?黔東南州2022年初中畢業(yè)升學(xué)統(tǒng)一考試試卷數(shù)學(xué)
一、選擇題：（每個(gè)小題4分，10個(gè)小題共40分）
1. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 2與互為倒數(shù) B. 2與互為相反數(shù) C. 0的相反數(shù)是0 D. 2的絕對(duì)值是
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)定義，倒數(shù)定義，絕對(duì)值定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷即可．
【詳解】解：A. 2與互為相反數(shù)，故選項(xiàng)A不正確
B. 2與互為倒數(shù)，故選項(xiàng)B不正確；
C. 0的相反數(shù)是0，故選項(xiàng)C正確；
D. 2的絕對(duì)值是2，故選項(xiàng)D不正確．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)定義，倒數(shù)定義，絕對(duì)值定義，掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】運(yùn)用同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，去括號(hào)法則，積的乘方等知識(shí)逐一分析即可
【詳解】解：A.，不符合題意；
B.，不能進(jìn)行合并同類項(xiàng)，不符合題意；
C.-2(a+b)=-2a-2b，不符合題意；
D.，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，去括號(hào)法則，積的乘方，熟練以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（ ）

A. 圓柱 B. 圓錐 C. 四棱柱 D. 四棱錐
【答案】A
【解析】
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，從而得出答案．
【詳解】俯視圖為圓的幾何體為球，圓柱，再根據(jù)其他視圖，可知此幾何體為圓柱．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學(xué)生空間想象能力．
4. 一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若，則的度數(shù)為（ ）

A. 28° B. 56° C. 36° D. 62°
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出EF∥GH，過點(diǎn)C作CA∥EF，利用平行線的性質(zhì)得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．
【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，

∵四邊形EGHF為矩形，
∴EF∥GH，
過點(diǎn)C作CA∥EF，
∴CA∥EF∥GH，
∴∠2=∠MCA，∠1=CAN，
∵∠1=28°，∠MCN=90°，
∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角度的計(jì)算等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．
5. 已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（ ）
A. 7 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出=3，a=3，再求代數(shù)式的值即．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別記為，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值，掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵．
6. 如圖，已知正六邊形內(nèi)接于半徑為的，隨機(jī)地往內(nèi)投一粒米，落在正六邊形內(nèi)的概率為（ ）

A. B. C. D. 以上答案都不對(duì)
【答案】A
【解析】
【分析】連接OB，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，由正六邊形的特點(diǎn)可證得△OAB是等邊三角形，由特殊角的三角函數(shù)值可求出OH的長，利用三角形的面積公式即可求出△OAB的面積，進(jìn)而可得出正六邊形ABCDEF的面積，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖：連接OB，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在中，，
∴，
∴正六邊形的面積，
∵⊙O的面積=πr2，
∴米粒落在正六邊形內(nèi)的概率為：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，通過作輔助線求出△OAB的面積是解決問題的關(guān)鍵．
7. 若二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖像為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像確定a，b，c的正負(fù)，即可確定一次函數(shù)所經(jīng)過的象限和反比例函數(shù)所在的象限．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開口向上，對(duì)稱軸在y軸左邊，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，
∴a>0，，c0，-c>0，
∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)的圖像在第一，三象限，選項(xiàng)C符合題意．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練并靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題關(guān)鍵．
8. 如圖，、分別與相切于點(diǎn)、，連接并延長與交于點(diǎn)、，若，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連結(jié)OA，根據(jù)切線長的性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函數(shù)定義計(jì)算即可．
【詳解】解：連結(jié)OA
∵、分別與相切于點(diǎn)A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．
9. 如圖，在邊長為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過點(diǎn)作，垂足為，則的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】過點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，可得四邊形AGFH是矩形，從而得到FH=AG，再由△ABC為等邊三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，從而得到，再證得∠DAH=∠BAG=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，

∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四邊形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴，
∴，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴，
∴．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時(shí)，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)2的點(diǎn)的距離．當(dāng)取得最小值時(shí)，的取值范圍是（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意畫出數(shù)軸，然后根據(jù)數(shù)軸上的兩點(diǎn)距離可進(jìn)行求解．
【詳解】解：如圖，由可得：點(diǎn)、、分別表示數(shù)、2、，．

的幾何意義是線段與的長度之和，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，．
取得最小值時(shí)，的取值范圍是；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的兩點(diǎn)距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解．
二、填空題（每個(gè)小題3分，10個(gè)小題共30分）
11. 有一種新冠病毒直徑為0.000000012米，數(shù)0.000000012用科學(xué)記數(shù)法表示為________．
【答案】1.2×10-8
【解析】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值小于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定，即可求解．
【詳解】解：0.000000012=1.2×10-8．
故答案為：1.2×10-8
【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定是解題的關(guān)鍵．
12. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后再根據(jù)完全平方公式可進(jìn)行因式分解．
【詳解】解：原式=；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．
13. 某中學(xué)在一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加女子跳高的7名運(yùn)動(dòng)員的成績?nèi)缦拢▎挝唬簃）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_______．
【答案】1.25
【解析】
【分析】先把數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，再根據(jù)中位數(shù)的定義求解．
【詳解】解：將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排序得1.10，1.15，1.20，1.25，1.30，1.30，1.35

中位數(shù)應(yīng)為排序后的第四個(gè)數(shù)，
故答案為：1.25
【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中位數(shù)的定義．
14. 若，則的值是________．
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0，每一項(xiàng)都為0，分別算出x，y的值，即可
【詳解】∵


∴
解得：

故答案為：9
【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)之和為零，解二元一次方程組；根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為零，每一項(xiàng)都為0，算出x，y的值是解題關(guān)鍵
15. 如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，//，//．若，則四邊形的周長是_______．


【答案】20
【解析】
【分析】首先由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=5，由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD=BD=5，
∵//，//．，
∴四邊形CODE是平行四邊形，
∵OC=OD =5，
∴四邊形CODE是菱形，
∴四邊形CODE的周長為：4OC=4×5=20．
故答案為20．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是菱形是解題關(guān)鍵．
16. 如圖，在中，，半徑為3cm的是的內(nèi)切圓，連接、，則圖中陰影部分的面積是__________cm2．（結(jié)果用含的式子表示）

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)內(nèi)切圓圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，得到的大小，然后用扇形面積公式即可求出
【詳解】∵內(nèi)切圓圓心是三條角平分線的交點(diǎn)
∴；
設(shè)，
在中：
在中：
由①②得：
扇形面積：（cm2）
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)心的性質(zhì)，扇形面積計(jì)算；解題關(guān)鍵是根據(jù)角平分線算出的度數(shù)
17. 如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹，距樹12米處有一棟教學(xué)樓，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹，站在樓頂處，測得點(diǎn)的仰角為45°，點(diǎn)的俯角為30°，小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①米；②米；③若直接從點(diǎn)處砍伐，樹干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)的8米處的樹干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫序號(hào)，參考數(shù)值：，）


【答案】①③④
【解析】
【分析】過點(diǎn)D的水平線交AB于E，先證四邊形EACD為矩形，ED=AC=12米，①利用三角函數(shù)求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=4米， ③利用AB=18.8米＞12米，④點(diǎn)B到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8＜12，判斷即可．
【詳解】解：過點(diǎn)D的水平線交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四邊形EACD為矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正確；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正確；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接從點(diǎn)A處砍伐，樹干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；故③正確；
④∵第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹干上砍伐，
∴點(diǎn)B到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.故④正確
∴其中正確的是①③④．
故答案為①③④．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，矩形的判斷與性質(zhì)，掌握解直角三角形方法，矩形的判斷與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個(gè)單位，所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把拋物線配方為頂點(diǎn)式，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線，再根據(jù)“上加下減，左加右減”的法則進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)為（-1，-2），
將拋物線先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°拋物線頂點(diǎn)為（1，2），
旋轉(zhuǎn)后的拋物線為，
再向下平移5個(gè)單位，即．
∴新拋物線的頂點(diǎn)（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)與平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點(diǎn)，直角頂點(diǎn)在軸上，雙曲線經(jīng)過邊的中點(diǎn)，若，則______．


【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)是等腰直角三角形，軸，得到是等腰直角三角形，再根據(jù)求出 A點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)公式求出D點(diǎn)坐標(biāo)，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得k．
【詳解】∵是等腰直角三角形，軸．
∴；．
∴是等腰直角三角形．
∴．
故：，．
．
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式．
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何與坐標(biāo)系綜合，反比例函數(shù)解析式；本體解題關(guān)鍵是得到是等腰直角三角形，用中點(diǎn)公式算出D點(diǎn)坐標(biāo)．
20. 如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則______cm．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=DC=4，EM=CM=2，連接DF，設(shè)FE=x，由勾股定理得BF，DF，從而求出x的值，得出FB，再證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求出FG．
【詳解】解：連接如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴
∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，
∴
由折疊得，∠
∴∠，
設(shè)則有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（6個(gè)小題，共80分）
21. （1）計(jì)算：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先每項(xiàng)化簡，再加減算出最終結(jié)果即可；
（2）先因式分解，化除為乘，通分，化簡；再帶入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】（1）


；
（2）



∵，
∴原式=．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
22. 某縣教育局印發(fā)了上級(jí)主管部門的“法治和安全等知識(shí)”學(xué)習(xí)材料，某中學(xué)經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，同學(xué)們都表示有了提高，為了解具體情況，綜治辦開展了一次全校性競賽活動(dòng)，王老師抽取了這次競賽中部分同學(xué)的成績，并繪制了下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖、表．
參賽成績




人數(shù)
8


32
級(jí)別
及格
中等
良好
優(yōu)秀



請(qǐng)根據(jù)所給的信息解答下列問題：
（1）王老師抽取了_______名學(xué)生的參賽成績；抽取的學(xué)生的平均成績是_______分；
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）若該校有1600名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)競賽成績?cè)诹己靡陨系膶W(xué)生有多少人？
（4）在本次競賽中，綜治辦發(fā)現(xiàn)七（1）班、八（4）班的成績不理想，學(xué)校要求這兩個(gè)班加強(qiáng)學(xué)習(xí)一段時(shí)間后，再由電腦隨機(jī)從A、B、C、D四套試卷中給每班派發(fā)一套試卷進(jìn)行測試，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出兩個(gè)班同時(shí)選中同一套試卷的概率．
【答案】（1）80；85.5（答案不唯一）
（2）見詳解 （3）1200人
（4）兩個(gè)班同時(shí)選中同一套試卷的概率為
【解析】
【分析】（1）利用條形圖優(yōu)秀人數(shù)÷優(yōu)秀人數(shù)所占百分比求出樣本容量，利用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算即可；
（2）求出中等人數(shù)與良好人數(shù)，補(bǔ)畫條形圖即可；
（3）先求出樣本中良好以上的百分比，再用樣本的百分比×該?？?cè)藬?shù)計(jì)算即可；
（4）畫樹狀圖，列舉所有等可能情況，從中找出滿足條件的情況4種，利用概率公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)條形圖優(yōu)秀有32人，由扇形統(tǒng)計(jì)圖知優(yōu)秀占40%，
∴王老師抽取了32÷40%=80名學(xué)生參賽成績；
∴m=80×15%=12人，n=80×35%=28人；
抽取的學(xué)生的平均成績是65×10%+75×15%+85×35%+95×40%=85.5分，
故80；85.5（答案不唯一）；
【小問2詳解】
解：∵中等人生為12人，良好人數(shù)為28人，補(bǔ)畫條形圖如圖，

【小問3詳解】
解：在樣本中良好以上占40%+35%=75%，
∴該校有1600名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)競賽成績?cè)诹己靡陨系膶W(xué)生有1600×75%=1200人；
【小問4詳解】
解：畫樹狀圖列舉所有等可能的情況共有16種，其中兩班都考同一試卷的情況有4種，
兩個(gè)班同時(shí)選中同一套試卷的概率為．

【點(diǎn)睛】本題考查從條形圖與扇形圖獲取信息與處理信息，樣本容量，加權(quán)平均數(shù)，畫條形圖，用樣本的百分比含量估計(jì)總體中的數(shù)量，畫樹狀圖求概率，掌握從條形圖與扇形圖獲取信息與處理信息，樣本容量，加權(quán)平均數(shù)，畫條形圖，用樣本的百分比含量估計(jì)總體中的數(shù)量，畫樹狀圖求概率是解題關(guān)鍵．
23. （1）請(qǐng)?jiān)趫D中作出的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)．

①求證：；
②若，，求的半徑．
【答案】（1）見詳解
（2）
① 見詳解
② 5
【解析】
【分析】（1）做AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)B為半徑，以O(shè)為圓心做圓即可得到的外接圓；
（2）①證明即可證明，從而證得；
② 證明，根據(jù)得正切求得EC，再根據(jù)勾股定理求得AE．
【詳解】（1）如下圖所示

∵的外接圓的圓心為任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)，半徑為交點(diǎn)到任意頂點(diǎn)的距離，
∴做AB、AC垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)B為半徑，以O(shè)為圓心做圓即可得到的外接圓；
（2）
①如下圖所示，連接OC、OB

∵BD是的切線
∴
∵是對(duì)應(yīng)的圓周角，是對(duì)應(yīng)的圓心角
∴
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
∴
∴
∴
∴
②如下圖所示，連接CE

∵與是對(duì)應(yīng)的圓周角
∴
∵是的直徑
∴
∴
∴
∵
∴
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本體考查圓、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A和直角三角形的相關(guān)知識(shí)．
24. 某快遞公司為了加強(qiáng)疫情防控需求，提高工作效率，計(jì)劃購買A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺(tái)A型機(jī)器人比每臺(tái)B型機(jī)器人每天少搬運(yùn)10噸，且A型機(jī)器人每天搬運(yùn)540噸貨物與B型機(jī)器人每天搬運(yùn)600噸貨物所需臺(tái)數(shù)相同．
（1）求每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
（2）每臺(tái)A型機(jī)器人售價(jià)1.2萬元，每臺(tái)B型機(jī)器人售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人共30臺(tái)，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．
請(qǐng)根據(jù)以上要求，完成如下問題：
①設(shè)購買A型機(jī)器人臺(tái)，購買總金額為萬元，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
②請(qǐng)你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？
【答案】（1）每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為100噸．
（2）①；②當(dāng)購買A型機(jī)器人17臺(tái)，B型機(jī)器人13臺(tái)時(shí)，購買總金額最少，最少金額為46.4萬元．
【解析】
【分析】（1）設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為（x+10）噸，然后根據(jù)題意可列分式方程進(jìn)行求解；
（2）①由題意可得購買B型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)為臺(tái)，然后由根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系式；②由題意易得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為（x+10）噸，由題意得：
，
解得：；
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；
答：每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為100噸．
【小問2詳解】
解：①由題意可得：購買B型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)為臺(tái)，
∴；
②由題意得：，
解得：，
∵-0.8＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=17時(shí)，w有最小值，即為，
答：當(dāng)購買A型機(jī)器人17臺(tái)，B型機(jī)器人13臺(tái)時(shí)，購買總金額最少，最少金額為46.4萬元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
25. 閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．


①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
【答案】（1）鈍角三角形；證明見詳解
（2）①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再證△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC為鈍角三角形即可；
（2）①以、、為邊的三角形是直角三角形，連結(jié)CG，根據(jù)正方形性質(zhì)，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再證△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可證△AGC為直角三角形即可；②連結(jié)BD，根據(jù)勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面積公式求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC為鈍角三角形，
∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
【小問2詳解】
證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．
連結(jié)CG，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG為正方形的對(duì)角線，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC為直角三角形，
∴以、、為邊的三角形是直角三角形；

②連結(jié)BD，
∵△AGC為直角三角形，，
∴AC=，
∴四邊形ABCD正方形，
∴AC=BD=，
∴S四邊形ABCD=．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．
26. 如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．


（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）存在這樣的點(diǎn)（2，1）或或，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形
（3）存在點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線，可得a=-1，再把點(diǎn)代入，即可求解；
（2）先求出，設(shè)點(diǎn)N（m，-m+3），可得，，再分三種情況討論：當(dāng)AC=AN時(shí)，當(dāng)AC=CN時(shí)，當(dāng)AN=CN時(shí)，即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)E（1，n），點(diǎn)F（s，t），然后分兩種情況討論：當(dāng)BC為邊時(shí)，當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，
∴，解得：a=-1，
∵拋物線過點(diǎn)，
∴，解得：c=3，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，則，
解得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴OA=1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），即OC=3，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為，
把點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)點(diǎn)N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
當(dāng)AC=AN時(shí)，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)N（2，1）；
當(dāng)AC=CN時(shí)，，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)N；
當(dāng)AN=CN時(shí)，，
解得：，
∴此時(shí)點(diǎn)N；
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)（2，1）或或，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
【小問3詳解】
解：存在，理由如下：
∵點(diǎn)B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
設(shè)點(diǎn)E（1，n），點(diǎn)F（s，t），
當(dāng)BC為邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)B，同樣E（F）向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)F（E），且BE=CF（CE=BF），如圖，


∴或，
解得：或，
∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）；
當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，BC=EF，且EF與BC的中點(diǎn)重合，如圖，


，解得：或，
∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；
綜上所述，存在點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵．


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