考點規(guī)范練7　函數(shù)的奇偶性與周期性1.設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),當x∈(0,+∞)時,f(x)=log2x,則f(-)=(　　)A.- B. C.2 D.-2答案  B解析  由已知得f(-)=f()=log2.故選B.2.函數(shù)f(x)=的圖象(　　)A.關(guān)于原點對稱 B.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于y軸對稱 D.關(guān)于直線y=x對稱答案  C解析  由于函數(shù)f(x)==3x+3-x的定義域為R,且滿足f(-x)=3x+3-x=f(x),故該函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,故選C.3.已知函數(shù)y=f(x)+x是偶函數(shù),且f(2)=1,則f(-2)=(　　)A.1 B.5 C.-1 D.-5答案  B解析  令g(x)=f(x)+x,由題意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.4.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=2x+m,則f(-2)=(　　)A.-3 B.- C. D.3答案  A解析  因為f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,則f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.5.(多選)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-3)=-f(x),當x∈[0,3]時,f(x)=x2-3x,下列等式成立的是(　　)A.f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)B.f(1 017)+f(1 019)=f(1 018)C.2f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)D.f(1 017)=f(1 018)+f(1 019)答案  ABC解析  由f(x-3)=-f(x),知f(x)=f(x+6),即函數(shù)f(x)的周期為6.又當x∈[0,3]時,f(x)=x2-3x,所以f(1 017)=f(169×6+3)=f(3)=0,f(1 018)=f(170×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(1 019)=f(170×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.故選項A,B,C正確.6.已知函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù),當x∈[0,2]時,f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在區(qū)間[-1,3]上的解集為(　　)A.(1,3) B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)答案  C解析  f(x)的圖象如圖所示.當x∈[-1,0)時,由xf(x)>0,得x∈(-1,0);當x∈[0,1)時,由xf(x)>0,得x∈?;當x∈[1,3]時,由xf(x)>0,得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).7.(2021全國Ⅱ,理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當x∈[1,2]時,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則f=(　　)A.- B.- C. D.答案  D解析  ∵f(x+1)是奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函數(shù),∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期為4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵當x∈[1,2]時,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6,即4a+b=-6,∴a=-2,b=2,∴f=f=-f=--2×+2=.8.(多選)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(2-x)=0,則下列說法正確的是(　　)A.函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)B.函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C.函數(shù)f(x-1)為奇函數(shù)D.函數(shù)f(x-3)為偶函數(shù)答案  BC解析  對于選項A,B,∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x).∵f(x)+f(2-x)=0,∴f(-x)+f(2+x)=0,則f(x)+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),由此可知選項A錯誤,選項B正確;對于選項C,令F(x)=f(x-1),則F(-x)=f(-x-1)=f(x+1).在f(x)+f(2+x)=0中,將x換為x-1,得f(x-1)+f(1+x)=0,得f(x+1)=-f(x-1),即F(-x)=-f(x-1)=-F(x),則函數(shù)F(x)=f(x-1)為奇函數(shù),所以選項C正確.對于選項D,由題意不妨取滿足條件的函數(shù)f(x)=cosx,則f(x-3)=cos(x-3)=cos=-sinx為奇函數(shù),所以選項D錯誤.9.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+2)=f(x),已知當x∈[0,2]時,f(x)=x2-2x+1,則f(3)=　　　　　;f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=　　　　　. 答案  0　1 011解析  由f(x+2)=f(x),得函數(shù)f(x)的周期為2,f(3)=f(1)=1-2+1=0,f(0)=0-0+1=1,f(1)=f(3)=0,故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=1 010×(f(0)+f(1))+f(0)=1 011.10.已知函數(shù)f(x)=ex-e-x(x∈R,且e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性.(2)是否存在實數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切的x都成立?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.解(1)因為f(x)=ex-,且y=ex單調(diào)遞增,y=-單調(diào)遞增,所以f(x)單調(diào)遞增.因為f(x)的定義域為R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)且為奇函數(shù),故f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R恒成立,即f(x2-t2)≥f(t-x)對一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x對一切x∈R恒成立,所以t2+t≤x2+x對一切x∈R恒成立,即存在實數(shù)t使得恒成立.故存在實數(shù)t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立.

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