2023年高考指導數(shù)學(人教A文一輪)單元質(zhì)檢卷六 數(shù)列

這是一份2023年高考指導數(shù)學(人教A文一輪)單元質(zhì)檢卷六 數(shù)列，共8頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?單元質(zhì)檢卷六　數(shù)列
(時間:100分鐘　滿分:130分)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.
1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且2a8-a12=4.則其前七項和S7=(　　)
A.42 B.35 C.28 D.21
2.已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),若log2a3+log2a9=4,則log2a6=(　　)
A.±1 B.±2 C.2 D.4
3.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=11-an,則a2 021=(　　)
A.-2 B.-1 C.2 D.12
4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,有下列四個命題:
甲:a18=0;乙:S35=0;丙:a17-a19=0;丁:S19-S16=0.
如果只有一個是假命題,則該命題是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.設{an}是等比數(shù)列,前n項和為Sn,若S2S2+S4=15,則a2a2+a4=(　　)
A.15 B.14 C.13 D.12
6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=an+1-3,若Sk≥125,k∈N*,則k的最小值為(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知數(shù)列{an}的首項為14,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且bn=an+1an,若b1b20=2,則a21=(　　)
A.64 B.128
C.256 D.512
8.在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中,有a1=b1=t>0,且a2n+1=b2n+1,則下列關系式中正確的是(　　)
A.an+1bn+1
9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=4n2+n.若數(shù)列{bn}滿足bn=an+34,則1b1b2+1b2b3+…+1b2 020b2 021=(　　)
A.5052 020 B.2 0202 021 C.2 0192 020 D.5052 021
10.已知函數(shù)f(x)=x-123+1,則f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021的值為(　　)
A.1 B.2 C.2 020 D.2 021
11.有這樣一道題目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五兩,今三十日屠訖,問共屠幾何?”其意思為:“有一個姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5兩肉,共屠了30天,問一共屠了多少兩肉?”在這個問題中,該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為(　　)
A.35 B.75 C.155 D.315
12.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,bn=2,n為偶數(shù),1,n為奇數(shù),且a1=2,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.a3-a1=8 B.a4-a2=18
C.{a2n+2-a2n}是等差數(shù)列 D.{a2n+1-a2n-1}是等比數(shù)列
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,請寫出一個符合條件的通項公式an=　　　　　.?
14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn+2an=n,則an=　　　　　　.?
15.《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.問何日相逢,各穿幾何?”大意是:有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半.如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和,則S3=　　　　　　.?
16.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2(n+2)n+1an,則a2 021a1+a2+a3+…+a2 020=　　　　　.?
三、解答題:共50分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(12分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,bn為數(shù)列{Sn}的前n項積.已知2Sn+1bn=2.
(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項公式.







18.(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+1,n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù).
(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)求{an}的前20項和.











19.(12分)數(shù)列{an}滿足an+1=an,a1=12,n∈N*.
(1)證明:00,a9>0,a3a9=a62,
所以log2a3+log2a9=log2(a3a9)=log2a62=2log2a6=4,則log2a6=2.
3.B　解析由a1=2,an+1=11-an知,a2=-1,a3=12,a4=2,a5=-1,…,
∴{an}是周期為3的周期數(shù)列,而2 021=3×673+2,
∴a2 021=a2=-1.
4.C　解析設等差數(shù)列{an}的公差為d,若S35=0,則S35=35(a1+a35)2=0,即a18=0;
若a17-a19=0,所以-2d=0,即d=0;若S19-S16=a17+a18+a19=0,所以a18=0.
又因為只有一個是假命題,所以丙是假命題.
5.B　解析設等比數(shù)列{an}的公比為q,
由S2S2+S4=15,可得S4=4S2,整理得a3+a4=3(a1+a2),
所以(a1+a2)q2=3(a1+a2),解得q2=3,
所以a2a2+a4=a1qa1q+a1q3=11+q2=14.
6.B　解析S1=a1=1,Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3,則Sn+1+3=2(Sn+3),S1+3=4,
所以{Sn+3}是等比數(shù)列,首項為4,公比為2,所以Sn+3=4×2n-1=2n+1,Sn=2n+1-3,
由Sk=2k+1-3≥125,得k≥6.所以k的最小值為6.
7.C　解析由bn=an+1an,得an+1=anbn,所以a2=14b1,a3=a2b2=14b1b2,a4=14b1b2b3,…,a21=14b1b2b3…b20=14(b1b20)10=2104=256.
8.B　解析設等比數(shù)列的公比為q,則b2n+1=b1q2n=tq2n>0,故a2n+1>0,因為{an}為等差數(shù)列,故a1+a2n+1=2an+1=t+a2n+1,因為{bn}為等比數(shù)列,故b1b2n+1=bn+12,故b1b2n+1=|bn+1|,結(jié)合題設條件有ta2n+1=|bn+1|,由基本不等式可得t+a2n+1≥2ta2n+1=2|bn+1|,當且僅當t=a2n+1時,等號成立,故2an+1≥2|bn+1|,而|bn+1|≥bn+1,故an+1≥bn+1,故選B.
9.D　解析Sn=4n2+n,
當n≥2時,Sn-1=4(n-1)2+n-1=4n2-7n+3,則an=Sn-Sn-1=8n-3(n≥2),
當n=1時,a1=S1=5,適合上式,所以an=8n-3,
所以bn=an+34=8n-3+34=2n.
故1bnbn+1=12n·2(n+1)=14·1n(n+1)=141n?1n+1,
1b1b2+1b2b3+…+1b2 020b2 021=141-12+12?13+…+12 020?12 021=141-12 021=14×2 0202 021=5052 021.
10.C　解析函數(shù)f(x)=x-123+1,設m+n=1,則有m-12=-n-12,∴f(m)+f(n)=m-123+1+n-123+1=2,∴當m+n=1時,f(m)+f(n)=2,令S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021,∴2S=f12 021+f2 0202 021+f22 021+f2 0192 021+…+f2 0192 021+f22 021+f2 0202 021+f12 021=2×2 020,故S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021=2 020.故選C.
11.C　解析由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列,記首項為a1,公比為q,前n項和為Sn,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為a1(1-q5)1-q=5×(1-25)1-2=155.故選C.
12.D　解析因為數(shù)列{an}與{bn}滿足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,
令n=1,得b2a1+b1a2=(-3)1+1=-2,又因為a1=2,b1=1,b2=2,所以a2=-6,
令n=2,得b3a2+b2a3=(-3)2+1=10,又因為a2=-6,b3=1,b2=2,所以a3=8,
所以a3-a1=6,故A錯誤;
令n=3,得b4a3+b3a4=(-3)3+1=-26,又因為a3=8,b3=1,b4=2,所以a4=-42,
所以a4-a2=-42+6=-36,故B錯誤;
由已知得b2n+1a2n+b2na2n+1=(-3)2n+1,b2n=2,b2n+1=1,所以a2n+2a2n+1=32n+1;
b2na2n-1+b2n-1a2n=(-3)2n-1+1,b2n-1=1,b2n=2,所以2a2n-1+a2n=-32n-1+1,
兩式相減得a2n+1-a2n-1=32n+32n-12=6×9n-1,所以a2n+3-a2n+1a2n+1-a2n-1=9,
所以{a2n+1-a2n-1}是以6為首項,9為公比的等比數(shù)列,故D正確;
由a2n+1-a2n-1=6×9n-1得a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2n-1-a2n-3)=2+6×(1+9+92+…+9n-2)
=2+6×1-9n-11-9=54+34×9n-1,
由2a2n-1+a2n=254+34×9n-1+a2n=-32n-1+1,得a2n=-12×9n-32,
所以a2n+2-a2n=-12×9n+1-32--12×9n-32=-4×9n,
所以a2n+4-a2n+2-(a2n+2-a2n)=-4×9n+1+4×9n不是常數(shù),
所以{a2n+2-a2n}不是等差數(shù)列,故C錯誤.
13.2n-4(答案不唯一)　解析因為a3a7=a52=4,an>0,
所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1=a5qn-5=2×2n-5=2n-4.
14.1-23n　解析當n=1時,a1+2a1=1,則a1=13,
當n≥2時,Sn+2an=n,Sn-1+2an-1=n-1,
兩式相減得3an-2an-1=1,即an=23an-1+13,即an-1=23(an-1-1),
所以數(shù)列{an-1}是首項為a1-1=-23,公比為23的等比數(shù)列,
則an-1=-23n,所以an=1-23n.
15.354　解析由題意知,大老鼠每天打洞的距離是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,
所以大老鼠前n天打洞長度之和為1-2n1-2=2n-1,
同理小老鼠前n天打洞長度之和為1-(12)?n1-12=2-12n-1,
所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1,所以S3=23-123-1+1=354.
16.1 0111 010　解析由題意an+1an=2(n+2)n+1,∴當n≥2時,an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=2×2×32×2×43·…·2(n+1)n=(n+1)·2n-1,
a1=2也滿足an=(n+1)·2n-1,所以對任意的n∈N*,an=(n+1)·2n-1.
令S=a1+a2+…+a2 020,則S=2×20+3×21+4×22+…+2 021×22 019,
可得2S=2×21+3×22+…+2 020×22 019+2 021×22 020,
∴-S=2+21+22+…+22 019-2 021×22 020=2+2×(1-22 019)1-2-2 021×22 020=-2 020×22 020,
∴a1+a2+…+a2 020=S=2 020×22 020,因此a2 021a1+a2+a3+…+a2 020=2 022×22 0202 020×22 020=1 0111 010.
17.(1)證明 當n=1時,b1=S1,易得b1=32.
當n≥2時,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1bn=2消去Sn,得2bn-1bn+1bn=2,化簡得bn-bn-1=12.
故{bn}是以32為首項,12為公差的等差數(shù)列.
(2)解 易得a1=S1=b1=32.
由(1)可得bn=n+22,由2Sn+1bn=2可得Sn=n+2n+1.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n+2n+1?n+1n=-1n(n+1),顯然a1不滿足該式.
故an=32,n=1,-1n(n+1),n≥2.
18.解 (1)b1=a2=a1+1=2,
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.
由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,
得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.
所以bn是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,
所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)由(1)知,數(shù)列an的奇數(shù)列與偶數(shù)列都是以3為公差的等差數(shù)列,設數(shù)列an的前n項和為Sn,則S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+20+10×92×3=300,所以an的前20項和為300.
19.證明(1)由題意可知,an+12?an2=an-an2=-(an-12)2+14≤14,
∵an+1=an,a1=12,n∈N*,∴an>0,兩邊同時取對數(shù)得lg an+1=12lg an,
∴數(shù)列{lg an}是以首項為lg12,公比為12的等比數(shù)列,
∴l(xiāng)g an=lg12·12n-1,∴an=12?(12)?n-1,
∵an=12?(12)?n-1∈(0,1),
∴an+12?an2=an(1-an)>0.
綜上所述,0an2>0,∴1an2?1an+12>0,
由(1)知0