題型47   利用拆湊法求不等式的最值【方法點(diǎn)撥】已知的一邊是二次齊次可分解，另一邊是常數(shù)，可考慮換元法；例2、例3中使用了拆湊用以“湊形”，其目的在于一次使用基本不等式，能實(shí)現(xiàn)約分或倍數(shù)關(guān)系.【典型題示例】例1   （2021·江蘇省泰州中學(xué)九月測(cè)·16）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______．【答案】 【解析】因?yàn)?/span>，，，設(shè)，，故原問題可轉(zhuǎn)化為“已知，求的最大值”．又因?yàn)?/span>，所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：．例2   已知，則的最大值是________【答案】【分析】本題變量個(gè)數(shù)較多且不易消元，考慮利用均值不等式進(jìn)行化簡，要求得最值則需要分子與分母能夠?qū)⒆兞肯簦^察分子為均含，故考慮將分母中的拆分與搭配，即，而，所以.點(diǎn)評(píng)：本題在拆分時(shí)還有一個(gè)細(xì)節(jié)，因?yàn)榉肿?/span>的系數(shù)相同，所以要想分子分母消去變量，則分母中也要相同，從而在拆分的時(shí)候要平均地進(jìn)行拆分（因?yàn)?/span>系數(shù)也相同）．所以利用均值不等式消元要善于調(diào)整系數(shù)，使之達(dá)到消去變量的目的．例3    若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋2xy－1＝0，則x2＋y2的最小值是________．【分析】思路1：注意到條件與所求均含有兩個(gè)變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)，從而求它的最小值．本題中可直接由已知解得y，代人所求消去y；也可將直接使用“1”的代換，將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的二次齊次分式.思路2：由所求的結(jié)論為x2＋y2，想到將條件應(yīng)用基本不等式構(gòu)造出x2＋y2，然后將x2＋y2求解出來即可．【解析一】從結(jié)論出發(fā)，注意到已知中不含“y2”項(xiàng)，故拆“x2”項(xiàng)的系數(shù)設(shè)x2＋y2=tx2????－t?x2＋y2=tx2?????－t?x2＋y2]≥tx2??? xy(0<t<1)     ※則t:?????，解之得：t代人※得：x2＋y2≥x2???xy)=∴x2＋y2的最小值是．【解析二】從已知出發(fā)，注意到結(jié)論中不含“xy”項(xiàng)，故拆“xy” 項(xiàng)的系數(shù)設(shè)x2＋2xy＝x2＋2(tx)( y)≤x2＋[(tx)2+( y) 2]= (1+t2)x2+ y 2則(1+t2):=1:1(下略).
【鞏固訓(xùn)練】1.已知，則的最小值為          ．2.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋xy－2y2＝1，則5x－2y的最小值為________．3.已知，則的最小值為            .4.當(dāng)是正實(shí)數(shù)時(shí),的最大值是      ．
【答案與提示】1,【答案】【解析】注意到分母中因式均含c，故需拆分子含“c2” 項(xiàng)的系數(shù)設(shè)故，解之得：t，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.2.【答案】4【解析】：將已知條件左邊分解因式得x2＋xy－2y2=( x－y) ( x+2y)=1因?yàn)?/span>x，y是正實(shí)數(shù)，且( x－y) ( x+2y)=1>0，所以x－y >0 ， x+2y>0設(shè)5x－2y=a( x－y)+b ( x+2y)，則a=4，b =1，所以5x－2y=4( x－y)+ ( x+2y)由基本不等式得.3.【答案】【解析一】.【解析二】，設(shè)，.則滿足等式的x,y存在，去分母后配方得： ，故，解得.4.【答案】【解法一】【解法二】設(shè) 所以,即故,解之得.【解法三】令 ,. 

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