?第08講 二次函數(shù)的應用-幾何應用

1、和最小，差最大 在對稱軸上找一點P，使得PB+PC的和最小，求出P點坐標。
在對稱軸上找一點P，使得PB-PC的差最大，求出P點坐標。
解決方案：識別模型，A、若為過河問題模型，根據(jù)“異側和最小，同側差最大，根據(jù)問題同側異側相互轉化”；B、若有絕對值符號或不隸屬于過河問題，可將問題形式平方，構建函數(shù)，轉化為求函數(shù)最值問題（若表達式中含有根式等形式，可考慮用換元法求最值）。
2、求面積最大 連接AC,在第四象限拋物線上找一點P，使得面積最大，求出P坐標。
解決方案：熟悉基本圖形的面積公式【或根據(jù)拼圖思想，采用割補法求面積（注意不重不漏）?！?，根據(jù)問題，靈活選擇面積公式，務必使表達式簡單，變量的最值好求，講變量的最值問題轉化為：”定值+變量的最值“
3、討論直角三角 連接AC,在對稱軸上找一點P，使得為直角三角形，求出P坐標。
或者在拋物線上求點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．
解決方案：此類問題是分類討論思想能力的考察，由于直角三角形的”直角邊“”和“斜邊”不確定而展開討論。在不忘三角形滿足三邊關系的條件下，勿忘“等腰直角三角形”。
4、討論等腰三角 連接AC,在對稱軸上找一點P，使得為等腰三角形，求出P坐標。
解決方案：分析同上4，在能組成△的大前提下，根據(jù)誰作為腰，誰作為底邊展開討論。
5、討論平行四邊形 1、點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標。
解決方案：從平行四邊形的性質入手，已知三點求另外一點，分析其位置情況（分別以3點中任一已知兩點的線段為平行四邊形的邊或其對角線來展開所有的情況的討論）。
6、相似三角形 (第4章) 問拋物線上是否存在一動點D，使得△ABD∽△ABC。
解決方案：從邊的關系找相似（勿忘全等△）或從角的關系找相似，建立數(shù)量關系，解方程并驗證是否合符題意。

例1．如圖1，在中，，已知點P在直角邊AB上，以的速度從點A向點B運動，點Q在直角邊BC上，以的速度從點B向點C運動．若點P，Q同時出發(fā)，當點P到達點B時，點Q恰好到達點C處．圖2是的面積與點P的運動時間之間的函數(shù)關系圖像（點M為圖像的最高點），根據(jù)相關信息，計算線段AC的長為（?????）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，得出，，在中，根據(jù)面積公式得到的面積與點P的運動時間之間的函數(shù)關系，利用頂點式得出當時，有最大值為，從而求出運動時間是，求出，根據(jù)勾股定理即可得出結論．
解：設運動時間，，則，，
在中，，，，則，
當時，有最大值為，
解得，即，
根據(jù)的面積與點P的運動時間之間的函數(shù)關系可知，
拋物線與軸交于和兩點，即運動時間是，
，
在中，，，
根據(jù)勾股定理可得，
故選：B．
【點睛】
本題考查了幾何圖形中動點形成的圖形面積的函數(shù)問題，涉及到三角形面積公式的運用、勾股定理、二次函數(shù)的圖像與性質等知識點，看懂題意，將幾何圖形中點的運動情況與函數(shù)圖像對應起來得到方程是解決問題的關鍵．
例2．如圖，矩形中，，，動點和同時從點出發(fā)，點以每秒的速度沿的方向運動，到達點時停止，點以每秒的速度沿的方向運動，到達點時停止．設點運動（秒）時，的面積為，則關于的函數(shù)的圖象大致為（???????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由點的運動，可知點E從點A運動到點D，用時2s，點F從點A到點B，用時2s，從點B運動到點C，用時1s，從點C運動到點D，用時2s，y與x的函數(shù)圖象分三段：①當0≤x≤2時，②當2＜x≤3時，③當3＜x≤5時，根據(jù)每種情況求出△AEF的面積．
解：點E從點A運動到點D，用時2s，點F從點A到點B，用時2s，從點B運動到點C，用時1s，從點C運動到點D，用時2s，
∴y與x的函數(shù)圖象分三段：
①當0≤x≤2時，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝?2x?4x＝4x2，
這一段函數(shù)圖象為拋物線，且開口向上，由此可排除選項A和選項D；
②當2＜x≤3時，點F在線段BC上，
AE＝4，
此時y＝×4×8＝16，
③當3＜x≤5時，
y＝×4×（4＋8＋4?4x）＝32?8x，由此可排除選項C．
故選：B．
【點睛】
本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象，三角形的面積，矩形的性質，根據(jù)題意理清動點的時間分段，并根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關系式是解題的關鍵，難度不大．
例3．如圖，在中，，，，，點B，C，D，E在同一直線上（點C和點D重合），從點C出發(fā)沿射線方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當點E運動到點C處時，停止運動．設運動時間為x秒，和重疊部分的面積為y，下列圖象能反映y與x之間函數(shù)關系的是（???????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)條件列出特殊部分的表達式即可對應找出圖像．
解：當點D由C運動到B時，此時，DC=x，則DC邊上的高為，面積表達式為：，圖像開口向上，
當點D運動過點B，點E不到點C時，此時，設DF與AB交于點M，EF與AC交于點N則，ED=5-x ，則高為，（如圖）

此時面積表達式為：，圖像開口向下，
當點E運動到點C時，此時 ，根據(jù)知點F恰好在邊AB上，則面積表達式為：，
當點E運動過點C時，此時，由題意勾股定理求得，根據(jù)題意求得，則，則面積表達式為： ，面積逐漸減小，
故選：A．
【點睛】
此題結合圖像平移時面積的變化規(guī)律，考查二次函數(shù)相關知識，根據(jù)平移點的特點列出函數(shù)表達式是關鍵，有一定難度．
例4．如圖，過點的拋物線：（常數(shù)）與軸和軸分別交于點，點，點是拋物線上一點，且//軸，作直線和．甲、乙、丙三人的說法如下：甲：用表示點的坐標為；乙：當，的值有2個，則；丙：若，點是直線上的一點，點到直線的最大距離為．下列判斷正確的是（???????）

A．甲對，乙和丙錯 B．乙對，甲和丙錯 C．甲和丙對，乙錯 D．甲、乙、丙都對
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)解析式能確定點的坐標，結合題意能確定點的坐標，從而可對甲的說法進行判斷；根據(jù)，可以用含代數(shù)式來表示點的坐標，結合二次函數(shù)解析式，可以用含的代數(shù)式表示的坐標，從而確定與的關系，能對已的說法進行判斷；根據(jù)相關圖形的性質結合一次函數(shù)性質得到直線的解析式，結合勾股定理，能確定點到直線的最大距離的長，從而對丙的說法進行判斷．
甲：對于二次函數(shù)，
令，則有，
∴，
∵//軸，
∴，
令，則有
∴
∴
故甲正確；
乙：∵
∴
∴，
對于二次函數(shù)
∴拋物線的對稱軸直線
∴
∴
∴與是一一對應的關系．
故乙錯誤；
丙：，
∴四邊形是平行四邊形
∴
∴
設直線的解析式
∴
∴
∴直線的解析式：
∵點是直線上的一點
∴點到直線的最大距離為
∵，，，
∴
∴點到直線的最大距離為．
故丙正確；
故選：C
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)和幾何圖形的綜合，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質，相關幾何圖形的性質是解本題的關鍵．
例5．已知拋物線與軸交于A，B兩點，P為拋物線頂點，且當時，y隨的增大而減小，若△ABP為等邊三角形，則的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
將拋物線表達式分別轉化為兩點式和頂點式，得到A（-1，0）、B（5，0）及頂點P（2，-9a）；過點P作與點H，結合等邊三角形的性質，可知，，利用勾股定理計算PH的值，再由計算a值即可．
解：∵，
令，解得，，
即A（-1，0）、B（5，0）；
∵，
∴其頂點坐標為（2，-9a），對稱軸為，
∵當時，y隨的增大而減小，
∴拋物線開口向上，即，
∵△ABP為等邊三角形，
∴，
如圖，過點P作與點H，則，
在中，，
又∵，即（），
∴．
故選：B．

【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)與實際問題（圖形問題）、等邊三角形的性質以及勾股定理的知識，解題關鍵是準確作出圖形并運用數(shù)形結合的思想分析問題．
例6．如圖，正方形ABCD的邊長為5，動點P的運動路線為AB→BC，動點Q的運動路線為BD．點P與Q以相同的速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，當一個點到達終點停止運動時另一個點也隨之停止．設點P運動的路程為x，△BPQ的面積為y，則下列能大致表示y與x的函數(shù)關系的圖象為（???????）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分兩種情況：P點在AB上運動時，點P在BC上運動時；分別求出解析式判定即可．
解：P點在AB上運動時，過點Q作QE⊥AB于點E，


由題意得：AP=x，BQ=x，∠ABQ=∠CBQ=45°，
∴BP=5-x，EQ=，
∴y=（5-x）×=-x2+x，（0＜x≤5），是開口向下的拋物線的一部分；
同理，點P在BC上運動時，
y=（x-5）×=x2-x（5＜x≤5）．是開口向上的拋物線的一部分．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是正確的求出函數(shù)解析式．
例7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，D為線段OB上一點．過點D作x軸的垂線與拋物線交于點E，與直線BC相交于點F，則點E到直線BC距離d的最大值為_________．

【答案】
【解析】
【分析】
由拋物線的解析數(shù)求出點和點的坐標，從而求得直線的表達式，將向上平移于至與拋物線只有一個交點時，過點作于，直線的表達式為，根據(jù)拋物線與直線只有一個交點時，即，即可求得的值，則可求得，要求點E到直線BC距離d的最大值，即求的長度，利用勾股定理即可求解．
解：當時，，
點的坐標為，
當時，即，
解得，，
點，點，
設直線的表達式為：，且過點和，
得，解得，
，
將向上平移于至與拋物線只有一個交點時，過點作于，如圖所示，
要求點E到直線BC距離d的最大值，即求的長度，
則可設直線的表達式為：，
，
，
，
則，即，
由于只有一個交點，則，
解得，
，
，
，
，
，
故答案為：．

【點睛】
本題考查了一次函數(shù)與拋物線的綜合應用，根據(jù)題意，點E到直線BC距離d的最大值即可轉化為求的長度，利用數(shù)形結合思想根據(jù)直線平移的性質及勾股定理的應用是解題的關鍵．
例8．中國南宋大數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為a、b、c，則三角形的面積可由公式S=求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足c=3，a+b=5，則此三角形面積的最大值為_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
先求出，然后代入到公式中得到關于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質求解即可．
解：由題意得：，，
∴




，
∵，
∴當時，有最大值，即有最大值3，
故答案為：3．
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)的應用，二次根式的應用，正確理解題意是解題的關鍵．
例9．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的一邊AB在x軸上，頂點B在x軸正半軸上．若拋物線y＝x2﹣5x+4經(jīng)過點C、D，則點B的坐標為______．

【答案】（2，0）
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線y＝x2﹣5x+4經(jīng)過點C、D和二次函數(shù)圖象具有對稱性，可以求得該拋物線的對稱軸和CD的長，然后根據(jù)菱形的性質和勾股定理可以求得AO的長，從而可以求得OB的長，進而寫出點B的坐標．
解：∵拋物線y＝x2﹣5x+4，
∴該拋物線的對稱軸是直線x，點D的坐標為（0，4），
∴OD＝4，
∵拋物線y＝x2﹣5x+4經(jīng)過點C、D，
∵四邊形ABCD為菱形，AB在x軸上，
∴CD∥AB，即CD∥x軸，
∴CD2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴點B的坐標為（2，0），
故答案為：（2，0）．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、菱形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質和數(shù)形結合的思想解答．
例10．如圖，將直角△ABC沿斜邊AC翻折后B點的對應點，點P、Q是線段AB、上的動點，且BP=，已知AB=12，BC=5，則線段PQ的最小值為 ______．

【答案】##
【解析】
【分析】
連接，交AC于點O．可以O為坐標原點，以AC方向為x軸正方向，方向為y軸正方向建立直角坐標系，根據(jù)等積法可求出的長，即得出B和的坐標．根據(jù)勾股定理可求出A和C的坐標，從而可求出經(jīng)過A、B的直線解析式和經(jīng)過、C的直線解析式．故可設P(，)，Q(，)，根據(jù)兩點的距離公式求出，，根據(jù)BP=，即得出m，n的關系．還可求出，結合二次函數(shù)的性質求出的最小值即得出PQ的最小值．
連接，交AC于點O．
由翻折可知，．
故可以O為坐標原點，以AC方向為x軸正方向，方向為y軸正方向建立直角坐標系，如圖．

∵在中，AB=12，BC=5，
∴．
∵，
∴．
∴B(0，)，(0，)．
∵在中，AB=12，，
∴，
∴，
∴A (，0)，C(，0)．
設經(jīng)過A、B的直線解析式為，
則，解得：，
∴經(jīng)過A、B的直線解析式為．
設經(jīng)過、C的直線解析式為，
則，解得：，
∴經(jīng)過、C的直線解析式為．
故可設P(，)，Q(，)，
則，，
∵，
∴，
整理，得：．
根據(jù)所作坐標系可知，．
∴．
∵，
將代入，并整理得：，
其對稱軸為，且開口向上，
又∵，
∴當時，最小，最小值為，
∴此時最小，最小值為．
故答案為：．
【點睛】
本題考查翻折的性質，勾股定理，坐標與圖形，兩點的距離公式以及二次函數(shù)的性質．把幾何問題改為二次函數(shù)求最值的問題是解題關鍵．本題數(shù)據(jù)處理較大，較難．

一、單選題
1．九年級2班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形，等腰三角形（底邊靠墻），半圓形這三種方案，最佳方案是（???????）


A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】
【分析】
分別計算出三個方案的菜園面積進行比較即可．
解：方案1，設米，則米，


則菜園的面積


當時，此時散架的最大面積為8平方米；
方案2，當∠時，菜園最大面積平方米；


方案3，半圓的半徑
此時菜園最大面積平方米>8平方米，
故選：C
【點睛】
本題主要考查了同周長的幾何圖形的面積的問題，根據(jù)周長為8米計算三個方案的邊長及半徑是解本題的關鍵．
2．如圖，在中，，邊在x軸上，．點P是邊上一點，過點P分別作于點E，于點D，當四邊形的面積最大時，點P的坐標為（???????）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直線AB的解析式為，然后設點P的坐標為，可得，從而得到四邊形的面積為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求解．
解：設直線AB的解析式為
，
把點代入得：
，解得：，
∴直線AB的解析式為，
設點P的坐標為，
∵，
∴點C（-1，0），
∵于點E，于點D，
∴，
∴四邊形的面積為

，
∴當m=3時，四邊形的面積最大，此時點P（3，2）．
故選：D
【點睛】
本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．
3．如圖，直線與兩坐標軸交于A，B兩點，點P是線段AB上一動點（不與A，B兩端點重合），過點P作PC⊥x軸于點C，作PD⊥y軸于點D，小明認為矩形PCOD的周長不變且始終為6；小紅認為矩形PCOD的面積有最大值，最大值為3．關于小明與小紅的判斷，下面說法正確的是（???????）


A．小明與小紅都是正確的 B．小明與小紅都是錯誤的
C．小明是正確的，小紅是錯誤的 D．小明是錯誤的，小紅是正確的
【答案】C
【解析】
【分析】
設P(x，)()．根據(jù)周長公式求出周長，即可判定小明的正誤；根據(jù)面積公式求出面積，結合二次函數(shù)的性質，即可判斷小紅的正誤．
設P(x，)()，
∵，
∴周長不變，且始終為6，即小明正確；
∵，
∴當時，最大，最大為，即小紅是錯誤的．
故選C
【點睛】
本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合．掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵．
4．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE=BD．若△ABD的周長為20cm，則△BCD的面積S（cm2）與AB的長（cm）之間的函數(shù)關系式可以是（???????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解的長度，再利用三角形的面積公式列二次函數(shù)關系式即可.
解： AB=AD，△ABD的周長為20cm，設





故選：C
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)的幾何應用，列二次函數(shù)關系式，掌握“利用圖形面積公式列二次函數(shù)關系式”是解題的關鍵.
5．如圖，矩形中，，，拋物線的頂點在矩形內部或其邊上，則的取值范圍是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得點M的坐標，然后根據(jù)點M在矩形內部或其邊上列出不等式求解即可．
解：拋物線的頂點坐標M為（m，-m＋1），
∵，，
∴，
∴-1≤m≤0，
故選：D．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)與實際問題，解題的關鍵是熟知拋物線的性質．
6．如圖，的三個頂點A、C、D都在二次函數(shù)的圖象上，斜邊平行于x軸，若斜邊上的高長為h，則（???????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設斜邊與y軸交于點E，連接AE，設點C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，則h=4a2-4b2，再利用勾股定理，即可求解．
解：設斜邊與y軸交于點E，連接AE，如圖，


設點C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，
∴h=4a2-4b2，，
∵的三個頂點A、C、D都在二次函數(shù)的圖象上，斜邊平行于x軸，
∴點E為斜邊的中點，
∴，
在中，，即，
∴，
解得．
故選D．
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)與三角形的綜合、勾股定理．
7．如圖，正方形ABCD中，AB＝4cm，動點E從點A出發(fā)，沿折線運動到點C停止，過點E作交CD于點F，設點E的運動路程為xcm，DF＝y(tǒng)cm，則y與x對應關系的圖象大致是（???????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分別求出點E在AB、BC段運動時函數(shù)的表達式，即可求解．
解：由已知，AB= BC =4，
當E在AB上時，如圖1， 即0＜x≤4，

????????圖1
此時，DF=AE=x，
∴當0＜x≤4，函數(shù)關系式為：y=x，
當E在BC上時，如圖2，即4＜x≤8，

????????圖2
∵EF⊥AE
∴△ABE∽△ECF
∴
∴，
∴，
∴，
由此可得出：當0＜x≤4時，函數(shù)關系式為y=x；當4＜x≤8時，函數(shù)關系式為
故選：A
【點睛】
本題考查的是動點圖象問題，涉及到二次函數(shù)、一次函數(shù)、解直角三角形等知識，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解．
8．在邊長為的正方形中，對角線與相交于點O，P是上一動點，過P作，分別交正方形的兩條邊于點E，F(xiàn)．設，的面積為y，當時，y與x之間的關系式為（???????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方形的性質和勾股定理求得AC=BD=2，再由面積公式可求y與x的函數(shù)關系，即可求解．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=1，
∵當1＜x＜2時，即P在OD上，

∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：1，
∴EF=4-2x，
∴y=EF?OP=×(4?2x)?(x?1)=-x2+3x-2．
故選：C．
【點睛】
本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，解答本題的關鍵是利用三角形的面積公式列出二次函數(shù)解析式解決問題．
9．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，點M從A出發(fā)沿路徑運動，點N從B出發(fā)沿路徑運動，M，N兩點同時出發(fā)，且點N的運動速度是點M運動速度的3倍，當M運動到B時，M，N兩點同時停止運動，若M的運動路程為x，△BMN的面積為y；則能反映y與x之間函數(shù)關系的圖象是（???????）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
過點N作NE⊥AB交射線AB于E，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，求出∠DAB=∠NBE=60°，根據(jù)NE⊥AB，求出∠BNE=90°-∠NBE=30°，分兩段，當點N在BC上時， 求出，當點N在CD上，點N到AB的距離，過點C作CF⊥AB交射線AB于F，求出，然后對各選項進行分析即可．
解：過點N作NE⊥AB交射線AB于E，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB=∠NBE=60°，???
∵NE⊥AB，
∴∠BNE=90°-∠NBE=30°，
分兩段，當點N在BC上時，AM=x，BN=3AM=3x，
∴BE=，
∴NE=，
∴，


當點N在CD上，點N到AB的距離，過點C作CF⊥AB交射線AB于F，
∵NE⊥AB，CF⊥AB，CD∥AB，
∴∠NEF=∠CFE=∠ENC=90°，
∴四邊形NEFC為矩形，???
∴CF=NE，
在Rt△BCF中，BC=4，∠BCF=90°-∠CBE=30°，
∴BF=，
∴CF=，
，


∴點N在BC上是開口向下的拋物線，點N在CD上是一次函數(shù)，
A．圖像是兩個一次函數(shù)的聯(lián)合，故選項A不合題意；
B．點N在BC上時函數(shù)圖像是一次函數(shù)，點N在CD上函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，故選項B不合題意；
C．點N在BC上時函數(shù)圖像是開口向下的拋物線，點N在CD上函數(shù)圖像是一次函數(shù)，故選項C合題意；
D．點N在BC上時函數(shù)圖像是開口向下的拋物線函數(shù)，點N在CD上函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，故選項D不合題意．
故選擇C．
【點睛】
本題考查平行四邊形性質，二次函數(shù)，一次函數(shù)，圖形動點問題，30°張角三角形性質，勾股定理，三角形面積，掌握平行四邊形性質，二次函數(shù)，一次函數(shù)，圖形動點問題，30°張角三角形性質，勾股定理，三角形面積是解題關鍵．
10．如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，AB的中點，連結EF，，點H是EF上一動點，設FH的長為x，GH與BH長度的和為y．圖2是y關于x的函數(shù)圖象，點P為圖象上的最低點，則函數(shù)圖象的右端點Q的坐標為（??????????）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意，當C、H、G共線時y最小，此時FH=1，由三角形的中位線可求得AB=4，當FH=EF=4時，y最大，連接BE、GE，利用勾股定理求出BE和GE即可求解．
解：連接CG交EF于H′，當H運動到H′時y最小，由函數(shù)圖象知， x=1，即FH=1時y最小，
∵在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，AB的中點，
∴EF∥AB，EF=AB，BF=AE= BC=3，AG=BG，
∴CH′=GH′，
∴BG=2FH′=2，則AB=4，
當H運動到E點時，y最大，此時FH=EF=4，即x=4，
連接BE、GE，
由勾股定理得：BE= ，GE= ，
∴GH+BH=BE+GE=5+ ，即y=5+ ，
∴Q點坐標為（4，5+ ），
故選：D．


【點睛】
本題考查矩形的性質、三角形的中位線、二次函數(shù)的性質、勾股定理、最短路徑問題，理解題意，能從圖象中找到有效信息并能利用數(shù)形結合思想解決問題是解答的關鍵．
二、填空題
11．如圖，長為9cm，寬為6cm的大矩形被分割為7個小矩形，除矩形A，B（陰影部分）外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小矩形則矩形A與矩形B面積和的最小值是____．

【答案】
【解析】
【分析】
設其余5塊形狀、大小完全相同的小矩形的短邊為x，根據(jù)圖形表示出矩形A與矩形B面積，求出面積和的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可．
解：設其余5塊形狀、大小完全相同的小矩形的短邊為x，
根據(jù)圖中各邊關系可得：
，
，
∴，
當時，，符合題意，
∴矩形A與矩形B面積和的最小值為：，
故答案為：．
【點睛】
題目主要考查了矩形的性質、二次函數(shù)的應用及最值問題，理解題意，表示出兩個矩形的面積是解題關鍵．
12．如圖，拋物線 與直線交與點A與點B，點P是線段AB上的動點，過點P作PQ∥y軸，交拋物線于點Q，則線段PQ長的最大值為_______．

【答案】##0.25
【解析】
【分析】
根據(jù)PQ∥y軸，可設點，則，從而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求解．
解：∵PQ∥y軸，
∴可設點，則，
∴，
∴當時，最大，最大值．
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．
13．如圖，在中，，，為邊上的高，動點在上，從點出發(fā)，沿方向運動，設，的面積為，矩形的面積為，，則與的關系式是________．

【答案】
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求BC，AD是等腰直角三角形斜邊上的高得AD=BD=DC=
由，則PD=，S1=，S2=，求即可．
在中，，，
∴，
∵為邊上的高，
∴AD=BD=DC=
設，
∴PD=，
∵矩形，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45o，
∴PE=AP=x，
S1=，
S2=，
∴，
．
故答案為：．
【點睛】
本題考查等腰直角三角形的性質，勾股定理，三角形面積，矩形的性質與面積，掌握等腰直角三角形的性質，勾股定理，三角形面積，矩形的性質與面積是解題關鍵．
14．如圖，B船位于A船正東25km處，現(xiàn)在A，B兩船同時出發(fā)，A船以的速度朝正北方向行駛，B船以的速度朝正西方向行駛，則兩船相距最近是______km．

【答案】15
【解析】
【分析】
設A、B船行駛的時間為t小時，則可根據(jù)勾股定理及二次函數(shù)的性質可進行求解．
解：設A、B船行駛的時間為t小時，由圖可得：
，
∴在Rt△中，，
∴當t=2時，取最小值，
即km，
∴兩船相距最近是15km；
故答案為15．
【點睛】
本題主要考查勾股定理及二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
15．如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=?4x +c上運動，過點A作AB⊥x軸于點B，以AB為斜邊作Rt△ABC，若AB邊上的中線CD的最小值為則c=____________________．

【答案】7
【解析】
【分析】
根據(jù)直角三角形的性質，得,進而得到拋物線的頂點坐標為（2，3），代入函數(shù)表達式，即可求解．
∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴,
∵CD的最小值為
∴AB的最小值為3，
∵點A在拋物線y=?4x +c上運動， AB⊥x軸，
∴點A運動到拋物線的頂點位置時，AB=3，即拋物線的頂點坐標為：（2，3），
∴3=?4×2+c，即：c=7，
故答案是：7
【點睛】
本題主要考查直角三角形的性質以及二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖像的性質，是解題的關鍵．
16．如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，過點，作一條直線．
（1）的度數(shù)是______；
（2）點在線段上，且點的坐標為，過點作軸，交直線于點，交拋物線于點，則線段的長為______．

【答案】???? 45°；???? 2
【解析】
【分析】
（1）分別求出A,B,C的坐標，得到，故可求解；
（2）先求出直線l的解析式，再得到M,N的坐標即可求解．
（1）當時，，解得，，∵點在點的左側，
∴點坐標為，點坐標為．當時，，
∴點坐標為，∴，∴．
（2）設直線的函數(shù)表達式為，根據(jù)題意得，解得，
∴直線的函數(shù)表達式為；
當時，，
∴點的坐標為；
當時，，
∴點的坐標為；∴．
故答案為：45°；2．
【點睛】
此題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，解題的關鍵是求出各點坐標．
17．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，D為線段OB上一點．過點D作x軸的垂線與拋物線交于點E，與直線BC相交于點F，則點E到直線BC距離d的最大值為_________．

【答案】
【解析】
【分析】
由拋物線的解析數(shù)求出點和點的坐標，從而求得直線的表達式，將向上平移于至與拋物線只有一個交點時，過點作于，直線的表達式為，根據(jù)拋物線與直線只有一個交點時，即，即可求得的值，則可求得，要求點E到直線BC距離d的最大值，即求的長度，利用勾股定理即可求解．
解：當時，，
點的坐標為，
當時，即，
解得，，
點，點，
設直線的表達式為：，且過點和，
得，解得，
，
將向上平移于至與拋物線只有一個交點時，過點作于，如圖所示，
要求點E到直線BC距離d的最大值，即求的長度，
則可設直線的表達式為：，
，
，
，
則，即，
由于只有一個交點，則，
解得，
，
，
，
，
，
故答案為：．

【點睛】
本題考查了一次函數(shù)與拋物線的綜合應用，根據(jù)題意，點E到直線BC距離d的最大值即可轉化為求的長度，利用數(shù)形結合思想根據(jù)直線平移的性質及勾股定理的應用是解題的關鍵．
18．如圖，已知拋物線與x軸相交于于點，，與軸的交于點．點在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，設的面積為．下列結論：①；②；③，其中，正確結論的序號是________．（所有正確的序號都填上）

【答案】①②③
【解析】
【分析】
中令y=0得：，得A（-1，0），B（3，0），從而判斷①；中令x=0得：y=6，得C（0，6），從而判斷②；過點作軸，交于點，求出BC的函數(shù)關系式，得出點的坐標為，點的坐標為，再列出S關于m的函數(shù)關系式，最后求出其最大值，從而判斷③．
∵拋物線與x軸相交于于點，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正確；
∵拋物線與y軸相交于于點C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正確；
過點作軸，交于點，如圖1所示．

設直線的解析式為，
將、代入，
得，解得，
直線的解析式為．
點在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，
點的坐標為，則點的坐標為，
，
，
當時，面積取最大值，最大值為．
故③正確，
故答案為：①②③．
【點睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質，坐標與圖形的性質等知識，熟練運用方程思想及分類討論思想是解題的關鍵．
三、解答題
19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x的圖象與二次函數(shù)y=-x2+bx（b為常數(shù)）的圖象相交于O，A兩點，點A坐標為（3，m）．

(1)求m的值以及二次函數(shù)的表達式；
(2)若點P為拋物線的頂點，連結OP，AP，求△POA的面積．
【答案】(1)m的值為3，二次函數(shù)的表達式為：y=-x2+4x；
(2)△POA的面積為3．
【解析】
【分析】
（1）把點A的坐標為（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A點坐標代入二次函數(shù)表達式即可解答；
（2）過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交OA于點D，然后把△OPD的面積與△APD的面積相加即可．
(1)
解：把點A坐標為（3，m）代入一次函數(shù)y=x中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把點A坐標為（3，3）代入二次函數(shù)y=-x2+bx中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m的值為3，二次函數(shù)的表達式為：y=-x2+4x；
(2)
解：過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交OA于點D，過點A作AE⊥PC，垂足為E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴頂點P（2，4），
把x=2代入y=x中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA的面積=△OPD的面積+△APD的面積，
∴△POA的面積=PD?OC+PD?AE
=PD（OC+AE）
=×2×3
=3，
答：△POA的面積為3．

【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，正比例函數(shù)的圖象，把△POA的面積分成△OPD的面積與△APD的面積之和是解題的關鍵．
20．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸交于點．

(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點，使與的面積相等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)存在，或或
【解析】
【分析】
（1）將點的坐標代入解析式求解即可；
（2）令，求得點的坐標，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）設，邊上的高為，則，根據(jù)與的面積相，求得，令解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，
∴，
解得，
即，
；
(2)
存在，或或，
理由如下，
由，令，
即，
解得，
，
；
(3)
設，邊上的高為，
與的面積相等，
，
是上的點，
則，
或，
解得或.，
或或．
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求解析式，求二次函數(shù)與坐標軸的交點，三角形面積問題，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．
21．如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，過點的直線平行于軸，交直線于點，點是直線上一動點（異于點），連接．

(1)求直線的解析式；
(2)設，求的面積的表達式（用含的代數(shù)式表示）；
(3)當?shù)拿娣e為3時，則以點為直角頂點作等腰直角，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)
(2)當時，；當時，
(3)
【解析】
【分析】
（1）將點（4，0）代入即可；
（2）過點作，垂足為，即可得出；
（3）首先求出點P坐標，再分類討論即可；
(1)
解：∵直線交軸于點，
∴，???∴，
∴直線，
(2)
解：如圖1（a），過點作，垂足為，
∵過點的直線平行于軸，交直線于點D，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
當時，，
當時，；
(3)
解：由（2）可知，
∵面積為3，
∴，
解得或，
當時，點P坐標為（2，2）如圖，

與x軸交與點Q，
當時，，
∴，
∴點坐標為（2，-2），
過點作軸，交x軸于點H，
當時，，
∴，
∴點坐標為（6，2），
當時，點P坐標為（2，-1）如圖，

軸，交于點N，
當時，，
∴，，
∴點坐標為（5，-2），
作，交于點M，
當時，，
∴，，
∴點坐標為（3，2），
綜上點C坐標為（6，2）、（2，-2）、（5，-2）、（3，2）．
【點睛】
本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積，等腰直角三角形的判定，解題關鍵是掌握一次函數(shù)的性質以及等腰直角三角形的判定．
22．如圖，拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且．


(1)求拋物線的解析式及對稱軸．
(2)在拋物線上任取一點E，過點E作軸，且四邊形ABEF為平行四邊形，在線段EF上任取一點P，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，記點Q的縱坐標為．當點E到拋物線對稱軸的距離不超過個單位長度時，求的取值范圍．
【答案】(1)拋物線的解析式為，對稱軸x
(2)的取值范圍：-12≤yQ≤
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)點C為拋物線y=ax2+bx+3與y軸的交點，得出點C的坐標及OC的長，再根據(jù)2OB=2OC=3OA，得出點A和點B的坐標，然后用待定系數(shù)法求解即可求得解析式，最后根據(jù)x=-求對稱軸即可．
（2）作平行四邊形ABEF，由平行四邊形的性質可得EF=AB=5；由點E到拋物線對稱軸的距離不超過個單位長度，得出xE的取值范圍，從而可得xF的范圍；根據(jù)點P在線段EF上，PQ⊥EF，得出xP和xQ的范圍，結合點Q在拋物線上，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得點Q的縱坐標yQ的取值范圍．
(1)
解：∵點C為拋物線y=ax2+bx+3與y軸的交點，
∴C（0，3），
∴OC=3，
又∵2OB=2OC=3OA，
∴OB=3，OA=2，
∴A（-2，0），B（3，0），
將點A，B的坐標代入拋物線y=ax2+bx+3中，
得 ，解得，
∴拋物線的解析式為 ，
∴拋物線的對稱軸為直線x．
(2)
作平行四邊形ABEF，如圖所示：


∴EF=AB=5，點F在點E的左側，
又∵點E到拋物線對稱軸的距離不超過個單位長度，且拋物線的對稱軸為直線x=，
∴0≤xE≤1，
∴-5≤xF≤-4，
又∵點P在線段EF上，PQ⊥EF，
∴-5≤xP≤1，xP=xQ，
∴-5≤xQ≤1，
又∵點Q在拋物線 上，
∴當xQ=時，yQ取最大值，
當xQ=-5時，yQ取最小值-12，
∴-12≤yQ≤．
【點睛】
本題考查了拋物線與縱坐標的交點坐標、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質、二次函數(shù)的圖象與性質等知識點，數(shù)形結合、熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．
23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3與x軸和y軸分別交于A、B兩點，拋物線的頂點為C（c，-4），聯(lián)結AB、AC、BC．

（1）求這條拋物線的表達式和c的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）在y軸上找一個點M（點M不與點B重合），使得∠AMC＝90°，并將△AMC沿直線AC翻折，得到△ANC，求點N的坐標．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；c=1，（2）3；（3）（4，-3）
【解析】
【分析】
（1）用對稱軸公式求出c的值，代入即可求出拋物線解析式；
（2）求出A、B兩點坐標，利用面積和差求出三角形面積即可；
（3）利用勾股定理求出點M坐標，再根據(jù)中點坐標公式求出點N的坐標即可．
（1）拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3的對稱軸為：直線，
所以，頂點橫坐標c的值為1，頂點坐標為C（1，-4），代入拋物線解析式得，，
解得，，
拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）當x=0時，y＝﹣3，點B的坐標為（0，-3）；
當y=0時，0＝x2﹣2x﹣3，解得，，，點A的坐標為（3，0）；
連接OC， ；
；
；
；

（3）設點M坐標為（0，m），
， ，，
∵∠AMC＝90°，
∴，即，
解得，，（舍去）；
∴點M坐標為（0，-1），
由翻折可知，MN⊥AC，MH＝HN，
∵，；
∴AM＝MC，
∴AH＝HC，
∴點H坐標為，即，
設點N坐標為（n，d），
則，
解得，，
點N坐標為（4，-3）．

【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合，包括勾股定理，求解析式，對稱點的坐標，解題關鍵是熟練運用二次函數(shù)知識進行計算求解，利用設坐標建立方程．
24．如圖，已知拋物線的對稱軸，且拋物線經(jīng)過，兩點，與x軸的另一個交點為B．

(1)求直線和拋物線的函數(shù)表達式．
(2)在拋物線的對稱軸上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標．
(3)設P為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點P的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)點A坐標與對稱軸，可得出點B坐標，結合點C坐標即可得出直線與拋物線表達式．
（2）點A與對點B關于對稱，則，最小，即最小，B，M，C三點共線，可確定點M．
（3）分三種情況，點B、C、P分別為直角頂點時，討論即可得出點P坐標．
(1)
解：∵拋物線對稱軸，經(jīng)過
∴拋物線與x軸另一交點
∴直線表達式：．
設拋物線，將點代入，
有，解得
∴拋物線表達式．
(2)
解：∵點A，B關于對稱，
∴
∴，
∴B，M，C三點共線時有最小值，
∴M為BC與對稱軸的交點，
當時，，
∴．
(3)
解：設點
∵點、，
∴BC2＝BO2＋CO2＝32＋32＝18，
，，
①當點B為直角頂點時，即，即，解得t＝－2，此時點．
②當點C為直角頂點時，即，即，解得t＝4，此時點．
③當點P為直角頂點時，即，即，解得 ，，此時點或．
∴點P的坐標為或或或．
【點睛】
本題綜合考查二次函數(shù)的圖像與性質、待定系數(shù)法求解析式、利用軸對稱性質確定線段最小長度等，綜合性較強，熟練掌握函數(shù)知識是解題的關鍵．
25．綜合與探究
如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸分別交于點A(?2，0)，B(4，0)，點E是x軸正半軸上的一個動點，過點E作直線PE⊥x軸，交拋物線于點P，交直線BC于點F．

(1)求二次函數(shù)的表達式．
(2)當點E在線段OB上運動時（不與點O，B重合），恰有線段，求此時點P的坐標．
(3)試探究：若點Q是y軸上一點，在點E運動過程中，是否存在點Q，使得以點C，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為菱形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點Q的坐標為(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的表達式為，用m表示點P、E、F的坐標，根據(jù)，列方程求解即可；
（3）分當FP=FC和FP=PC時，兩種情況討論，建立方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸分別交于點A(?2，0)，B(4，0)，
∴，解得，
∴二次函數(shù)的表達式為y=-；
(2)
解：令，得，
∴點C(0，4)．
∵B(4，0)，C(0，4)，設直線BC的表達式為，
∴，解得，
∴直線BC的表達式為；
設點的橫坐標為，則，，．
∴，
，
當時，．解得，（舍去）．
當時，．
∴點坐標為；
(3)
解：由（2）得，，，C(0，4)，
當FP=FC時，
∴=，
整理得：m2-(4-2)m=0或m2-(4+2)m=0，
解得：m=0(舍去)或m=4-2或m=4+2，
∴CQ=PF=4-4或4+4，
如圖①，當點Q在點C上方時，點Q(0，4)；
如圖②，當點Q在點C下方時，點Q(0，-4)；
；
當FP=PC時，
∴=，
整理得：m2-2m=0，
解得：m=0(舍去)或m=2，
∴CQ=PF=2，
∴點Q(0，2)；

綜上，點Q的坐標為(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質和菱形的性質；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質．

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