2023屆河南省名校聯(lián)考高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求集合A，再根據(jù)并集計(jì)算即可.【詳解】解不等式，即，而，所以.故答案為：A2．若向量，，，且，則（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平行充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】，因?yàn)?/span>，所以，解得.故選：A.3．若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等或虛部相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)為同部復(fù)數(shù).已知，則下列數(shù)是z的同部復(fù)數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】將展開，得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再逐一與選項(xiàng)進(jìn)行比較，即可得到正確選項(xiàng).【詳解】由于，其實(shí)部和虛部均為，而與的虛部相等，其余選項(xiàng)均不符合題意，所以是的同部復(fù)數(shù).故選：B4．關(guān)于，對(duì)于甲、乙、丙、丁四人有不同的判斷，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若這人只有一人判斷錯(cuò)誤，則此人是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)題意得到乙和丁的判斷只有一個(gè)正確，分丁的判斷正確和乙的判斷正確，結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)和正切的倍角公式，即可求解.【詳解】由，所以乙和丁的判斷只有一個(gè)正確，且，若丁的判斷正確，即，則，此時(shí)丙的判斷錯(cuò)誤，不符合題意；若乙的判斷正確，即，此時(shí)滿足，且，此時(shí)甲、丙都正確，符合題意.故選：D.5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是長為1，寬為的矩形，俯視圖為扇形，若球O的體積與該幾何體的體積相等，則球O的半徑為（    ）  A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由三視圖可知該幾何體是四分之一個(gè)圓柱，然后結(jié)合體積計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是四分之一個(gè)圓柱（高為，底面半徑為1），其體積，設(shè)球O的半徑為r，則，解得.故選：A6．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒有平局、甲每局贏的概率為，已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，即可求得甲最后獲勝的頻率.【詳解】因?yàn)榍皟删旨锥驾斄?，所以甲需要連勝四局或第三局到第六局輸1局且第七局勝，甲才能最后獲勝，所以甲最后獲勝的概率為.故選：C7．某廣場(chǎng)的一個(gè)橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，，分別為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為該橢圓過點(diǎn)的一條弦，且的周長為.若該橢球橫截面的最大直徑為2米，則該橢球的高為（    ）  A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出橢圓，根據(jù)橢圓的相關(guān)性質(zhì)可得.【詳解】根據(jù)題意，畫出該橢球的過橫截面圓心的縱截面如下，  根據(jù)橢圓的定義的周長為，即①由該橢球橫截面的最大直徑為2米，可知米，得又因?yàn)?/span>，所以②②聯(lián)立可得，，所以該橢球的高為米.故選：B8．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用題給條件求得在上單調(diào)性，利用為奇函數(shù)求得的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)性質(zhì)比較的大小關(guān)系，進(jìn)而得到三者間的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，，則所以.故選：A9．若不等式組，表示的可行域與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，做出可行域，然后結(jié)合圖像找到臨界情況，即可得到的取值范圍【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，則，則的最小值為；當(dāng)圓經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，則的最大值為17．故的取值范圍是．故選：D.10．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的距離公式，求得點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，利用夾角公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，可得，設(shè)是平面的法向量，則，令，可得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.11．設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，  因?yàn)?/span>，且關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點(diǎn)，所以 .當(dāng)P在線段AF上時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A12．已知函數(shù)的所有極值點(diǎn)為，且函數(shù)在內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（    ）A．只有2對(duì) B．只有3對(duì)C．只有4對(duì) D．有無數(shù)對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)，把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，結(jié)合方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)，分類討論，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，即兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)間的距離為，即，則，可得，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，解得，則，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，先研究方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為3，其中在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2，因?yàn)?/span>是周期為的函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)方程實(shí)根的個(gè)數(shù)均為2，因?yàn)?/span>在內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，且2023為奇數(shù)，所以，不合題意.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)只有3對(duì).故選：B. 二、填空題13．某工廠要對(duì)生產(chǎn)流水線上的600個(gè)零件（編號(hào)為001，002，…，599，600）進(jìn)行抽檢，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽檢50個(gè)零件，且編號(hào)為015的零件被抽檢，則編號(hào)在內(nèi)的零件將被抽檢的個(gè)數(shù)為______．【答案】4【分析】利用系統(tǒng)抽樣的抽樣方法得到不等式組，再求出編號(hào)在內(nèi)的零件將被抽檢的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?/span>，所以被抽檢的零件的最小編號(hào)為003．由，得，則，22，23，24，故編號(hào)在內(nèi)的零件將被抽檢的個(gè)數(shù)為4．故答案為：414．若，，則____________.【答案】1【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，則，所以.故答案為：15．中國古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）  【答案】3280【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.【詳解】解：由題可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，則.所以步.故答案為：328016．若存在實(shí)數(shù)a，b，使得關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則b的最大值是______.【答案】【分析】令，可得，當(dāng)時(shí)，分和討論.當(dāng)時(shí)，將原命題分解成兩個(gè)恒成立問題，對(duì)于恒成立問題，可參變分離構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，對(duì)于，可參變分離，利用基本不等式求最值，然后即可解.【詳解】令，得.當(dāng)且時(shí)，原命題等價(jià)于恒成立，由恒成立可知，又當(dāng)時(shí)，，所以不存在a，使得該不等式恒成立.當(dāng)，且時(shí)，由，得.設(shè)，令，解得當(dāng)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，，得.等價(jià)于，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，則，解得，所以b的最大值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題，常用參變分離法，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，借助導(dǎo)數(shù)求解.本題也可結(jié)合圖象，將問題轉(zhuǎn)化為求公切線在y軸上的截距問題，利用導(dǎo)數(shù)求切線即可求解. 三、解答題17．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為CD1的中點(diǎn)，且點(diǎn)E既在平面AB1C1內(nèi)，又在平面ACD1內(nèi).  (1)證明:E∈AO.(2)若AA1=4，E為AO的中點(diǎn)，且，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）要證明，可先找到平面∩平面，再因?yàn)辄c(diǎn)E既在平面AB1C1內(nèi)，又在平面ACD1內(nèi)，則點(diǎn)E在交線上;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，找到所需點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，可求出值，再由側(cè)面積公式求解.【詳解】（1）證明：連接.在正四棱柱中，∥，則A，，，D四點(diǎn)共面，所以E∈.因?yàn)閭?cè)面CC1D1D為矩形，且O為的中點(diǎn).所以，所以O為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，所以平面AB1C1D∩平面，即平面∩平面.故.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.  設(shè)，其中，則（t，0，4），C（t，t，0），（t，t，4），E（，，1），..，所以，解得.所以正四棱柱的側(cè)面積為.18．定義矩陣運(yùn)算：．已知數(shù)列，滿足，且．(1)證明：，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)矩陣運(yùn)算的定義得出關(guān)于和的等式，根據(jù)消元法得出和在時(shí)的通項(xiàng)公式，檢驗(yàn)和是否滿足時(shí)的通項(xiàng)公式，即可證明；（2）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式，分組求和即可．【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>， 所以，消去，得，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，由及，得，所以，因?yàn)?/span>，，所以為公差為1的等差數(shù)列，為公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，則．19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.    (1)求的解析式；(2)若對(duì)x∈R恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)圖象得到的圖象與x軸切于原點(diǎn)，故且，求出，得到解析式；（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案【詳解】（1）由圖可知的圖象與x軸切于原點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，的解析式為；（2）由對(duì)恒成立，得對(duì)恒成立.設(shè)函數(shù)，則，令，得，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，即m的取值范圍是.20．已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且，，成等差數(shù)列.(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的上方），PQ的中點(diǎn)為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意和可得，然后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上即可求解；（2）依題意可設(shè)PQ：，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到，利用韋達(dá)定理和已知條件求出的表達(dá)式，然后求出的表達(dá)式，化簡即可求證.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，又，所以.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程為.（2）依題意可設(shè)PQ：，由，得,  設(shè)，，，則.，，則，而，所以，所以是定值.21．為落實(shí)食品安全的“兩個(gè)責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會(huì)召開之際特別邀請(qǐng)相關(guān)代表建言獻(xiàn)策.為保證政策制定的公平合理性，兩個(gè)部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?/span>5位成員，兩個(gè)部門分別獨(dú)立地發(fā)出批建邀請(qǐng)的名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個(gè)部門均邀請(qǐng)2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請(qǐng)后，專家如約參加會(huì)議.(1)設(shè)參加會(huì)議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)為增強(qiáng)政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個(gè)部門從網(wǎng)絡(luò)評(píng)選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會(huì)，以便為政策提供支持和補(bǔ)充意見.已知這兩個(gè)部門的邀請(qǐng)相互獨(dú)立，邀請(qǐng)的名單從這100名熱心市民中隨機(jī)產(chǎn)生，食品藥品監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)了名代表，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)了名代表，假設(shè)收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請(qǐng)后，群眾代表如約參加座談會(huì)，且，請(qǐng)利用最大似然估計(jì)法估計(jì)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù).（備注:最大似然估計(jì)即最大概率估計(jì)，即當(dāng)P（X=k）取值最大時(shí)，X的估計(jì)值為k）【答案】(1)分布列見解析，3.2(2)詳見解析.  【分析】(1)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率公式計(jì)算得分布列及期望；(2)設(shè)收到兩個(gè)部門邀請(qǐng)的代表的集合為A∪B，人數(shù)，，設(shè)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為Y，則由離散型隨機(jī)變量的概率公式可得，設(shè)，由組合數(shù)公式計(jì)算得，分類討論是否為整數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】（1）X的可能取值為2，3，4，則，，，則X的分布列為X234P0.10.60.3 （2）設(shè)食品藥品監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)的代表記為集合A，人數(shù)為，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)的代表為集合B，人數(shù)為，則收到兩個(gè)部門邀請(qǐng)的代表的集合為A∪B.人數(shù)為Card（A∪B）.設(shè)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為Y，則.若，則，則，，，令，得，解得，以代替k，得，令，得，解得，所以，若為整數(shù)，則當(dāng)或時(shí)，取得最大值，所以估計(jì)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為或，若不是整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以估計(jì)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為，其中，表示不超過的最大整數(shù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問設(shè)收到兩個(gè)部門邀請(qǐng)的代表的集合為A∪B，人數(shù)，，設(shè)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為Y，則由離散型隨機(jī)變量的概率公式可得，設(shè)，由組合數(shù)公式化簡計(jì)算得，關(guān)鍵在于分類討論是否為整數(shù)即可得出結(jié)果.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)），以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)AB是圓C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=，求面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）消去參數(shù)，求得得圓C的普通方程為，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得圓的極坐標(biāo)方程；（2）不妨設(shè)，得到，，求得，進(jìn)而求得的面積取得最大值.【詳解】（1）解：圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)），可得為參數(shù)），平方相加，可得圓C的普通方程為，即，又由，可得，即，即圓的極坐標(biāo)方程為.（2）解：不妨設(shè)，其中，則，，則，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，且最大值為.23．已知函數(shù).(1)求的最小值，并指出此時(shí)的取值集合:(2)求不等式的解集.【答案】(1)的最小值為5，的取值集合為(2) 【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式可求出最小值，根據(jù)絕對(duì)值三角不等式取等的條件可得的取值集合；（2）換元，令，得，再分類討論去絕對(duì)值，求出的取值范圍，然后解一元二次不等式可得結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即，即或時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5，此時(shí)的取值集合為.（2）令，則.得或或，解得或，因?yàn)?/span>，所以舍去，所以，所以，解得或.所以不等式的解集為. 

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