2023武漢新洲區(qū)部分學校高二下學期期末數(shù)學試題含解析

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?2022-2023學年度下學期
新洲區(qū)部分學校高二年級期末質(zhì)量檢測
數(shù)學試題
考試用時：120分鐘 滿分：150分
2023.6
第I卷（選擇題共60分）
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復數(shù)滿足，則在復平面上的對應(yīng)點所在象限為（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡復數(shù)，再由復數(shù)的幾何意義和共軛復數(shù)的定義求解即可.
【詳解】由可得：，
則，則在復平面上的對應(yīng)點為，
故在復平面上的對應(yīng)點所在象限為第四象限.
故選：D.
2. 已知向量，且，則（ ）
A. -4 B. -3 C. -1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行列方程，求得，進而求得
【詳解】由于，所以，
則，
所以.
故選：B
3. 某人射擊一次擊中的概率是，經(jīng)過次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)獨立重復試驗的概率公式即可求解.
【詳解】由題意可得：此人至少有兩次擊中目標的概率為：
，
故選：A.
4. 設(shè)公比為的正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，列出方程，即可求解.
【詳解】正項的等比數(shù)列中，
則，可得，
所以，整理得，
因為，可得.
故選：C.
5. 所有棱長都相等的三棱錐叫做正四面體，正四面體的棱長為，、分別為棱、的中點，則的長度為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接、，可得，從而易知，進而直角三角形中，由，可得到答案.
【詳解】如圖所示，連接、，

∵正四面體的四個面都是正三角形，∴，即△是等腰三角形，
∴，
在直角三角形中，，
故選：B.
6. 已知橢圓的左?在頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程得到以為直徑的圓的半徑和圓心坐標，再由該圓與直線相切，得到，進而可求出橢圓的離心率.
【詳解】因為橢圓C：的左?右頂點分別為，，
因此以為直徑的圓的半徑為，圓心坐標為，
又該圓與直線相切，如圖，

所以圓心到直線的距離等于半徑，即，則，
因此，即，
所以離心率為.
故選：C.
7. 甲?乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：下列說法錯誤的是（ ）

A. 從平均數(shù)和方差相結(jié)合看，甲波動比較大，乙相對比較穩(wěn)定
B. 從折線統(tǒng)計圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)走勢看，甲更有潛力
C. 從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，甲成績較好
D. 從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看，乙成績較好
【答案】D
【解析】
【分析】由圖找出甲乙打靶的成績，分別計算出甲乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)，結(jié)合折線圖逐項分析可得答案.
【詳解】由圖可知，
甲打靶的成績?yōu)?，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
甲的平均數(shù)為，
甲的方差為
乙打靶的成績?yōu)?，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
乙的平均數(shù)為，
乙的方差為，
所以，從平均數(shù)和方差相結(jié)合看，甲波動比較大，乙相對比較穩(wěn)定，故A正確；
從兩人射擊命中環(huán)數(shù)折線統(tǒng)計圖走勢看，在后半部分，甲呈上升趨勢，而乙呈下降趨勢，甲更有潛力，故B正確；
甲打靶的成績?yōu)?，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位數(shù)為7.5，
乙打靶的成績?yōu)?，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位數(shù)為7，
甲9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)3次，甲9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)1次，甲乙二人的打靶命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)相同，故從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，甲成績較好，故C正確；
甲乙二人的打靶命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)7.5大于乙的中位數(shù)7，
從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看，甲成績較好，故D錯誤.
故選：D.
8. 氣象學中，24小時內(nèi)降落在某面積上的雨水深度（無滲漏?蒸發(fā)?流失等，單位：）叫做日降雨量，等級如下劃分：
降水量




等級
小雨?陣雨
中雨
大雨
暴雨
某同學用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖所示，則那天降雨屬于哪個等級（ ）

A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求出積水的體積，再求出平面上積水的深度，由此確定降雨等級.
【詳解】作圓錐截面圖如下，

由已知，，，，
設(shè)圓錐內(nèi)積水部分的底面半徑為，則，故，
由錐體體積公式可得積水的體積，
因為收集雨水的平地面積為圓錐的底面，故其面積
所以對應(yīng)的平地上的積水深度為，所以該天降雨的等級為中雨.
故選：B.
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7＝a4，則（ ）
A. a1＋a3＝0 B. a3＋a5＝0
C. S3＝S4 D. S4＝S5
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的和的性質(zhì)得到S7＝7a4＝a4，得a4＝0，然后進行判定.
【詳解】由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，
所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，
故BC正確；
“-3，-2，-1，0，1，2，3”是滿足條件的數(shù)列，不滿足AD,
故AD錯誤；
故選:BC.
10. 立德中學舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分數(shù)據(jù)按照[50，60）?[60，70）?[70，80）?[80，90）?[90，100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（ ）

A. 圖中的x值為0.020 B. 這組數(shù)據(jù)的極差為50
C. 得分在80分及以上的人數(shù)為400 D. 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為77
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有長方形的面積和為1，以及極值、頻數(shù)以及平均數(shù)的計算，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】由，可解得，故選項A正確；
頻率分布直方圖無法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項B不正確；
得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為，
故人數(shù)為，故選項C正確；
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為：
故選項D正確.
故選：ACD.
11. 以下四個命題表述錯誤的是（ ）
A. 直線恒過定點
B. 圓上有且僅有2個點到直線的距離都等于
C. 曲線與恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為
D. 已知圓為直線上一動點，過點向圓引條切線，其中為切點，則的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】A選項，變形后得到，求出定點；B選項，求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到有且僅有3個點符合題意；C選項，根據(jù)公切線條數(shù)得到兩圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓心距列出不等式，求出答案；D選項，數(shù)形結(jié)合得到當取得最小值時，取得最小值，利用點到直線距離公式得到答案.
【詳解】A選項，變形得到，
故，解得，所以恒過定點，A表述正確；
B選項，圓的圓心到直線的距離，
因為圓的半徑為，
故圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于，B表述錯誤；
C選項，曲線與恰有四條公切線，故圓與圓相離，
其中變形為，圓心為，半徑為1，
變形為，圓心為，半徑為，
故，解得，
故圓心距為，所以，
解得，
則實數(shù)的取值范圍為，C表述正確；
D選項，圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
故過點向圓引條切線，有，
所以當取得最小值時，取得最小值，
的最小值為，故最小值為，D表述錯誤.
故選：BD
12. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)的遞減區(qū)間是
B. 函數(shù)的最小值為1
C. 函數(shù)在恒成立
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，可判定A、B正確；令，求得，得到，可判定C不正確；不妨設(shè)，由，轉(zhuǎn)化為，令，設(shè)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.
【詳解】因為函數(shù)，其定義域為，可得，
令，解得，所以的遞減區(qū)間是，所以A正確；
令，解得，所以的遞減區(qū)間是，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以B正確；
令，可得，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以，
所以當時，可得成立，所以C不正確；
對于D項，不妨設(shè)，由，可得，
要證，需證，即證，
令，則證成立即可，
設(shè)，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以當時，不等式恒成立，所以D正確.
故選：ABD.
第II卷（非選擇題共90分）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 某中學開展主題為“學習憲法知識，弘揚憲法精神”的知識競賽活動，甲同學答對第一道題的概率為，連續(xù)答對兩道題的概率為，用事件表示“甲同學答對第一道題”，事件表示“甲同學答對第二道題”，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用條件概率計算公式進行求解即可.
【詳解】由已知可知：，
所以，
故答案為：
14. 已知展開式中各項系數(shù)和為，則其展開式中的常數(shù)項為__________.（用數(shù)字做答）
【答案】
【解析】
【分析】由的展開式中各項系數(shù)和為，可求得的值，然后寫出的展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)，代入通項即可得解.
【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)和為，則，解得.
所以，的展開式通項為，
令，可得，所以，展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：.
15. 設(shè)經(jīng)過點M(2,1)的等軸雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,若此雙曲線上的一點N滿足，則△NF1F2的面積為_______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用點在等軸雙曲線上先求出雙曲線的方程，從而可得，，設(shè)，由點在雙曲線上及 列方程組求出,，從而可求出的面積.
【詳解】設(shè)該等軸雙曲線的方程為,
該雙曲線經(jīng)過點，即,
該雙曲線的方程為,
易得，
該雙曲線上的一點滿足,
設(shè),可得，，
則面積，故答案為3.
【點睛】本題主要考查等軸雙曲線的方程與性質(zhì)、利用點在雙曲線上求雙曲線方程，以及向量垂直的坐標表示、三角形面積公式的應(yīng)用，意在可知綜合應(yīng)用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.
16. 已知為函數(shù)圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為___．
【答案】
【解析】
【分析】要求點到曲線的距離最小值，先設(shè)點坐標，求導后由垂直得到關(guān)于參量的函數(shù)，再次運用導數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，解得結(jié)果
【詳解】由圓的對稱性可知，只需滿足圓心（0，）到圖象上一點的距離最小值
設(shè)圖象上的一點為
則
即有切線斜率為
可得
,
設(shè)
,
遞增
又
可得處點（e,1）到的距離最小，為
則線段長度的最小值為
【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究點到曲線上距離最小值，理清題意，求出滿足條件的結(jié)果，本題有一定的難度，屬于中檔題．
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比數(shù)列的基本量轉(zhuǎn)化已知條件，解方程求得首項和公比，則問題得解；
（2）根據(jù)（1）中所求得到，再用錯位相減法即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，
所以.
因為各項均為正數(shù)，所以解得，或.
又因為，所以是遞增的等比數(shù)列，所以，.
所以數(shù)列的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1）知.
則，①
在①式兩邊同時乘以3得，，②
①-②得，即，
所以.
18. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周長.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解作答.
（2）利用三角形面積公式及（1）中信息求出及作答.
【小問1詳解】
在中，由及正弦定理得，即，
又，則，即，
由余弦定理，得，且，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，又，則，于是，又，
因此，所以周長為.
19. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，底面，點在上，.

（1）求證：；
（2）當二面角的正弦值為時，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）由底面是正方形，得，再由底面，可得，從而由線面垂直的判定可得面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）取的三等分點，使得，連接，可得兩兩互相垂直，所以分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.
【小問1詳解】
因為底面是正方形，所以，
又因為底面，面，
所以，
又因為，面，
故面，
又因為面，
所以，即.
【小問2詳解】
由，取的三等分點，使得，連接，
因為底面，平面，
所以，
因為底面是邊長為3的正方形，，，
所以四邊形為矩形，所以,
所以兩兩互相垂直，
所以以為坐標原點，分別所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，

設(shè)，則，
由，設(shè)平面的一個法向量為，則
取，則，
由，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，取，則，
由二面的正弦值為可得：
，
整理得，即，
所以（舍去），，
因為，所以，
故當二面角的正弦值為時，.
20. 某市工業(yè)部門計劃對所轄中小型企業(yè)推行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是對所轄的400家企業(yè)是否支持技術(shù)改造進行的問卷調(diào)查的結(jié)果：

支持
不支持
合計
中型企業(yè)
60
20
80
小型企業(yè)
180
140
320
合計
240
160
400

（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)模”有關(guān)；
（2）從上述支持技術(shù)改造的中小型企業(yè)中，按分層隨機抽樣的方法抽出12家企業(yè)，然后從這12家企業(yè)中隨機選出9家進行獎勵，中型企業(yè)每家獎勵60萬元，小型企業(yè)每家獎勵20萬元．設(shè)為所發(fā)獎勵的總金額（單位：萬元），求的分布列和均值．
附：，．









【答案】（1）推斷犯錯誤的概率不大于．
（2）分布列見解析，270
【解析】
【分析】(1)提出零假設(shè)，計算，比較其與臨界值的大小，確定是否接受假設(shè)；
(2)求隨機變量的所有可能取值，確定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可.
【小問1詳解】
零假設(shè)為：“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)?！睙o關(guān)
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到，
．
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)模”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于．
【小問2詳解】
由（1）可知支持節(jié)能降耗技術(shù)改造的企業(yè)中，中型企業(yè)與小型企業(yè)的數(shù)量比為．
所以按分層隨機抽樣的方法抽出的12家企業(yè)中有3家中型企業(yè)，9家小型企業(yè)．
選出9家企業(yè)的樣本點是，，，（前者為中型企業(yè)家數(shù)，后者為小型企業(yè)家數(shù)）．
故的所有可能取值為180，220，260，300．
，
，
，
，
故的分布列為

180
220
260
300





的均值為
．
21. 已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（2）若存在，使成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先求導，把切點的橫坐標代入導數(shù)方程得切線的斜率，再求切點坐標，從而求出切線方程，由方程求出切線與軸的交點即可求出三角形的面積.
(2) 令，則只要函數(shù)在區(qū)間的最小值小于即可.通過求導討論函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，最后求出a的取值范圍.
【小問1詳解】
當時，，
，所以曲線在處的切線的斜率，又，
切線方程為.
與軸的交點分別是，
切線與坐標軸圍成的三角形的面積·
【小問2詳解】
存在，使即，即.
即存在，使成立.
令，因此，只要函數(shù)在區(qū)間的最小值小于即可·
下面求函數(shù)在區(qū)間的最小值.
，
令，因為，
所以為上的增函數(shù)，且.
在恒成立·
在遞調(diào)遞增，
函數(shù)在區(qū)間的最小值為，
，得.
【點睛】易錯點點睛：第二問的關(guān)鍵點在于把不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，在這類問題中，最容易錯的地方是分不清恒成立和能成立的區(qū)別，若在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，則要大于的最大值；若在給定區(qū)間內(nèi)能成立，則只需要大于的最小值.
22. 如圖，橢圓中，長半軸的長度與短軸的長度相等，焦距為6，點是橢圓內(nèi)一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與橢圓相交于點與橢圓相交于點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值及此時直線的方程.
【答案】（1）
（2）最小值為，此時直線的方程為或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.
（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得的表達式并利用基本不等式求得的最小值，同時求得直線的方程.
【小問1詳解】
長半軸的長度與短軸相等，有，又焦距為6，故，
聯(lián)立，解得，
橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為
由得，
所以，
設(shè)，則

，
又
，
同理，
，
當且僅當時取等號，故的最小值為，
此時直線的方程為或.