2023屆華大新高考聯(lián)盟高三名校預(yù)測卷全國數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式求得集合，利用基本不等式求出集合，再求交集可得答案.【詳解】依題意，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立， 所以，故.故選：B．2．的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】依題意，，故所求虛部為，故選：A．3．中心對稱圖形的疊加會產(chǎn)生對稱美的效果，現(xiàn)有如下疊加：在正六邊形中，取六條邊的中點(diǎn)順次連接，得到一個六邊形，將上述步驟再重復(fù)一次，得到六邊形如圖所示，則往正六邊形中任意投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在六邊形內(nèi)的概率為（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幾何概型，求面積比即可【詳解】  不妨設(shè)，則，故所求概率，故選：C．4．已知冪函數(shù)，若，則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的解析式得出等式，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值后確定參數(shù)值可得答案．【詳解】依題意，則，設(shè)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,知該方程有唯一解，故，易知該函數(shù)為偶函數(shù).故選：B．5．已知首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系可知數(shù)列的周期為4，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，，則；而，則，故數(shù)列的周期為4．又，則.故選：D．6．已知平面向量，滿足，，，則，夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】對進(jìn)行平方可得，可算出，最后利用夾角公式即可【詳解】依題意，，解得，故，故，故選：A．7．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓．橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為，記橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，則的值不可能為（    ）A．4 B．7 C．10 D．14【答案】D【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，求得，然后由即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，得，解得，則，故，故選：D．8．已知在邊長為2的正方體中，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置），現(xiàn)有如下說法：①平面；②；③點(diǎn)到平面的距離的最大值為1．則正確說法的個數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，判斷線面，面面位置關(guān)系.【詳解】  在正方體中，因，平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因平面，所以平面，故①正確；因，  ，，平面，平面，所以平面，又因平面，，同理，因，平面，平面，所以平面，平面，故，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在端點(diǎn)時，點(diǎn)到平面的距離為最大值即，③錯誤．故選：．9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在雙曲線C上，.若為等邊三角形，且，則雙曲線C的漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的對稱性得出，結(jié)合余弦定理，得出，進(jìn)而得出答案.【詳解】由雙曲線的對稱性可知，點(diǎn)M，N在雙曲線C的右支上，且；又，故.連接，則，故，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得，故，故雙曲線C的漸近線方程為.故選：D10．已知正數(shù)滿足，且，記，現(xiàn)有如下說法：（1）若，則，都有；（2）若，則，都有；（3）若，則，都有；（4）若，則，都有．則正確說法的個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)可得其單調(diào)性，得到，同理可得的單調(diào)性，即可判斷①②，然后由其推論，即可判斷③④.【詳解】令，因?yàn)?/span>在定義域上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，故，故，即；令，因?yàn)?/span>在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，故，即．綜上所述，若，則，都有，故①錯誤；同理可得，②正確；若，則；若，由①的推論可知，，則，而，故，則，故，故，故；若，同理可得，；故若，則，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則③正確；同理可得，④正確．故選：C．11．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（    ）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．若，則的值可以是D．函數(shù)有4個零點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡，進(jìn)而可畫出其圖象，結(jié)合圖象根據(jù)選項(xiàng)即可求解.【詳解】依題意， ，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，觀察可知，A、B正確；若，可以取，，故C正確；當(dāng)，當(dāng) ，結(jié)合圖象可知與有5個交點(diǎn)，故函數(shù)有5個零點(diǎn)，故D錯誤.故選：D12．已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為成立，即上遞減，進(jìn)而有恒成立，導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最大值，即可求參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)時，，故，故，令，則，令，故，令，故，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，將問題最終轉(zhuǎn)化為恒成立. 二、填空題13．為了反映城市的人口數(shù)量x與就業(yè)壓力指數(shù)y之間的變量關(guān)系，研究人員選擇使用非線性回歸模型對所測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并設(shè)，得到的數(shù)據(jù)如表所示，則_________.x46810z2c56 【答案】3【分析】由非線性回歸模型和，得回歸直線方程，代入樣本點(diǎn)中心即可求值.【詳解】，，依題意，，而回歸直線方程過點(diǎn)，故，解得.故答案為：314．已知函數(shù)則的解集為________．【答案】【分析】畫出的圖象，令，結(jié)合圖象利用在上單調(diào)遞減、為偶函數(shù)可得，再解不等式可得答案．【詳解】的圖象如下，  依題意，的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，令，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故．故答案為：.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和________．【答案】【分析】根據(jù)，作差得到，即可求出的通項(xiàng)公式，再記，當(dāng)時，，即可得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再利用等邊求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，故．記，故當(dāng)時，，即，故，因?yàn)?/span>，故，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故．故答案為：16．已知長方體中，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，記直線的夾角為，直線的夾角為，直線的夾角為，則之間的大小關(guān)系為________．（橫線上按照從小到大的順序進(jìn)行書寫）【答案】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求得，，，從而可解.【詳解】  記，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，又，故，，又，故，因?yàn)?/span>，所以，所以.故．故答案為：. 三、解答題17．已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，C為鈍角，且.(1)求角B的大??；(2)若的面積為6，求的周長.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理邊化角得，從而有，再利用倍角正切公式求得，再利用和角正切公式即可求得，即可求得；（2）先利用和角正弦公式求得，再利用正弦定理，結(jié)合三角形的面積公式分別求得三邊的長度，從而可求得周長.【詳解】（1）依題意，有，由正弦定理，得，則.，，C為鈍角，（舍去），，即，因?yàn)?/span>C為鈍角，所以B為銳角，所以（舍去），即.（2），，；，，.由正弦定理，得，，的面積，解得，，由正弦定理，得，，的周長為.18．如圖所示，四棱錐中，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），，．  (1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為，判斷是否為直角三角形．若是，請指出哪個角是直角，若不是，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)是，． 【分析】（1）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，由題意得，且，由余弦定理得，由勾股定理可得，證得平面，從而得證；（2）由（1）知平面，過作交于，則平面，由題意求得，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，由余弦定理得，結(jié)合勾股定理即可得解．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．由題意得，，且， ∴在中，由余弦定理得，則，∵，∴．易得，且，則四邊形為矩形，∴．在中，，∴，而，，平面，∴平面，而平面，故平面平面．  （2）由（1）知平面平面，平面平面，平面，．則平面，過作交于，則平面，∴，∴，∴，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，，由余弦定理得，，易得，故為直角三角形，．19．為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示．  (1)求的值以及這批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件，再從這7件中隨機(jī)抽取2件，求至少有一件的指標(biāo)值在的概率；(3)為了調(diào)查兩個機(jī)器與其生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量是否具有相關(guān)性，以便提高產(chǎn)品的生產(chǎn)效率，質(zhì)檢人員選取了部分被抽查的產(chǎn)品進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所得數(shù)據(jù)如下表所示，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為機(jī)器類型與生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量具有相關(guān)性． 機(jī)器生產(chǎn)機(jī)器生產(chǎn)優(yōu)質(zhì)品20080合格品12080附：0.0500.0100.0013.8116.63510.828．【答案】(1)，123(2)(3)沒有99.9%的把握認(rèn)為機(jī)器類型與生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量具有相關(guān)性． 【分析】（1）由頻率分布直方圖求平均數(shù)即可；（2）由古典概型的概率公式計(jì)算即可；（3）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)思想求解判斷即可．【詳解】（1）由題圖可知，，解得，質(zhì)量指標(biāo)的平均值．（2）依題意，質(zhì)量指標(biāo)值在的有4件，記為1、2、3、4，質(zhì)量指標(biāo)值在的有3件，記為，則隨機(jī)抽取2件，所有的情況為，，共21件，其中滿足條件的為，，共15件，故所求概率．（3）完善表格如下： A機(jī)器生產(chǎn)B機(jī)器生產(chǎn)總計(jì)優(yōu)質(zhì)品20080280合格品12080200總計(jì)320160480在本次試驗(yàn)中，的觀測值，故沒有99.9%的把握認(rèn)為機(jī)器類型與生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量具有相關(guān)性．20．已知圓過點(diǎn)，，，拋物線過點(diǎn).(1)求圓的方程以及拋物線的方程；(2)過點(diǎn)A作拋物線的切線l與圓交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)B在圓上，且直線，均為拋物線的切線，求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo).【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用點(diǎn)在曲線上，結(jié)合待定系數(shù)法求圓、拋物線的方程；（2）設(shè)，，切線，，由題設(shè)易得，記，聯(lián)立與拋物線方程，、為整理后一元二次方程的兩根，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，同理可得，最后聯(lián)立三直線求B的坐標(biāo)，注意驗(yàn)證B在圓上即可.【詳解】（1）設(shè)圓，故，解得，故圓，將代入中，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，，設(shè)切線，，過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，即，記①，設(shè)過點(diǎn)P的直線與拋物線相切，代入拋物線方程，得，則，即，所以，，即，所以②，同理可得，所以切線，，聯(lián)立兩式消去y，得③，代入得④，代入②得，聯(lián)立與圓可得，，所以，，分別代入③、④得，，又，即切線，的交點(diǎn)B在圓上，所以. 21．已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與直線相互垂直，探究函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有唯一的極值0，求的值.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)極值點(diǎn)，利用極值概念建立方程找到關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，即可求解.【詳解】（1）依題意，，故，解得，則，故，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2），則，設(shè)唯一的極值點(diǎn)為，則由得，，（*）令，則，所以，記，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，從而單調(diào)遞減，當(dāng)時，，從而單調(diào)遞增，故，從而在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，所以，代入①可得，當(dāng)時，，，因?yàn)?/span>是（*）的唯一零點(diǎn)，且，所以是唯一的極值點(diǎn)，且極值為0，滿足題意.所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的面積；(2)若的外接圓與曲線交于兩點(diǎn)，求直線的極坐標(biāo)方程.【答案】(1)6(2) 【分析】（1）先把直線的極坐標(biāo)方程化為直角方程，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式求解即可；（2）先求出的外接圓的直角方程，化為極坐標(biāo)，與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立即可求得直線的極坐標(biāo)方程.【詳解】（1）依題意，直線的極坐標(biāo)方程為，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，令，得，解得或，將代入中，得或，故.而，故，故；（2）由（1）可知，所以，故的外接圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，故圓的直角坐標(biāo)方程為，即，令，代入可得，即的外接圓的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立，解得，故直線的極坐標(biāo)方程為.23．已知函數(shù)，且的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若關(guān)于的不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根據(jù)條件求出的值，然后分類討論解出不等式即可；（2）原不等式可化為，然后由絕對值不等式求出左邊的最大值，然后可得，然后求出右邊的最大值可得答案.【詳解】（1）依題意，和1是方程的解，故，解得．，當(dāng)時，，解得，故；當(dāng)時，，解得，故；當(dāng)時，，解得，故．綜上所述，所求不等式的解集為．（2）依題意，對任意的恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，故．而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為． 

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