?專題03 分式的運算

1.了解分式的概念
2.會利用分式的基本性質進行約分和通分。
3.會進行分式的加、減、乘、除、乘方運算
4.能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關系列出簡單的分式方程
5.會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；

一、分式的有關概念及性質
1．分式
設A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式沒有意義.
2.分式的基本性質
　　（M為不等于零的整式）.
3．最簡分式
分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進行約分化簡.
【歸納總結】分式的概念需注意的問題：
（1）分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數(shù)線則可以理解為除號，還含有括號的作用；
（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；
（3）判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進行判斷．
（4）分式有無意義的條件：在分式中，
①當B≠0時，分式有意義；當分式有意義時，B≠0．
②當B=0時，分式無意義；當分式無意義時，B=0．
③當B≠0且A = 0時，分式的值為零．
例1、若把，的值同時縮小為原來的倍，則下列分式的值保持不變的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A. ，選項說法錯誤，不符合題意；
B. ，選項說法錯誤，不符合題意；
C. ，選項說法正確，符合題意；
D. ，選項說法錯誤，不符合題意
故選C
二、分式的運算
1．基本運算法則
分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:
（1）加減運算 ±=
同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.
　 ；
異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.
（2）乘法運算
兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.
（3）除法運算
兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.
（4）乘方運算 （分式乘方）
分式的乘方，把分子分母分別乘方．
2．零指數(shù) .
3．負整數(shù)指數(shù) 　
4．分式的混合運算順序
先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的．
5．約分
把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．
6．通分
根據(jù)分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．
例2、計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：；
故選B．
【歸納總結】約分需明確的問題：
(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；
(2)約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．
【特別提醒】通分注意事項
(1)通分的關鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．
(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．
(3)確定最簡公分母的方法：
最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；
最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.
三、分式方程及其應用
1．分式方程的概念
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程．
3．分式方程的增根問題
驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．
4．分式方程的應用
列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些．解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結果的合理性．
【特別提醒】
1.解分式方程注意事項
(1)去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；
(2)解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．
2.列分式方程解應用題的基本步驟
(1)審——仔細審題，找出等量關系；
(2)設——合理設未知數(shù)；
(3)列——根據(jù)等量關系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)驗——檢驗增根；
(6)答——答題．
例3、隨著快遞業(yè)務的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞人數(shù)不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設原來平均每人每周投遞快件x件，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br /> A．＝ B．+80＝
C．＝﹣80 D．＝
【答案】A
【解析】
解：設原來平均每人每周投遞快件x件，則更換交通工具后平均每人每周投遞快件（x+80）件，
依題意得：＝，
故選：A．

1．（2022·全國九年級課時練習）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)分式有意義的條件分析即可．
【詳解】
數(shù)式有意義，
，
解得．
故選D．
2．（2022·老河口市教學研究室九年級月考）化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接將括號里面通分，進而分解因式，再利用分式的除法運算法則計算得出答案．
【詳解】
解：
=
=
=．
故選：A．
3．（2022·廈門市第九中學九年級二模）港珠澳大橋是我國橋梁建筑史上的又一偉大奇跡，東接香港，西接珠海、澳門，全程55千米．通車前需走水陸兩路共約170千米，通車后，約減少時間3小時，平均速度是原來的2.5倍，如果設原來通車前的平均時速為x千米/小時，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
設原來通車前的平均時速為x千米/小時，所以通車后，的平均時速為2.5x千米/小時，根據(jù)它們行駛的時間差為3小時列出分式方程．
【詳解】
解：設原來通車前的平均時速為x千米/小時，所以通車后，的平均時速為2.5x千米/小時，依題意得：

故選D．
4．（2022·哈爾濱市第十七中學校）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【答案】A
【分析】
觀察可得最簡公分母是x（x﹣2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解即可．
【詳解】
解：＝1，
去分母，方程兩邊同時乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
x＝1，
經檢驗，x＝1是原分式方程的解．
故選：A．
5．（2022·四川九年級期中）關于x的方程有增根，則a的值為（ ）
A．－4 B．－6 C．0 D．3
【答案】B
【分析】
將分式方程轉化為整式方程，根據(jù)方程有增根求得，代入整式方程即可．
【詳解】
解：
兩邊同時乘得： ①
∵有增根
∴
代入方程①得：
故答案為B．
6．（2022·全國）已知實數(shù)，滿足，那么的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
把所求分式通分，再把已知條件代入求解．
【詳解】
解：∵，
∴，
∴

．
故選：C．
7．（2022·日照市田家炳實驗中學九年級一模）已知關于x的方程無解，則m的值是___．
【答案】或1
【分析】
分方程有增根，增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出m的值和方程沒有增根兩種情況進行討論.
【詳解】
解：①當方程有增根時
方程兩邊都乘，得，
∴最簡公分母，
解得，
當時，
故m的值是1，
②當方程沒有增根時
方程兩邊都乘，得，
解得，
當分母為0時，此時方程也無解，
∴此時，
解得，
∴綜上所述，當或1時，方程無解.
故答案為：或1.
8．（2022·山東濱州市·九年級其他模擬）已知關于的分式方程的解為非負數(shù)，則的取值范圍為______．
【答案】且
【分析】
根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負數(shù)，可得不等式，解不等式，可得答案．
【詳解】
解：
去分母，得：，
移項、合并，得：
系數(shù)化為1得：
∵分式方程的解為非負數(shù)，
∴且，
解得：且，
故答案為：且．
9．（2022·云南九年級期末）先化簡，再求值：，其中．
【答案】x-1，1
【分析】
根據(jù)分式的混合運算法則化簡原式然后代值計算即可．
【詳解】
解：原式=，
=，
=，
∵，
∴原式=．
10．（2022·河南三門峽市·）下面是小銳同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．

…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
…第六步
（1）填空：
①以上化簡步驟中，第______步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是______；
②第______步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是__________．
（2）請從出現(xiàn)錯誤的步驟開始繼續(xù)進行該分式的化簡；
（3）除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經驗，就分式化簡時還需注意的事項給其他同學提一條建議．
【答案】（1）①三，分式的基本性質；②五，括號前面是“”，去掉括號后，括號里面的第二項沒有變號；（2）見解析；（3）最后結果應化為最簡分式或整式
【分析】
（1）①分式的通分是把異分母的分式化為同分母的分式，通分的依據(jù)是分式的基本性質，據(jù)此即可進行判斷；
②根據(jù)分式的運算法則可知：第五步開始出現(xiàn)錯誤，然后根據(jù)去括號法則解答即可；
（2）根據(jù)分式的混合運算法則解答；
（3）可從分式化簡的最后結果或通分時應注意的事項等進行說明．
【詳解】
解：（1）①在以上化簡步驟中，第三步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質（或分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變）；
②第五步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是：括號前面是“”，去掉括號后，括號里面的第二項沒有變號；
（2）原式；
（3）答案不唯一．如：最后結果應化為最簡分式或整式；約分，通分時，應根據(jù)分式的基本性質進行變形；分式化簡不能與解分式方程混淆等．

專題03 分式的運算
一、單選題
1．（2022·四川德陽市·德陽五中九年級月考）若分式的值為零，那么x的值為（ ）
A．x＝﹣1或x＝1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣1
【答案】C
【分析】
直接利用分式的值為0，則分子為0，分母不能為0，進而得出答案．
【詳解】
解：∵分式的值為零，
∴x2﹣1＝0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故選：C．
2．（2022·陜西九年級專題練習）下列關于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由題意根據(jù)分母含有未知數(shù)的方程是分式方程依次對各選項進行分析判斷．
【詳解】
解：A、B、D選項中分母含有未知數(shù)，是分式方程；
C選項中分母不含有未知數(shù)，故不是分式方程.
故選：C．
3．（2022·山西九年級專題練習）若4，則x的值是（ ）
A．4 B． C． D．﹣4
【答案】C
【分析】
去分母，再系數(shù)化1，即可求得.
【詳解】
解：4，
，
，
故選：C．
4．（2020·陜西九年級專題練習）九年級學生去距學校10 km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20 min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度.設騎車學生的速度為x km/h，則所列方程正確的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
試題分析：設騎車學生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，由題意得，．故選C．
考點：由實際問題抽象出分式方程．
5．（2022·北京九年級專題練習）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)同分母的分式減法法則進行化簡即可得到結果．
【詳解】
解：


，
故選：．
6．（2022·上海九年級專題練習）分式有意義的條件是（ ）　　
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案．
【詳解】
解：要使有意義，得
．
解得，
當時，有意義，
故選：．
7．（2022·河北九年級專題練習）解分式方程分以下四步，其中錯誤的一步是（ ）
A．方程兩邊分式的最簡公分母是
B．方程兩邊都乘以，得整式方程
C．解這個整式方程，得
D．原方程的解為
【答案】D
【分析】
分式方程兩邊乘以最簡公分母，去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，經檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：分式方程的最簡公分母為（x?1）（x＋1），
方程兩邊乘以（x?1）（x＋1），得整式方程2（x?1）＋3（x＋1）＝6，
解得：x＝1，
經檢驗x＝1是增根，分式方程無解．
故選：D．
8．（2019·河南九年級專題練習）不改變分式的值，把它的分子和分母中的各項的系數(shù)都化為整數(shù)，則所得結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)分式的基本性質：分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式值不變，即可求出答案．
【詳解】
解：分子分母同時擴大10倍，即原分式，
故選：A．
9．（2020·河南九年級月考）當有意義時，a的取值范圍是（ ）
A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2
【答案】B
【解析】
解：根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)a﹣2≥0，解得：a≥2，根據(jù)分式有意義的條件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故選B．
10．（2020·內蒙古包頭·）的相反數(shù)是（ ）
A．9 B．-9 C． D．
【答案】B
【分析】
先根據(jù)負指數(shù)冪的運算法則求出的值，然后再根據(jù)相反數(shù)的定義進行求解即可．
【詳解】
=9，
9的相反數(shù)為-9，
故的相反數(shù)是-9，
故選B．
二、填空題
11．（2022·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學九年級開學考試）若的值為，則的值為__________．
【答案】2
【分析】
直接利用分式的值為零，則分子為零，再利用分式有意義的條件，其分母不為零，進而得出答案．
【詳解】
解：∵分式的值為，
∴x2-4=0且x+2≠0，
解得：x=2．
故答案為：2．
12．（2022·山東青島·九年級專題練習）我國古代著作《四元玉鑒》中，記載了一道“買椽多少”問題，題目是：六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．其大意是：請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，每株椽的運費是3文．如果少買一株椽，那么所買的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，問6210文能買多少株椽？設6210文能買株椽，根據(jù)題意可列方程為____________．
【答案】
【分析】
根據(jù)單價=總價÷數(shù)量結合少拿一株椽后剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，即可得出關于x的分式方程，此題得解．
【詳解】
解：依題意，得：，
故答案為：．
13．（2022·北京平谷·九年級一模）化簡：_______________.
【答案】
【分析】
利用分式的通分原則計算即可
【詳解】
解：
=
=，
故答案為：．
14．（2020·貴州貴陽市·）關于x的分式方程有增根，則m的值為__________．
【答案】4．
【解析】
去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，
因為分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，
把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，
解得：m=4，
故答案為4.
15．（2020·齊齊哈爾市第二十八中學九年級月考）已知x2﹣3x﹣2=0，那么代數(shù)式的值為___________．
【答案】2
【分析】
本題考查了分式的化簡，多項式的因式分解．化簡代數(shù)式是解決本題的關鍵．
【分析】
先化簡代數(shù)式，再整體代入求值．
【詳解】
解：
=
=
=x2﹣3x
因為x2﹣3x﹣2=0，所以x2﹣3x=2
所以原式=2．
故答案為：2
三、解答題
16．（2022·河南九年級專題練習）解分式方程：．
【答案】無解
【分析】
去分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，檢驗根即可．
【詳解】
解：去分母，兩邊同時乘以得
，
即
即
即．
檢驗：當x=1時，（x-1）(x+2)=0
∴x=1不是原方程的解．
∴原方程無解．
17．（2022·河南九年級期末）先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】
先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把變形為，最后代入化簡結果中進行計算即可．
【詳解】
解：
=
=
=
=



∴原式．
18．（2022·全國）化簡：÷（1﹣）．
【答案】
【分析】
根據(jù)分式的混合運算法則計算，得到答案．
【詳解】
解：原式＝÷（）
＝
＝
＝．
19．（2020·沙坪壩·重慶八中九年級課時練習）計算：
（1）（x+y）2+y（3x-y）
（2）
【答案】（1）x2+5xy；（2）．
【分析】
（1）先根據(jù)完全平方公式和單項式乘以多項式的法則計算，再合并同類項即可；
（2）先計算小括號里的，再計算乘法即可．
【詳解】
解：（1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2=x2+5xy．
（2）原式=
=
=．
20．（2019·河南九年級專題練習）先化簡，再求值：（﹣）÷，請在2，﹣2，0，3當中選一個合適的數(shù)代入求值．
【答案】；當m＝3時，原式＝3．
【分析】
先化簡分式，然后根據(jù)分式有意義的條件即可求出m的值，從而可求出原式的值．
【詳解】
解：原式＝（）×
＝×﹣×
＝﹣
＝，
∵m≠±2，0，
∴當m＝3時，
原式＝3．
21．（2022·全國九年級專題練習）已知關于x的分式方程，
(1)若方程的增根為x=1，求m的值
(2)若方程有增根，求m的值
(3)若方程無解，求m的值．
【答案】（1）m=-6;(2) 當x=﹣2時，m=1.5；當x=1時，m=﹣6；（3）m的值為﹣1或﹣6或1.5
【詳解】
試題分析：方程兩邊同時乘以最簡公分母（x-1）(x+2)，化為整式方程；
（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；
（2）若方程有增根，則最簡公分母為0，從而求得x的值，然后代入整式方程即可得；
（3）方程無解，有兩種情況，一種是原方程有增根，一種是所得整式方程無解，分別求解即可得.
試題解析：方程兩邊同時乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x+2）+mx=x-1，
整理得（m+1）x=﹣5，
（1）∵x=1是分式方程的增根，
∴1+m=﹣5，
解得：m=﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣2或x=1，
當x=﹣2時，m=1.5；當x=1時，m=﹣6；
（3）當m+1=0時，該方程無解，此時m=﹣1；
當m+1≠0時，要使原方程無解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，
綜上，m的值為﹣1或﹣6或1.5．
22．（2022·全國九年級專題練習）若關于的方程有增根，求的值.
【答案】3
【分析】
先將分式方程化為整式方程，再將增根代入整式方程求出k的值即可．
【詳解】
方程兩邊同乘以得，
把代入上式得，
解得，
故的值為3.
【點睛】
本題考查了分式方程的增根問題，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
23．（2022·上海九年級專題練習）甲、乙兩位同學同時從學校出發(fā)，騎自行車前往距離學校20千米的郊野公園．已知甲同學比乙同學平均每小時多騎行2千米，甲同學在路上因事耽擱了30分鐘，結果兩人同時到達公園．問：甲、乙兩位同學平均每小時各騎行多少千米？
【答案】甲平均每小時行駛10千米，乙平均每小時行駛8千米
【分析】
設乙平均每小時騎行x千米，則甲平均每小時騎行（x+2）千米，根據(jù)題意可得，同樣20千米的距離，乙比甲多走30分鐘，據(jù)此列方程求解．
【詳解】
設甲平均每小時行駛x千米，
則，
化簡為：，
解得：，
經檢驗不符合題意，是原方程的解，
答：甲平均每小時行駛10千米，乙平均每小時行駛8千米．



相關試卷

中考數(shù)學一輪復習專題03 分式的運算-鞏固提升練習（2份打包，原卷版+教師版）：

這是一份中考數(shù)學一輪復習專題03 分式的運算-鞏固提升練習（2份打包，原卷版+教師版），文件包含中考數(shù)學一輪復習專題03分式的運算-鞏固提升練習原卷版doc、中考數(shù)學一輪復習專題03分式的運算-鞏固提升練習教師版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學一輪復習精選專題24 求幾何圖形的面積（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）：

這是一份中考數(shù)學一輪復習精選專題24 求幾何圖形的面積（講測練）（2份打包，原卷版+教師版），文件包含中考數(shù)學一輪復習精選專題24求幾何圖形的面積講測練教師版doc、中考數(shù)學一輪復習精選專題24求幾何圖形的面積講測練原卷版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共39頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學一輪復習精選專題22 四邊形（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）：

這是一份中考數(shù)學一輪復習精選專題22 四邊形（講測練）（2份打包，原卷版+教師版），文件包含中考數(shù)學一輪復習精選專題22四邊形講測練教師版doc、中考數(shù)學一輪復習精選專題22四邊形講測練原卷版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共51頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

中考數(shù)學一輪復習精選專題14 角平分線（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）

中考數(shù)學一輪復習精選專題14 角平分線（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）
中考數(shù)學一輪復習精選專題12 韋達定理及其應用（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）

中考數(shù)學一輪復習精選專題12 韋達定理及其應用（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）
中考數(shù)學一輪復習精選專題10 分式方程及其應用（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）

中考數(shù)學一輪復習精選專題10 分式方程及其應用（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）
中考數(shù)學一輪復習精選專題07 絕對值（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）

中考數(shù)學一輪復習精選專題07 絕對值（講測練）（2份打包，原卷版+教師版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部