?2023年河北省初中畢業(yè)生升學(xué)文化課考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1. 代數(shù)式的意義可以是（ ）
A. 與x的和 B. 與x的差 C. 與x的積 D. 與x的商
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)代數(shù)式賦予實(shí)際意義即可解答．
【詳解】解：的意義可以是與x的積．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的意義，掌握代數(shù)式和差乘除的意義是解答本題的關(guān)鍵．
2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，則淇淇家位于西柏坡的（ ）

A. 南偏西方向 B. 南偏東方向
C. 北偏西方向 D. 北偏東方向
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)方向角的定義可得答案．
【詳解】解：如圖：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏東方向．

故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查方向角，理解方向角的定義是正確解答的關(guān)鍵．
3. 化簡的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分式的乘方和除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準(zhǔn)確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．
4. 1有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上．若從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)概率計(jì)算公式分別求出四種花色的概率即可得到答案．
【詳解】解：∵一共有7張撲克牌，每張牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1張，紅桃牌有3張，梅花牌有1張，方片牌有2張，
∴抽到的花色是黑桃的概率為，抽到的花色是紅桃的概率為，抽到的花色是梅花的概率為，抽到的花色是方片的概率為，
∴抽到的花色可能性最大的是紅桃，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的概率計(jì)算，正確求出每種花色的概率是解題的關(guān)鍵．
5. 四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，對角線的長為（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．
【詳解】解：在中，，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，但不合題意，舍去；
若時(shí)，為等腰三角形，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
6. 若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
【答案】B
【解析】
【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．
【詳解】解：

，
能被3整除，
∴的值總能被3整除，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項(xiàng)式分解成若干個(gè)整式乘積的形式．
7. 若，則（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
8. 綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．
（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)O；

（2）連接，在的延長線上截??；

（3）連接，，則四邊形即為所求．

在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（ ）
A. 兩組對邊分別平行 B. 兩組對邊分別相等
C. 對角線互相平分 D. 一組對邊平行且相等
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．
【詳解】解：根據(jù)圖1，得出的中點(diǎn)，圖2，得出，
可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，
判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．
9. 如圖，點(diǎn)是的八等分點(diǎn)．若，四邊形的周長分別為a，b，則下列正確的是( )

A. B. C. D. a，b大小無法比較
【答案】A
【解析】
【分析】連接，依題意得，，的周長為，四邊形的周長為，故，根據(jù)的三邊關(guān)系即可得解．
【詳解】連接，

∵點(diǎn)是的八等分點(diǎn)，即
∴，
∴
又∵的周長為，
四邊形的周長為，
∴

在中有
∴
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，利用作差比較法比較周長大小是解題的關(guān)鍵．
10. 光年是天文學(xué)上的一種距離單位，一光年是指光在一年內(nèi)走過的路程，約等于．下列正確的是（ ）
A. B.
C. 是一個(gè)12位數(shù) D. 是一個(gè)13位數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法、同底數(shù)冪乘法和除法逐項(xiàng)分析即可解答．
【詳解】解：A. ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C. 是一個(gè)13位數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D. 是一個(gè)13位數(shù),正確，符合題意．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法、同底數(shù)冪乘法和除法等知識(shí)點(diǎn)，理解相關(guān)定義和運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
11. 如圖，在中，，點(diǎn)M是斜邊的中點(diǎn)，以為邊作正方形，若，則（ ）

A. B. C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的面積可求得的長，利用直角三角形斜邊的中線求得斜邊的長，利用勾股定理求得的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵中，點(diǎn)M是斜邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖1，一個(gè)2×2的平臺(tái)上已經(jīng)放了一個(gè)棱長為1的正方體，要得到一個(gè)幾何體，其主視圖和左視圖如圖2，平臺(tái)上至還需再放這樣的正方體（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】利用左視圖和主視圖畫出草圖，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：由題意畫出草圖，如圖，

平臺(tái)上至還需再放這樣的正方體2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三視圖，正確掌握觀察角度是解題關(guān)鍵．
13. 在和中，．已知，則（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，求得，分兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，
∵，
∴，
當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，
∴，
∴；
當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，
∴，
∴，即；
綜上，的值為或．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖是一種軌道示意圖，其中和均為半圓，點(diǎn)M，A，C，N依次在同一直線上，且．現(xiàn)有兩個(gè)機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著軌道以大小相同速度勻速移動(dòng)，其路線分別為和．若移動(dòng)時(shí)間為x，兩個(gè)機(jī)器人之間距離為y，則y與x關(guān)系的圖象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)機(jī)器人移動(dòng)時(shí)最開始的距離為，之后同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A，C，兩個(gè)機(jī)器人之間的距離y越來越小，當(dāng)兩個(gè)機(jī)器人分別沿和移動(dòng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離是直徑，當(dāng)機(jī)器人分別沿和移動(dòng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離越來越大．
【詳解】解：由題意可得：機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，
設(shè)圓的半徑為R，
∴兩個(gè)機(jī)器人最初的距離是，
∵兩個(gè)人機(jī)器人速度相同，
∴分別同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A，C，
∴兩個(gè)機(jī)器人之間的距離y越來越小，故排除A，C；
當(dāng)兩個(gè)機(jī)器人分別沿和移動(dòng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離是直徑，保持不變，
當(dāng)機(jī)器人分別沿和移動(dòng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離越來越大，故排除C，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖像，找到運(yùn)動(dòng)時(shí)的特殊點(diǎn)用排除法是關(guān)鍵．
15. 如圖，直線，菱形和等邊在，之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在，上，點(diǎn)B，D，E，G在同一直線上：若，，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如圖，由平角的定義求得，由外角定理求得，，根據(jù)平行性質(zhì)，得，進(jìn)而求得．
【詳解】如圖，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16. 已知二次函數(shù)和（m是常數(shù)）的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，則這兩個(gè)函數(shù)圖象對稱軸之間的距離為（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得兩個(gè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：令，則和，
解得或或或，
不妨設(shè)，
∵和關(guān)于原點(diǎn)對稱，又這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間距離都相等，

∴與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，
∴，
∴或（舍去），
∵拋物線的對稱軸為，拋物線的對稱軸為，
∴這兩個(gè)函數(shù)圖象對稱軸之間的距離為2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
二、填空題
17. 如圖，已知點(diǎn)，反比例函數(shù)圖像的一支與線段有交點(diǎn)，寫出一個(gè)符合條件的k的數(shù)值：_________．

【答案】4（答案不唯一，滿足均可）
【解析】
【分析】先分別求得反比例函數(shù)圖像過A、B時(shí)k的值，從而確定k的取值范圍，然后確定符合條件k的值即可．
【詳解】解：當(dāng)反比例函數(shù)圖像過時(shí)，；
當(dāng)反比例函數(shù)圖像過時(shí)，；
∴k的取值范圍為
∴k可以取4．
故答案為4（答案不唯一，滿足均可）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)的解析式，確定邊界點(diǎn)的k的值是解答本題的關(guān)鍵．
18. 根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為_______．b的值為_______．
x
結(jié)果
代數(shù)式
2
n

7
b

a
1

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】把代入得，可求得a的值；把分別代入和，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，
∴，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
19. 將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中
（1）______度．
（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為______（結(jié)果保留根號）．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；
（2）表問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求，再根據(jù)正六邊形的特征及利用勾股定理及三角函數(shù)，分別求出即可求解．
【詳解】解：（1）作圖如下：

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和，得，
，
故答案為：；
（2）取中間正六邊形的中心為，作如下圖形，

由題意得：，,，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
在中，，
由圖1知，
由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知：，
，
，
，
又，
，

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征．
三、解答題
20. 某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計(jì)入次數(shù)，需重新投，計(jì)分規(guī)則如下：
投中位置
A區(qū)
B區(qū)
脫靶
一次計(jì)分（分）
3
1

在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次，脫靶4次．

（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】（1）珍珍第一局的得分為6分；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)題意列一元一次方程即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意得(分)，
答：珍珍第一局的得分為6分；
【小問2詳解】
解：由題意得，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
21. 現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為．

（1）請用含a的式子分別表示；當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）比較與的大小，并說明理由．
【答案】（1），，當(dāng)時(shí)，
（2），理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出三種矩形卡片的面積，從而得到，，將代入用a表示的等式中求值即可；
（2）利用（1）的結(jié)果，使用作差比較法比較即可．
【小問1詳解】
解：依題意得，三種矩形卡片的面積分別為：，
∴，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，；
【小問2詳解】
，理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，整式的加減，完全平方公式等知識(shí)，會(huì)根據(jù)題意列式和掌握做差比較法是解題的關(guān)鍵．
22. 某公司為提高服務(wù)質(zhì)量，對其某個(gè)部門開展了客戶滿意度問卷調(diào)查，客戶滿意度以分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)，調(diào)意度從低到高為1分，2分，3分，4分，5分，共5檔．公司規(guī)定：若客戶所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)或中位數(shù)低于3.5分，則該部門需要對服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行整改．工作人員從收回的問卷中隨機(jī)抽取了20份，下圖是根據(jù)這20份問卷中的客戶所評分?jǐn)?shù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖．

（1）求客戶所評分?jǐn)?shù)的中位數(shù)、平均數(shù)，并判斷該部門是否需要整改；
（2）監(jiān)督人員從余下的問卷中又隨機(jī)抽取了1份，與之前的20份合在一起，重新計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)客戶所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)大于分，求監(jiān)督人員抽取的問卷所評分?jǐn)?shù)為幾分？與（1）相比，中位數(shù)是否發(fā)生變化？
【答案】（1）中位數(shù)為分，平均數(shù)為分，不需要整改
（2）監(jiān)督人員抽取的問卷所評分?jǐn)?shù)為5分，中位數(shù)發(fā)生了變化，由分變成4分
【解析】
【分析】（1）先求出客戶所評分?jǐn)?shù)的中位數(shù)、平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)確定是否需要整改即可；
（2）根據(jù)“重新計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)客戶所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)大于3.55分”列出不等式，繼而求出監(jiān)督人員抽取的問卷所評分?jǐn)?shù)，重新排列后再求出中位數(shù)即可得解．
【小問1詳解】
解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，客戶所評分?jǐn)?shù)按從小到大排列后，第10個(gè)數(shù)據(jù)是3分，第11個(gè)數(shù)據(jù)是4分；
∴客戶所評分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為：(分)
由統(tǒng)計(jì)圖可知，客戶所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：(分)
∴客戶所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)或中位數(shù)都不低于3.5分，
∴該部門不需要整改．
【小問2詳解】
設(shè)監(jiān)督人員抽取的問卷所評分?jǐn)?shù)為x分，則有：

解得：
∵調(diào)意度從低到高為1分，2分，3分，4分，5分，共5檔，
∴監(jiān)督人員抽取的問卷所評分?jǐn)?shù)為5分，
∵，
∴加入這個(gè)數(shù)據(jù)，客戶所評分?jǐn)?shù)按從小到大排列之后，第11個(gè)數(shù)據(jù)不變依然是4分，
即加入這個(gè)數(shù)據(jù)之后，中位數(shù)是4分．
∴與（1）相比，中位數(shù)發(fā)生了變化，由分變成4分．
【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)，掌握求中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的方法和根據(jù)不等量關(guān)系列不等式是解題的關(guān)鍵．
23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)題，請解答這道題．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)單位長度代表1m長．嘉嘉在點(diǎn)處將沙包（看成點(diǎn)）拋出，并運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分，淇淇恰在點(diǎn)處接住，然后跳起將沙包回傳，其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分．

（1）寫出的最高點(diǎn)坐標(biāo)，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x軸上方的高度上，且到點(diǎn)A水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．
【答案】（1）的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，，；
（2）符合條件的n的整數(shù)值為4和5．
【解析】
【分析】（1）利用頂點(diǎn)式即可得到最高點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得點(diǎn)A的坐標(biāo)范圍為，求得n的取值范圍，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵拋物線，
∴的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為，令，則；
【小問2詳解】
解：∵到點(diǎn)A水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到沙包，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)范圍為，
當(dāng)經(jīng)過時(shí)，，
解得；
當(dāng)經(jīng)過時(shí)，，
解得；
∴
∴符合條件的n的整數(shù)值為4和5．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，聯(lián)系實(shí)際，讀懂題意，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
24. 裝有水的水槽放置在水平臺(tái)面上，其橫截面是以為直徑的半圓，，如圖1和圖2所示，為水面截線，為臺(tái)面截線，．
計(jì)算：在圖1中，已知，作于點(diǎn)．
（1）求的長．
操作：將圖1中的水面沿向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，使水流出一部分，當(dāng)時(shí)停止?jié)L動(dòng)，如圖2．其中，半圓的中點(diǎn)為，與半圓的切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．

探究：在圖2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）連接OQ并延長交GH于點(diǎn)F，求線段與的長度，并比較大?。?br /> 【答案】（1）；（2）；（3），，．
【解析】
【分析】（1）連接，利用垂徑定理計(jì)算即可；
（2）由切線的性質(zhì)證明進(jìn)而得到，利用銳角三角函數(shù)求，再與（1）中相減即可；
（3）由半圓的中點(diǎn)為得到，得到分別求出線段與的長度，再相減比較即可．
【詳解】解：（1）連接，
∵為圓心，于點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
．

（2）∵與半圓的切點(diǎn)為，
∴
∵
∴于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴操作后水面高度下降高度為：
．
（3）∵于點(diǎn)，
∴，
∵半圓的中點(diǎn)為，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓切線的性質(zhì)、求弧長和解直角三角形的知識(shí)，解答過程中根據(jù)相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
25. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)計(jì)了點(diǎn)的兩種移動(dòng)方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次甲方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次乙方式．
例、點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)2次；若都按甲方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若都按乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．

（1）設(shè)直線經(jīng)過上例中的點(diǎn)，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個(gè)單位長度得到的直線的解析式；
（2）點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，每次移動(dòng)按甲方式或乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．其中，按甲方式移動(dòng)了m次．
①用含m的式子分別表示；
②請說明：無論m怎樣變化，點(diǎn)Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；
（3）在（1）和（2）中的直線上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為，若A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，直接寫出此時(shí)a，b，c之間的關(guān)系式．
【答案】（1）的解析式為；的解析式為；
（2）①；②的解析式為，圖象見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線的解析式；
（2）①根據(jù)題意可得：點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，再得出點(diǎn)按照乙方式移動(dòng)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即得結(jié)果；
②由①的結(jié)果可得直線的解析式，進(jìn)而可畫出函數(shù)圖象；
（3）先根據(jù)題意得出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入整理即可得出結(jié)果．
【小問1詳解】
設(shè)的解析式為，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式為；
將向上平移9個(gè)單位長度得到的直線的解析式為；
【小問2詳解】
①∵點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)了m次，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，
∴點(diǎn)P按照乙方式移動(dòng)了次，
∴點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為；
∴點(diǎn)按照乙方式移動(dòng)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
∴；
②由于，
∴直線的解析式為；
函數(shù)圖象如圖所示：
【小問3詳解】
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，且分別在直線上，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
，解得：，
∴直線的解析式為，
∵A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之間的關(guān)系式為：．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
26. 如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長為，連接．

（1）若點(diǎn)在上，求證：；
（2）如圖2．連接．
①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)時(shí)，的值；
②若點(diǎn)到的距離為，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，請直接寫出點(diǎn)到直線距離．（用含的式子表示）．
【答案】（1）見解析 （2）①，；②或
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角平分線的概念得到，，然后證明出，即可得到；
（2）①首先根據(jù)勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先畫出圖形，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；
②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，分別求得，根據(jù)正切的定義即可求解；②當(dāng)在上時(shí)，則，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，證明，即可求解；
（3）如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
小問1詳解】
∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，
∴
∵的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，
∴
又∵
∴
∴；
【小問2詳解】
①∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴；
如圖所示，當(dāng)時(shí)，

∵平分
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，即
∴解得
∴．
②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，

∵，
∴，，
∴，
∴
∴；
如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，則，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，

∵，
∴，
∴
∴
即
∴，，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴
解得：
∴，
綜上所述，的值為或；
【小問3詳解】
解：∵當(dāng)時(shí)，
∴在上，
如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，
∴，，

∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，設(shè)，
即
∴，
∴
整理得
即點(diǎn)到直線的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識(shí)且分類討論是解題的關(guān)鍵．

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