?2023年赤峰市初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試試卷
數(shù)學(xué)
溫馨提示：
1.本試卷卷面分值150分，共8頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘．
2.答題前，考生務(wù)必將姓名、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡的對(duì)應(yīng)位置上，并仔細(xì)閱讀答題卡上的“注意事項(xiàng)”．
3.答題時(shí)，請(qǐng)將答案填涂在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將該選項(xiàng)的序號(hào)按要求在答題卡上的指定位置涂黑．每小題3分，共42分）
1. 化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A. B. 20 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示的相反數(shù)，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：，
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查了相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，先后入選中國(guó)國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙中，為中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后得到的圖形能夠與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫中心對(duì)稱(chēng)圖形，據(jù)此即可解答．
【詳解】A．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故不符合題意；
B．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故不符合題意；
C．既軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故符合題意；
D．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念．
3. 年5月19日是第個(gè)“中國(guó)旅游日”．文化和旅游部公布的數(shù)據(jù)顯示，今年“五一”假期國(guó)內(nèi)游出游合計(jì)人次，同比增長(zhǎng)．將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義和表示法．
4. 如圖，數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是( )

A. 點(diǎn)P B. 點(diǎn)Q C. 點(diǎn)R D. 點(diǎn)S
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)先估算的大小，看它介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而得解．
【詳解】解：∵
∴，即，
∴數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是Q，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的大小估算，推出介于哪兩個(gè)整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵．
5. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則，乘法公式處理．
【詳解】A. ，正確，符合題意；
B. ，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不合題意；
C. ，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不合題意；
D. ，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不合題意；
【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算法則，整式的運(yùn)算，完全平方公式，掌握相關(guān)法則是解題的關(guān)鍵．
6. 2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船成功發(fā)射，成為我國(guó)航天事業(yè)的里程碑，某校對(duì)全校名學(xué)生進(jìn)行了“航空航天知識(shí)”了解情況的調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)（A：非常了解；B：比較了解；C：了解；D：不了解）．隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息，下列結(jié)論不正確的是（ ）

A. 樣本容量是 B. 樣本中C等級(jí)所占百分比是
C. D等級(jí)所在扇形圓心角為 D. 估計(jì)全校學(xué)生A等級(jí)大約有人
【答案】C
【解析】
【分析】用B等的人數(shù)除以B等的百分比即可得到樣本容量，用C等級(jí)人數(shù)除以總?cè)藬?shù)計(jì)算樣本中C等級(jí)所占百分比，用乘以D等級(jí)的百分比即可計(jì)算D等級(jí)所在扇形的圓心角，用全校學(xué)生數(shù)乘以A等級(jí)的百分比即可得到全校學(xué)生A等級(jí)人數(shù)，即可分別判斷各選項(xiàng)．
【詳解】解：A．∵，即樣本容量為200，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．樣本中C等級(jí)所占百分比是，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．樣本中C等級(jí)所占百分比是，D等級(jí)所在扇形的圓心角為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
D．估計(jì)全校學(xué)生A等級(jí)大約有（人），故選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
7. 已知，則的值是（ ）
A. 6 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】變形為，將變形為，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：由得：，
∴




，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，將變形為．
8. 如圖，在中，，，．點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接，把線段沿射線方向平移到，點(diǎn)D在上．則線段在平移過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域形成的四邊形的周長(zhǎng)和面積分別是( )

A. 16，6 B. 18，18 C. 16.12 D. 12，16
【答案】C
【解析】
【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長(zhǎng)公式和面積公式求解即可．
【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，
∴四邊形是平行四邊形，
在中，，，，
∴
在中，，，點(diǎn)F是中點(diǎn)
∴
∵，點(diǎn)F是中點(diǎn)
∴，，
∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴
∵D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴
∴四邊形的周長(zhǎng)為：，
四邊形的面積為：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識(shí)，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．
9. 化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分式的加減混合運(yùn)算法則即可求出答案.
【詳解】解：

.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握分式加減混合運(yùn)算法則.
10. 如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，，，，．則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形中，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴,
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
11. 某校在勞動(dòng)課上，設(shè)置了植樹(shù)、種花、除草三個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目．九年一班和九年二班都通過(guò)抽簽的方式從這三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一個(gè)項(xiàng)目，則這兩個(gè)班級(jí)恰好都抽到種花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)列表法求概率即可求解．
【詳解】解：設(shè)分別表示植樹(shù)、種花、除草三個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目，列表如下，
















共有9種等可能結(jié)果，符合題意得出有1種，
∴這兩個(gè)班級(jí)恰好都抽到種花的概率是，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．
12. 用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后兩邊同時(shí)加上，即可求解．
【詳解】解：
移項(xiàng)得，
兩邊同時(shí)加上，即
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
13. 某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（ ）
v
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)求得半徑為，根據(jù)母線長(zhǎng)求得展開(kāi)后的扇形的圓心角為，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，
∴
解得：
∵
解得：
∴側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為
如圖所示，即為所求，過(guò)點(diǎn)作，
∵，，則
∵，則
∴，，

故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形沿著直線折疊，使點(diǎn)C與延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q重合．交于點(diǎn)F，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．交于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（ ）

A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯(cuò)誤．
【詳解】由折疊性質(zhì)可知：，
∵，
∴．
∴．
∴．
故正確；
∵，，
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴與不相似．
∴．
∴與不平行．
故錯(cuò)誤；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)橫線上．每小題3分，共12分）
15. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可．
【詳解】．
故答案為：
16. 方程的解為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
【詳解】解：，
方程兩邊同時(shí)乘以得，，
，
，
，
或．
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，故舍去．
原方程的解為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解分式方程，解題的關(guān)鍵在于注意分式方程必須檢驗(yàn)根的情況．
17. 為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)地和地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造，把原來(lái)地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測(cè)，千米，，，則改造后公路的長(zhǎng)是___________千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．

【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解，求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴（千米）
改造后公路的長(zhǎng)是千米，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)E在直線上，若，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是____________．

【答案】和
【解析】
【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí):是△DCE的外角，，而，所以此時(shí)，有，可求出所在直線的解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，，得到關(guān)于的方程，求解的值，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)題中條件，可以證明，得到為直角三角形，延長(zhǎng)至，取，此時(shí)，，從而證明是要找的點(diǎn)，應(yīng)為，為等腰直角三角形， 點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可以根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，有
所以點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)所在直線解析式為，其過(guò)點(diǎn)、
有，解得所在直線的解析式為：
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)

而
∴
∴
因?yàn)椋海?br /> 有
解得：，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為:
當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，
在中，，,
∴
∴
如圖延長(zhǎng)至，取，

則有為等腰三角形，，
∴
又∵
∴
則為符合題意的點(diǎn)，
∵
∴
的橫坐標(biāo)：，縱坐標(biāo)為；
綜上E點(diǎn)的坐標(biāo)為：或
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分情況找到點(diǎn)的位置，是求解此題的關(guān)鍵．
三、解答題（在答題卡上解答，答在本試卷上無(wú)效；解答時(shí)要寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．共8題，滿(mǎn)分96分）
19. （1）計(jì)算：
（2）解不等式組：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：（1）


；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式組，正確掌握零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵．
20. 已知：如圖，點(diǎn)M在的邊上．
求作：射線，使．且點(diǎn)N在的平分線上．
作法：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交射線，于點(diǎn)C，D．
②分別以點(diǎn)C，D為圓心．大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P．
③畫(huà)射線．
④以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線于點(diǎn)N．
⑤畫(huà)射線．
射線即為所求．

（1）用尺規(guī)作圖，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；
（2）根據(jù)以上作圖過(guò)程，完成下面的證明．
證明：∵平分．
∴ ① ，
∵，
∴ ② ，( ③ )．(括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)推理依據(jù))
∴．
∴．( ④ )．(填寫(xiě)推理依據(jù))
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①，②，③等邊對(duì)等角；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意用尺規(guī)作圖，依作法補(bǔ)全圖形即可；
（2）由平分推導(dǎo)，由推導(dǎo)，從而推出，繼而利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”判定．
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)意義作圖如下：射線即為所求作的射線．
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵平分．
∴，
∵，
∴，(等邊對(duì)等角)．(括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)推理依據(jù))
∴．
∴．(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．(填寫(xiě)推理依據(jù))
故答案為：①，②，③等邊對(duì)等角；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)睛】本題考查作尺規(guī)作圖—作角平分線和相等線段，等邊對(duì)等角，平行線的判定等知識(shí)，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．
21. 某校甲乙兩班聯(lián)合舉辦了“經(jīng)典閱讀”競(jìng)賽，從甲班和乙班各隨機(jī)抽取10名學(xué)生．統(tǒng)計(jì)這部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行了收集、整理，分析．下面給出了部分信息．
【收集數(shù)據(jù)】
甲班10名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理數(shù)據(jù)】
班級(jí)



甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
【分析數(shù)據(jù)】
班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80，85
c
【解決問(wèn)題】根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）請(qǐng)你根據(jù)【分析數(shù)據(jù)】中的信息，判斷哪個(gè)班成績(jī)比較好，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由：
（3）甲班共有學(xué)生45人，乙班其有學(xué)生40人．按競(jìng)賽規(guī)定，80分及80分以上的學(xué)生可以獲獎(jiǎng)，估計(jì)這兩個(gè)班可以獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少？
【答案】（1）79，79，27；
（2）乙，見(jiàn)解析； （3）42人．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)，方差的定義求解；
（2）結(jié)合平均數(shù)，方差代表的數(shù)據(jù)信息說(shuō)明；
（3）樣本估計(jì)總體，用樣本中符合條件的數(shù)據(jù)占比估計(jì)總體，計(jì)算符合條件的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)．
【小問(wèn)1詳解】
解：甲班成績(jī)從低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位數(shù)，眾數(shù)；
乙班數(shù)據(jù)方差




【小問(wèn)2詳解】
乙班成績(jī)與甲班平均數(shù)相同，中位數(shù)、眾數(shù)高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成績(jī)的集中度比甲好，總體乙班成績(jī)比較好．
【小問(wèn)3詳解】
獲獎(jiǎng)人數(shù)：（人）．
答：兩個(gè)班獲獎(jiǎng)人數(shù)為42人．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，樣本估計(jì)總體，掌握數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析中位數(shù)，眾數(shù)，方差的定義是解題的關(guān)鍵．
22. 某集團(tuán)有限公司生產(chǎn)甲乙兩種電子產(chǎn)品共8萬(wàn)件，準(zhǔn)備銷(xiāo)往東南亞國(guó)家和地區(qū)．已知2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售額相同：3件甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售多元．
（1）求甲種電子產(chǎn)品與乙種電子產(chǎn)品銷(xiāo)售單價(jià)各多少元？
（2）若使甲乙兩種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售總收入不低于萬(wàn)元，則至少銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品多少件？
【答案】（1）甲種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是元，乙種電子產(chǎn)品的單價(jià)為元．
（2）至少銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件．
【解析】
【分析】（1）設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)元，乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)元，根據(jù)等量關(guān)系：件甲種電子產(chǎn)品與件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售額相同，件甲種電子產(chǎn)品比件乙種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售多元，列出方程組求解即可；
（2）可設(shè)銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件，根據(jù)甲、乙兩種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售總收入不低于萬(wàn)元，列出不等式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是元，乙種電子產(chǎn)品的單價(jià)為元．
根據(jù)題意得：，
解得：；
答：甲種電子產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)是元，乙種電子產(chǎn)品的單價(jià)為元．
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件，則銷(xiāo)售乙種電子產(chǎn)品萬(wàn)件．
根據(jù)題意得：．
解得：．
答：至少銷(xiāo)售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系及等量關(guān)系．
23. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

（1）如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”的是___________；
（2）點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．
（3）如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1），
（2），，或
（3）是直角三角形，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；
（2）把代入求出解析式，再求與的交點(diǎn)即為，最后根據(jù)函數(shù)圖像判斷當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；
（3）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．
【小問(wèn)1詳解】
∵矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，
∴矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”滿(mǎn)足，，
∴點(diǎn)，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)不是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，
故答案為：，；
【小問(wèn)2詳解】
∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，
∴把代入得，
∴，
∵“夢(mèng)之點(diǎn)”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，
∴“夢(mèng)之點(diǎn)”都在直線上，
聯(lián)立，解得或，
∴，
∴直線的解析式是，
函數(shù)圖像如圖：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或；
故答案為：，，或；
【小問(wèn)3詳解】
是直角三角形，理由如下：
∵點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，
∴聯(lián)立聯(lián)立，解得或，
∴，，
∵
∴頂點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．
24. 如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

（1）求證：是切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出，利用已知條件進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可求出，最后利用可證明，從而證明是切線．
（2）根據(jù)互余的兩個(gè)角相等，利用可求出，設(shè)參數(shù)表示出和，再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和，最后利用即可求出參數(shù)的值，從而求出長(zhǎng)度，即可求的長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
解：連接，，如圖所示，

，為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
切線．
【小問(wèn)2詳解】
解：連接，如圖所示，

解：由（1）得，，
，
，
．
，
．
設(shè)則，
在中，，
．
在中，．
，
，
．
．
，
．
．
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達(dá)線段長(zhǎng)度．
25. 乒乓球被譽(yù)為中國(guó)國(guó)球．2023年的世界乒乓球標(biāo)賽中，中國(guó)隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績(jī)的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開(kāi)的．如圖，是乒乓球臺(tái)的截面示意圖，一位運(yùn)動(dòng)員從球臺(tái)邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對(duì)面球臺(tái)，乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分．

乒乓球到球臺(tái)的豎直高度記為（單位：），乒乓球運(yùn)行的水平距離記為（單位：）．測(cè)得如下數(shù)據(jù)：
水平距離x/







豎直高度y/








（1）在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫(huà)出表示乒乓球運(yùn)行軌跡形狀的大致圖象；

（2）①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是__________，當(dāng)乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是__________；
②求滿(mǎn)足條件的拋物線解析式；
（3）技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球運(yùn)行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過(guò)網(wǎng)，又能落在對(duì)面球臺(tái)上，需要計(jì)算出的取值范圍，以利于有針對(duì)性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺(tái)長(zhǎng)為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出乒乓球恰好過(guò)網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請(qǐng)你計(jì)算出乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計(jì)）．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①；；②
（3）乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象即可求解；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求得對(duì)稱(chēng)軸以及頂點(diǎn)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得當(dāng)時(shí)，；
②待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（3）根據(jù)題意，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，，代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，
【小問(wèn)2詳解】
①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，則對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
又拋物線開(kāi)口向下，可得最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是，
當(dāng)時(shí)，，
∴乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是；
故答案為：；．
②設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
【小問(wèn)3詳解】
∵當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為，
設(shè)乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為，則平移距離為，
∴平移后的拋物線的解析式為，
依題意，當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，畫(huà)二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26. 數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；
【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；
【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．
【答案】[探究一]見(jiàn)解析；[探究二]見(jiàn)解析；[探究三]
【解析】
【分析】[探究一]證明，即可得證；
[探究二]根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，加上公共角，進(jìn)而即可證明
[探究三]先證明，得出，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上．得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】[探究一]
∵把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上，
∴，
∴，
∴，
在與中

∴
∴
[探究二]證明：如圖所示，

∵四邊形是正方形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵公共角，
∴；
[探究三] 證明：∵是正方形的對(duì)角線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
如圖所示，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上．

∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

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