?2023北京朝陽高一（下）期末
數(shù) 學(xué)
2023．7
（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分
考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題 共50分）
一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1.計(jì)算
A. B.-2 C.-4 D. 4
2.已知,若,則點(diǎn)的坐標(biāo)為
A. B. C. D.
3.在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為
A. B. C. D.
4.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列事件是對(duì)立事件的是
A.“都是白球”與“至少有一個(gè)白球”
B.“恰有一個(gè)白球”與“都是紅球”
C.“都是白球”與“都是紅球”
D.“至少有一個(gè)白球”與“都是紅球”
5.已知兩條不同直線和平面，若，則“b”是“”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6.甲、乙兩人射擊，甲的命中率為，乙的命中率為，如果甲、乙兩人各射擊一次，恰有一人命中的概率為
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則
A. B. C. D.
8.已知一組不全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，方差為，則
A． B． C． D．
9. 塹堵、陽馬、鱉臑這些名詞出自中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》.如圖1,把一塊長(zhǎng)方體分成相同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）.如圖2,再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個(gè),以矩形為底,另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬.余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑.則圖2中的陽馬與圖1中的長(zhǎng)方體的體積比是
A. B. C. D.

9題圖1




9題圖2
10.設(shè)為平面四邊形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，，，.
若且，則平面四邊形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
第二部分（非選擇題 共100分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
11.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則 .
12.某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學(xué)生6000人.教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學(xué)生進(jìn)行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為150，那么在高中生中抽取了 人.
13. 在△中，,則____；____.
14.把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為________.
15.如圖，在△中，設(shè)，的平分線和交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足,設(shè)（,），則 ；當(dāng) 時(shí)，.
16.如圖1，四棱錐是一個(gè)水平放置的裝有一定量水的密閉容器（容器材料厚度不計(jì)），底面為平行四邊形，現(xiàn)將容器以棱為軸向左側(cè)傾斜到圖2的位置，這時(shí)水面恰好經(jīng)過，其中分別為棱的中點(diǎn)，在傾斜過程中，給出以下四個(gè)結(jié)論：
① 沒有水的部分始終呈棱錐形
② 有水的部分始終呈棱柱形
③ 棱AB始終與水面所在平面平行
④ 水的體積與四棱錐體積之比為
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 .
第16題圖1
第16題圖2

三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
17. （本小題13分）
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期；
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.


18.（本小題13分）
海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖所示. 兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立.
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中的值；
(Ⅱ)用頻率估計(jì)概率，從運(yùn)用新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取一個(gè)網(wǎng)箱，估計(jì)兩個(gè)網(wǎng)箱的箱產(chǎn)量都不低于55 kg的概率；
（Ⅲ）假定新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法網(wǎng)箱數(shù)不變，為了提高總產(chǎn)量，根據(jù)樣本中兩種養(yǎng)殖法的平均箱產(chǎn)量，該養(yǎng)殖場(chǎng)下一年應(yīng)采用哪種養(yǎng)殖法更合適？（直接寫出結(jié)果）

19.（本小題14分）
在△中，已知，.
(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)在①；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△存在且唯一確定，求和△的面積．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.


20.(本小題15分)
已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，
平面⊥平面，是的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面；
（Ⅲ）設(shè)棱與平面交于點(diǎn)，求的值．


21.（本小題15分）
設(shè)，已知由自然數(shù)組成的集合，集合是的互不相同的非空子集，定義數(shù)表：
，其中
設(shè)，令是中的最大值．
（Ⅰ）若，，且，求及；
（Ⅱ）若，集合中的元素個(gè)數(shù)均相同，若，求的最小值；
（Ⅲ）若，，集合中的元素個(gè)數(shù)均為3，且
，求證：的最小值為．
參考答案
一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）
（1） C （2） A （3） B （4） D （5）C
（6） C （7） B （8） D （9） B （10）C
二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）
（11） （12）30 （13）,.
（14） (答案不唯一) （15）1， （16）①③④
三、解答題（共5小題，共70分）
（17）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）

，. ....................................................6分
（Ⅱ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
f(x)取到最小值，最小值為；
當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，
f(x)取到最大值，最大值為. ..........................................13分
（18）（本小題共13分）
解：(Ⅰ)由，
所以 ..............................................................4分
(Ⅱ)設(shè)事件A、B分別表示：從運(yùn)用新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)網(wǎng)箱，其箱產(chǎn)量不低于55kg，用頻率估計(jì)概率，則，.
因?yàn)锳、B相互獨(dú)立，所以. ........................ 10分
（Ⅲ）新養(yǎng)殖法 ............................................................. 13分
（19）（本小題共14分）
解：(Ⅰ)由，根據(jù)正弦定理可得.
又因?yàn)?，由余弦定理得?
將代入該式，得到，即. ...............8分
(Ⅱ)選① 由，且，
所以 ，,則.
由得,則.
. ............................................ 14分
選②
根據(jù) ，所以，.
因?yàn)?，所?即.
. ........................................ 14分
（20）（本小題共15分）
解：（Ⅰ）因?yàn)椋?
又，所以.
因?yàn)槠矫妗推矫妫?br /> 且平面平面，平面
所以平面. ...............................................................5分
（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，
所以.
又，
所以.
因?yàn)?
所以.
所以四邊形是平行四邊形，
所以.
且平面，平面，
所以平面. ...............................................................11分
（Ⅲ） 延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接.
因?yàn)?平面，
所以平面，
因?yàn)?平面，
所以平面，
所以平面平面
交于點(diǎn),
故為與平面的交點(diǎn).
在△中，為邊的中線，
為邊的中線，
所以. ...............................................................15分
（21）（本小題共15分）
解：（Ⅰ），．....................................4分
（Ⅱ）設(shè)使得，
則，
所以．
所以至少有3個(gè)元素個(gè)數(shù)相同的非空子集．
當(dāng)時(shí)，，其非空子集只有自身，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，其非空子集只有，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，元素個(gè)數(shù)為1的非空子集有，
元素個(gè)數(shù)為2的非空子集有．
當(dāng)時(shí)，，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，令，
則，．
所以的最小值為．................................................................9分
（Ⅲ）由題可知，，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，
則為數(shù)表第列之和．
因?yàn)槭菙?shù)表第行之和，
所以．
因?yàn)?，所以?br /> 所以．
當(dāng)，
時(shí)，
，
．所以的最小值為．.............................................................15分

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