福州一中2023屆高三畢業(yè)班適應性練習數(shù)學試題滿分150分 考試時間120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，與在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（    ）A.    B.    C.    D.2.已知為等差數(shù)列，，則（    ）A.1    B.2    C.3    D.43.已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點，則（    ）A.    B.    C.    D.4.糧食是關系國計民生的重要戰(zhàn)略物資.如圖為某儲備水稻的糧倉，中間部分可近似看作是圓柱，圓柱的底面直徑為8米，上?下兩部分可以近似看作是完全相同的圓錐，圓柱的高是圓錐高的6倍，且這兩個圓錐的頂點相距10米，每立方米的空間大約可裝0.6噸的水稻，則該糧倉可裝水稻（    ）A.251噸    B.276噸    C.301噸    D.377噸5.在邊長為2的菱形中，，則的最小值為（    ）A.-2    B.    C.    D.6.已知雙曲線為的左焦點.經過原點的直線與的左?右兩支分別交于，兩點，且，則的一條漸近線的傾斜角可以是（    ）A.    B.    C.    D.7.，則（    ）A.    B.C.    D.8.在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（    ）A.    B.    C.    D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某市場供應多種品牌的N95口罩，相應的市場占有率和優(yōu)質率的信息如下表：品牌甲乙其他市場占有率優(yōu)質率在該市場中隨機買一種品牌的口罩，記表示買到的口罩分別為甲品牌?乙品牌?其他品牌，記表示買到的口罩是優(yōu)質品，則（    ）A.    B.C.    D.10.如圖，在各棱長均為2的正三棱柱中，分別是的中點，設，則（    ）A.當時，B.，使得平面C.，使得平面D.當時，與平面所成角為11.拋物線有如下光學性質：從焦點發(fā)出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射，再經過上另一點反射后，沿直線射出，經過點，則（    ）A.若的方程為，則B.若的方程為，且，則C.分別延長交于點，則點在的準線上D.拋物線在點處的切線分別與直線所成角相等12.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，則（    ）A.函數(shù)的圖象關于對稱B.函數(shù)是周期函數(shù)C.D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在復平面內，復數(shù)對應的點為，則__________.14.若，則__________.15.已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為__________.16.已知定義在上函數(shù)滿足：，寫出一個滿足上述條件的函數(shù)__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）在中，角的對邊分別是，且.（1）求角；（2）若的中線長為，求面積的最大值.18.（12分）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.19.（12分）如圖，在底面為正方形的四棱臺中，已知到平面的距離為.（1）求到平面的距離；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.20.（12分）相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為，城鄉(xiāng)居民達到《國民體質測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到以上.某健身連鎖機構對其會員的年齡等級和一個月內到健身房健身次數(shù)進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖.圖1為會員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），其中將會員按年齡分為“年輕人”（20歲—39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類；圖2為會員一個月內到健身房次數(shù)分布扇形圖，其中將一個月內到健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達人”中有是“年輕人”.（1）現(xiàn)從該健身連鎖機構會員中隨機抽取一個容量為100的樣本，根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，補全列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，是否可以認為“健身達人”與年齡有關？ 年輕人非年輕人合計健身達人   健身愛好者   合計   （2）該健身機構在今年年底將針對全部的150名會員舉辦消費返利活動，預設有如下兩種方案.方案1：按分層抽樣從健身愛好者和健身達人中總共抽取20位“幸運之星”給予獎勵.其中，健身愛好者和健身達人中的“幸運之星”每人分別獎勵500元和800元.方案2：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：從一個裝有3個白球?2個紅球（球只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個球.若摸到紅球的總數(shù)為2，則可獲得100元獎勵金；若摸到紅球的總數(shù)為3，則可獲得300元獎勵金；其他情況不給予獎勵.如果每位健身愛好者均可參加1次摸獎游戲；每位健身達人均可參加3次摸獎游戲（每次摸獎的結果相互獨立）.以方案的獎勵金的數(shù)學期望為依據(jù)，請你預測哪一種方案投資較少？并說明理由.附：.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）已知橢圓離心率為，焦距為.（1）求的方程；（2）過點分別作斜率和為1的兩條直線與，設交于兩點，交于兩點，AB，CD的中點分別為.求證：直線過定點.22.（12分）已知函數(shù).（1）已知過點的直線與曲線相切于，求的值；（2）已知，證明：.福州一中2023屆高三畢業(yè)班適應性練習數(shù)學參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1~4CACA    5~8CDB二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.AC    10.AC    11.BCD    12.ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.    14.-448    15.    16.（答案不唯一）四?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）在中，由正弦定理得：，，化簡得，因為，所以，即，所以，又因為，所以即.（2）由是的中線，，所以，即，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以三角形面積，即的面積的最大值為.18.解：（1）當時，，即，即，由，得得.即數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由，得..19.（1）在正方形中，，則，在中，，即，.所以，.因為到平面的距離為，所以，因為，記到平面的距離為，所以由，得，即到平面的距離為.（2）在四棱臺中，I平面，則到平面的距離即為到平面的距離，假設不垂直于平面，則，與矛盾，所以平面，因為平面平面，所以平面，由平面，所以在中，，以為原點，方向為軸的正方向，如圖建立直角坐標系，則，，設是平面的一個法向量，由，取，所以.則.20.（1）根據(jù)年輕人標準結合圖1可得年輕人占比為，則年輕人人數(shù)為，非年輕人為20人，根據(jù)圖2表格得健身達人所占比，所以其人數(shù)為，根據(jù)其中年輕人占比，所以健身達人中年輕人人數(shù)為，非年輕人為10人；健身愛好者人數(shù)為，再通過總共年輕人合計為80人，則健身愛好者中年輕人人數(shù)為，根據(jù)非年輕人總共為20人，健身愛好者中非年輕人人數(shù)為，所以列聯(lián)表為： 年輕人非年輕人合計健身達人501060健身愛好者301040合計8020100零假設為：“健身達人”與年齡無關聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，.并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即“健身達人”與年齡無關.（2）方案1按分層抽樣從健身愛好者和健身達人中總共抽取20位“幸運之星”，則“幸運之星”中的健身愛好者和健身達人的人數(shù)分別為，按照方案1獎勵的總金額為（元）.方案2設表示參加一次摸獎游戲所獲得的獎勵金，全部的150名會員中的健身愛好者和健身達人的人數(shù)分別為，則的可能取值為.由題意，每摸球1次，摸到紅球的概率為，所以，，.所以的分布列為：0100300數(shù)學期望為（元），按照方案2獎勵的總金額為（元），因為由，所以施行方案1投資較少.21.解法1：（1），解得：..（2）設直線，直線，則.聯(lián)立，所以中點.同理可得，中點所以直線斜率.所以直線方程為：即，因此直線恒過定點21.解法2：設，則，作差得，.即，整理得.同理，點也滿足.即在橢圓上由題意可知，斜率一定存在，故設直線，聯(lián)立，得.則.則.移項得，即.所以，直線必過定點22.（1）依題意得，，則切線的斜率，又因為切點為，則，得，所以的值為.（2）當時，在上單調遞減，若，則，所以，即，.若證，即，等價于，即，設，則，令，解得，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以，故.當時，若，則，所以，同理，故..令，得，設，則，當時，單調遞減，，當時，在上單調遞減，且由，得，即.當時，存在唯一的，使得，即，當時，單調遞減；當時，單調遞增，，設，當時，單調遞增，所以，.又因為，且，所以，故.綜上，若，則.解析2：（1）依題意得，，則切線的斜率，又因為切點為，則，得，所以的值為.（2）求導，.令，得，設，則，當時，單調遞減，，當單調遞減.若，則，所以，即.要證，等價于證，又因為單調遞減，所以，消元，得，即，得.若，不等式顯然成立.若.當，有，使得.當時，單調遞減；當時，單調遞增，時，單調遞減.，設，當時，單調遞減，所以，又因為，且，所以，故.綜上，若，則..

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