湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試合格性考試（專家B卷）數(shù)學(xué)本試卷時量90分鐘，滿分100分.一、選擇題：本大題共18小題，每小題3分，共54分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的知識確定正確答案.【詳解】依題意，.故選：D2. 已知i為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)z的虛部為（    ）A. －i B. i C. 1 D. －1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念直接求解.【詳解】復(fù)數(shù)z的虛部為-1.故選：D3. 函數(shù)的定義域為（    ）A. 且 B.  C.  D. 且【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得且，所以函數(shù)的定義域為且.故選：A4. 在正六邊形中，（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量運算求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：C  5. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】依題意，，.故選：A6. 已知函數(shù)，則（    ）A. 4 B.  C. 81 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得正確答案.【詳解】，.故選：C7. 使不等式成立的一個充分不必要條件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的知識確定正確答案.【詳解】不等式成立的一個充分不必要條件是，是的必要不充分條件，是的非充分非必要條件，是的充分必要條件.故選：A8. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號和Ⅱ號），出現(xiàn)點數(shù)和為4的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的知識求得正確答案.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件有種，其中點數(shù)和為的有共種，所以出現(xiàn)點數(shù)和為4概率是.故選：C9. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)、指數(shù)的單調(diào)性對的大小進行分析，由此確定正確答案.【詳解】，即，，，所以.故選：D10. 在空間中，設(shè)m，n為兩條不同的直線，為一個平面，下列條件可判定的是（    ）A. ， B. ， C. ， D. ，且【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，當(dāng)，時，，所以A選項錯誤.B選項，當(dāng)，時，可能平行，所以B選項錯誤.C選項，當(dāng)，時，，所以C選項正確.D選項，當(dāng)，且時，可能平行，所以D選項錯誤.故選：C11. 函數(shù)的圖象如圖所示，則（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，依次求得和的值.【詳解】由圖可知，，則，則當(dāng)時，，由于，所以.故選：B12. 某學(xué)校數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)老師的人數(shù)分別為12，8，8，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法，從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查，應(yīng)從數(shù)學(xué)教師中抽取人數(shù)為（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的知識求得正確答案.【詳解】依題意，應(yīng)從數(shù)學(xué)教師中抽取人數(shù)為人.故選：B13. 已知，，若，則（    ）A. -2 B.  C.  D. 0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故選：A14. 已知，那么（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運算的知識求得，進而求得.【詳解】依題意，，所以，所以，所以.故選：C15. 下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（    ）A. 圖象關(guān)于點成中心對稱 B. 圖象關(guān)于直線成軸對稱C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、定義域、單調(diào)性等知識確定正確答案.【詳解】當(dāng)時，，所以是函數(shù)的中心對稱，所以A選項正確，B選項錯誤.C選項，注意到時，，而不存在，所以C選項錯誤.D選項，注意到時，，而不存在，所以D選項錯誤.故選：A16. 甲、乙、丙、丁四人參加詩歌朗誦，甲第一個朗誦或乙第四個朗誦的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概型的知識求得正確答案.【詳解】甲、乙、丙、丁四人參加詩歌朗誦，基本事件有種，其中甲第一個朗誦或乙第四個朗誦的事件有：種，所以甲第一個朗誦或乙第四個朗誦的概率是.故選：D17. 如圖是周老師散步時所走的離家距離（y）與行走時間（x）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象，則周老師散步的路線可能是（    ）    A.        B.    C.    D.   【答案】D【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的圖象確定正確答案.【詳解】根據(jù)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的圖象可知，周老師先遠(yuǎn)離家，然后有一段時間和家的距離相同，然后再回家（離家越來越近），所以D選項對應(yīng)圖象符合.故選：D18. 已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，且，）的圖象經(jīng)過點，，下列四個結(jié)論：①；②；③函數(shù)僅有一個零點；④若不等式在時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為．其中所有正確結(jié)論的序號是（    ）A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的坐標(biāo)求得，結(jié)合零點存在性定理、分離常數(shù)法判斷即可.【詳解】依題意，解得（負(fù)根舍去），，所以①正確，②錯誤，只有C選項正確.則，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上有唯一零點，③正確.不等式在時恒成立，即在時恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，最小值為，所以，④正確.所以正確的為①③④.故選：C【點睛】利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)時，除了要判斷以外，還需要判斷函數(shù)的單調(diào)性.另外函數(shù)不滿足，也可能存在零點.二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．19. 已知一個球的體積為，則此球的表面積為_______．【答案】4π【解析】【分析】求出球半徑，即可求得表面積．【詳解】解：因為球的體積為，所以r3，解得球的半徑r＝1．所以球的表面積為：4πr2＝4π．故答案為：4π．20. 如圖，在正方體中，E是的中點，則直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為____________．  【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面角的知識求得正確答案.【詳解】連接，由于平面，所以是直線與平面所成角，設(shè)正方體的邊長為，則，所以，所以直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為.故答案為：  21. 已知，則的最大值是_________【答案】##【解析】【分析】直接利用基本不等式求最大值.【詳解】，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．故答案為：.22. 若函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合圖象來求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，由得，畫出的圖象如下圖所示，，結(jié)合圖象可知的值域是.依題意，函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點，所以取值范圍是.故答案為：    三、解答題：本大題共3小題，共30分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．23. 若二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，最小值為，且．（1）求的解析式；（2）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組來求得，也即求得.（2）由分離常數(shù)，進而求得的取值范圍.【小問1詳解】由為二次函數(shù)，可設(shè)∵圖象的對稱軸為，最小值為-1，且，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵，即在上恒成立，又∵當(dāng)時，有最小值0，∴，∴實數(shù)m的取值范圍為．24. 某中學(xué)為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，共有600名學(xué)生參加了這次競賽，為了了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分為正整數(shù)，滿分為150分），經(jīng)統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布表和頻率分布直方圖．      組號分組頻數(shù)頻率140.1280.23xy4802520.05620.05合計    （1）求圖中的x，a的值；（2）估計這600名學(xué)生競賽的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果精確到整數(shù)）．【答案】（1），    （2）116分【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，進而求得，的值.（2）根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均成績.【小問1詳解】由題圖得，，又∵，∴，∴圖中x，a的值分別為16和0.04．【小問2詳解】（分）∴這600名學(xué)生競賽的平均成績?yōu)?/span>116分．25. 如圖所示，平面平面，四邊形為矩形，，，，．  （1）求多面體體積；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）通過割補法，結(jié)合錐體體積計算公式求得正確答案.（2）作出二面角的平面角，進而計算出其余弦值.【小問1詳解】如圖，連接BD，  ∵四邊形AEFB為矩形，∴，，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面，平面ABEF，平面ABEF，∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∵平面ABCD，∴，又，AB∩AE＝A，平面，∴AD⊥平面AEFB，∴，∵，，∴．∴，∴多面體ABCDEF的體積為．【小問2詳解】如圖，過B作交DC的延長線于點G，連接FG，  ∵FB⊥平面ABCD，平面，∴DG⊥FB，又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面，∴DG⊥平面FBG，∵平面，∴DG⊥FG，∴∠FGB為二面角F-CD-A的平面角，由題意得，∵，∴，在Rt△FBG中，，，∴，∴，∴二面角F-CD-A的余弦值為．
 

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