2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市西交大附中、昆山中學(xué)、昆山一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于復(fù)平面的　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）的值等于　　A． B． C． D．3．（5分）在中，已知，則等于　　A． B． C． D．4．（5分）如圖，在直角三角形中，，，為邊上一點，已知，且，則　　A． B． C． D．5．（5分）已知，直線與函數(shù)，的交點分別為，，則線段長度的最大值為　　A．1 B． C． D．26．（5分）已知平行四邊形中，，若，則　　A． B． C． D．7．（5分）已知，則的值為　　A． B． C． D．8．（5分）如圖，中，為邊上的中線，為延長線上一點，且，若，，　　A．2 B．4 C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（5分）在平面直角坐標系內(nèi)，為坐標原點，已知，，若是線段的三等分點，則點的坐標是　　A． B． C． D．10．（5分）中，，，可使得有兩個不同取值的的長度是　　A．7 B．8 C．9 D．1011．（5分）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，．下列命題中正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則12．（5分）已知，，，，則　　A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知，則與垂直的一個單位向量的坐標為　　．14．（5分）設(shè)角、是銳角，若，則　 　．15．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，，則　　．16．（5分）如圖，單位圓與軸正半軸的交點為，，在單位圓上且分別在第一，第二象限內(nèi)，．若四邊形的面積為，則　　；若三角形的面積為，則　　．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知，其中．（1）若與平行，求實數(shù)的值．（2）若，證明：對任意實數(shù)，與垂直．18．（12分）求下列各式的值．（1）；（2）．19．（12分）如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成的兩條數(shù)軸，分別是軸和軸正方向的單位向量．若，則把有序?qū)?/span>叫做向量在坐標系中的坐標．已知的坐標為．（1）求的大?。?/span>（2）若的坐標為，求與夾角大?。?/span>20．（12分）已知直線，是，之間的一個定點，并且點到，的距離分別是，，，分別是直線，上的動點，都在的右側(cè)）（1）如圖1，若，且，求的最小值；（2）如圖2，若，，且，求面積的最小值．21．（12分）在中，，，分別是角，，的對應(yīng)邊，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．22．（12分）定義：，為實數(shù)，，，對的“正弦方差”．（1）若，證明：實數(shù)，，對的“正弦方差” 的值是與無關(guān)的定值；（2）若，若實數(shù)，，對的“正弦方差” 的值是與無關(guān)的定值，求，值．
2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市西交大附中、昆山中學(xué)、昆山一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【解答】解：，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標為，位于復(fù)平面的第二象限．故選：．2．【解答】解：．故選：．3．【解答】解：在中，，即為，化為，可得，即有，即有，可得內(nèi)角．故選：．4．【解答】解：法一：在中，，，由正弦定理得，，在直角三角形中，，，．故選：．法二：設(shè)，在中，，，在中，，，，，，故選：．5．【解答】解：已知，所以，所以，由于函數(shù)的最大值為1，即的最大值為1．故選：．6．【解答】解：如圖所示：，平行四邊形，，又，，，解得，．故選：．7．【解答】解：，，即，，．故選：．8．【解答】解：、、三點共線，且為的中點，，兩式平方作差可得，．又，．①，兩式平方作差可得，，又，．②聯(lián)立①②解得：．故選：．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．【解答】解：，，，是線段的三等分點，或，則或．設(shè)，又，，，或，，，即或，解得或．故選：．10．【解答】解：因為中，，，當，即時，有2個不同取值．故選：．11．【解答】解：由復(fù)數(shù)的形式可知，選項錯誤；當時，有，又，所以，故選項正確；當時，則，所以，故選項正確；當時，則，可得，所以，故選項錯誤．故選：．12．【解答】解：，，，，，，，，又，，，，，，，，，或．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解答】解：已知，則與垂直的一個單位向量的坐標為，則，且，解得，或，故單位向量的坐標為或，故答案為：或．14．【解答】解：，，，，都是銳角，，，故答案為：．15．【解答】解：設(shè)，，，，，為實數(shù)），因為復(fù)數(shù)滿足，所以且，，所以，即，則．故答案為：．16．【解答】解：，所以，所以，因為位銳角，；因為，所以，所以，即，而，所以，，且為銳角，所以．故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解答】解：（1），其中，與不共線，若與平行，則，．（2）證明：，，即，，，．18．【解答】解：（1）．（2）19．【解答】解：（1）因為分別是軸和軸正方向的單位向量，所以；又因為，在半面內(nèi)相交成，所以；又因為的坐標為，所以，所以，所以．（2）因為的坐標為，所以，所以，所以；又因為，所以，，因為與夾角的取值范圍是，，所以與的夾角為．20．【解答】解：（1）設(shè)，因為，所以，令，因為，所以，，所以，，令，，，且，所以，，，因為是，上的增函數(shù)，所以時，取得最大值，即時，取得最小值；（2）設(shè)，因為，所以，設(shè)的面積為，因為，，，記，，，所以，因為，，，，所以當，即時，取得最小值，即的面積的最小值為．21．【解答】解：（1），由正弦定理可得：，又，，，，又，，．，．（2），即，，可得，，，又，在中，由正弦定理可知：，，（其中為外接圓半徑），．22．【解答】證明：（1），則．則此時的正弦方差” 的值是與無關(guān)的定值是．解：（2），，此時的正弦方差” 的值是與無關(guān)的定值，，，，，，，由①可知或，即或，由①②可得，級，，或或，即或或，當時，得，經(jīng)檢驗符合題意，當時，得，經(jīng)檢驗不合題意，當時，得，經(jīng)檢驗符合題意，綜上可知，或，符合題意．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2021/8/3 15:54:58；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號：26722394

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