分析可知，，利用中位數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可；
（2）計算出按分層抽樣所抽取的人中，從日平均閱讀時間在內(nèi)的學生抽取的學生人數(shù)，分析可知，的可能取值為、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值；
（3）分析可知，計算得出，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可求得當取最大值時，的值.
【小問1詳解】
設(shè)中位數(shù)為，前四個矩形的面積之和為
，
前五個矩形的面積之和為，所以可設(shè)中位數(shù)為，
由中位數(shù)的定義可得，解得.
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖，得這名學生中日平均閱讀時間在、、三組內(nèi)的學生人數(shù)分別為：
，，，
若采用分層抽樣的方法抽取了人，則從日平均閱讀時間在內(nèi)的學生中抽取人，
從這人中隨機抽取人，則的可能取值為、、、，
，，
，，
所以，的分布列為

數(shù)學期望.
【小問3詳解】
可知，原因如下：

由頻率分布直方圖，得，
解得，
所以，學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為，
從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取名學生，日平均閱讀時間在內(nèi)的學生人數(shù)，
則，
所以，其中，
由組合數(shù)的性質(zhì)，得當時，最大，則最大.
21. 設(shè)有甲?乙?丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外其他都相同的四個球，其中甲箱有兩個黃球和兩個黑球，乙箱有三個紅球和一個白球，丙箱有兩個紅球和兩個白球.完成以下步驟稱為一次“操作”：先一次從甲箱中隨機摸出兩個球，若從甲箱中摸出的兩個球同色，則從乙箱中隨機摸出一個球放入丙箱，再一次從丙箱中隨機摸出兩個球；若從甲箱中摸出的兩個球不同色，則從丙箱中隨機摸出一個球放入乙箱，再一次從乙箱中隨機摸出兩個球.
（1）求一次“操作”完成后，最后摸出的兩個球均為白球的概率；
（2）若一次“操作”最后摸出的兩個球均為白球，求這兩個球是從丙箱中摸出的概率；
（3）若摸出每個紅球記1分，摸出每個白球記-2分.用表示一次“操作”完成后，最后摸到的兩個球的分數(shù)之和，求的分布列及數(shù)學期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）結(jié)合組合數(shù)知識，根據(jù)概率的乘法和加法公式求解即可；
（2）利用條件概率計算即可；
（3）確定X的所有可能取值，求出每個值對應(yīng)的概率，即可得分布列，代入數(shù)學期望公式計算即可.
【小問1詳解】
設(shè)“從甲箱摸出兩個球為同色”為事件，“從乙箱摸出一個球為紅色”為事件，
“從丙箱摸出一個球為紅色”為事件，“一次操作完成后，最后摸出的兩個球均為白色”為事件D，
則，所以，
，所以，
所以，
所以.
【小問2詳解】
設(shè)“這兩個球是從丙箱中摸出”為事件，
則
【小問3詳解】
由題意知，的所有可能值為，
，
，，
所以的分布列為

所以.
22. 已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（1）若，求函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意，都有：；
（3）證明：對任意，都有：.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而令即可得證；
（3）法一：利用（2）中結(jié)論，結(jié)合累加法推得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而得證.
法二：利用（2）中結(jié)論，結(jié)合累加法推得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而得證.
【小問1詳解】
若，則，
此時的定義域為，
令得或（舍去），
故當時，，此時單調(diào)遞增；
當時，，此時單調(diào)遞減；
故的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
當時，，
此時的定義域為，，
所以當時，始終單調(diào)遞增，
故當時，，即，即，
令，得，即，
所以對于任意的，都有成立.
【小問3詳解】
法一：
由（2）可知，對于任意的均成立，
所以，
則，
接下來只需要證，
令，其中，
則恒小于0，
所以當時，單調(diào)遞減，則，
于是，當時，恒成立，即恒成立.
所以.
法二：
由（2）可知，對于任意的均成立，
所以，
則，
接下來只需要證，
令，其中，則，
令，則，
當時，，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
故，則在上單調(diào)遞減，
所以當時，，
于是當時，恒成立，即恒成立，
所以.
【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：
一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．

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