2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市大豐中學(xué)、鹽城一中等六校高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．集合滿足，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集、并集與集合與元素的關(guān)系，即可得集合，從而可得集合中的元素個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，則，故集合中的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.2．已知為第三象限角，則為第（    ）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【分析】根據(jù)為第三象限角得到的取值范圍，進(jìn)而可得的范圍，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>為第三象限角，所以所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，記,所以所以為第二象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記,所以所以為第四象限角，所以為第二或第四象限角，故選:A.3．我們知道，任何一個(gè)正數(shù)可以用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示成（為正整數(shù)），此時(shí)，當(dāng)時(shí)，稱的位數(shù)是.根據(jù)以上信息可知的位數(shù)是（    ）（）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】C【分析】通過(guò)求，根據(jù)已知估值計(jì)算即可求解．【詳解】，則的位數(shù)是是．故選：C．4．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得的值，從而確定函數(shù)解析式，即可求得的值.【詳解】因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，且，故，所以，所以，則.故選：B.5．下列各式大小比較中，其中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)比較A，利用三角函數(shù)的的圖象性質(zhì)比較B，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)比較C，利用對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)比較D.【詳解】要證，即證，即證，即證，即證，不成立，故不成立，A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以要證，即證，即證，即證，不成立，所以不成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，C錯(cuò)誤；要證，即證，因?yàn)?/span>，所以，所以，D正確，故選:D.6．磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書(shū)卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形截去同心扇形所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（    ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用扇形的面積公式可求得扇環(huán)形磚雕的面積.【詳解】扇形的圓心角為，又因?yàn)?/span>，，所以，該扇環(huán)形磚雕的面積為.故選：A.7．已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的解且，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合確定以及，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)討論最值即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作出函數(shù)的圖象如下，則由圖象可知，的圖象與有4個(gè)交點(diǎn)，分別為，因?yàn)?/span>有四個(gè)不同的解且，所以，且，且，，又因?yàn)?/span>所以即，所以，所以，且，構(gòu)造函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，故選:B.8．已知，滿足，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱性分析可得為函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)周期性分析零點(diǎn)即可.【詳解】由題意可知：函數(shù)的最小正周期，因?yàn)?/span>，則為函數(shù)的對(duì)稱軸，則函數(shù)在之后的零點(diǎn)依次為，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：D. 二、多選題9．已知，則的值可以是（    ）A． B． C． D．3【答案】CD【分析】利用平方關(guān)系結(jié)合已知求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：由，得，又，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則.故選：CD.10．已知正實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，設(shè)，得，，，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)化簡(jiǎn)即可判斷求解．【詳解】已知正實(shí)數(shù)，則設(shè)，所以，，，對(duì)于A，因?yàn)?/span>，又，所以，所以，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，又因?yàn)?/span>，故等號(hào)不成立，所以，即，故D正確，故選：ACD．11．給出下列四個(gè)選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（    ）A．若角的終邊過(guò)點(diǎn)且，則B．設(shè)角為銳角（單位為弧度），則C．命題“，使得”的否定是：“，均有” D．函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)三角函數(shù)的定義分析運(yùn)算；對(duì)于C：根據(jù)特稱命題的否定分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可得：，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，單位圓與x軸正方向的交線為A，作軸，角為銳角，可知：等于的長(zhǎng)，，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：令，解得，且，所以函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，故D正確；故選：ABD.12．給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的是（    ）A．設(shè)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且，若，則B．若，則的取值范圍是C．已知定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則D．若，則【答案】BD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)得，所以，把化為即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解出的取值范圍即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C， 由題意求出，，，得到，再根據(jù)周期性得到，，…由求出即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，由得，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，由解得即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)得，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，若，即，則或，解得，即的取值范圍是，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C， 因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且滿足，所以，，，所以.因?yàn)?/span>，，，所以，同理得，…因?yàn)?/span>，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D， 因?yàn)?/span>，所以，即.令函數(shù)，因?yàn)?/span>和都是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，所以由得，即.故選項(xiàng)D正確.故選：BD 三、填空題13．函數(shù)的最小正周期為____.【答案】1【分析】利用三角函數(shù)周期的公式即可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】的最小正周期故答案為：114．若關(guān)于的不等式的解集中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值集合為__.【答案】【分析】分、、三種情況討論，當(dāng)時(shí)即可求出的值，同理求出時(shí)參數(shù)的值，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式即為，原不等式的解集中有無(wú)數(shù)個(gè)元素，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，因?yàn)椴坏仁浇M的解集中只有一個(gè)元素，則恒成立且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解得；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，因?yàn)椴坏仁浇M的解集中只有一個(gè)元素，則恒成立且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：.15．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B. Taylor，1685-1731）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），其拉格朗日余項(xiàng)是可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)不超過(guò)時(shí)，正整數(shù)n的最小值是____.【答案】5【分析】根據(jù)題意建立不等式，利用驗(yàn)證的方式求解即可．【詳解】依題意得，即，又，，所以的最小值是5．故答案為：6．16．已知函數(shù)，若，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ____.【答案】【分析】依題意，在定義區(qū)間內(nèi)，的值域?yàn)?/span>的值域的一個(gè)子集，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，，則，，，令，，則在上單調(diào)遞增，，則，即的值域?yàn)?/span>.時(shí)，在上單調(diào)遞增，，即，即的值域?yàn)?/span>.，，，則的值域?yàn)?/span>的值域的一個(gè)子集，故，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為： 四、解答題17．求值：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.18．設(shè)全集，已知集合，.(1)若，求；(2)已知的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或.(2)或 【分析】（1）根據(jù)題意求集合A、B，再求出并集即可；（2）根據(jù)題意，可得，再列不等式求出a的取值范圍即可.【詳解】（1）由題意，可得或，若，則，所以或.（2）由（1）可知，或，若的充分條件，則，所以或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.19．已知函數(shù)，求：(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】(1)(2)(3)，3 【分析】（1）由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由的對(duì)稱性即可求解；（3）由x的取值范圍即可求得的值域，從而可得最值．【詳解】（1）令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?/span>，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程.（3）因?yàn)?/span>，則，可得，當(dāng)，即時(shí)，取到最小值；當(dāng)，即時(shí)，取到最大值；所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值3.20．某游戲廠商對(duì)新出品的一款游戲設(shè)定了“防沉迷系統(tǒng)”，規(guī)則如下：①3小時(shí)內(nèi)（含3小時(shí)）為健康時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的積累經(jīng)驗(yàn)值（單位：EXP）與游玩時(shí)間 （單位：小時(shí)）滿足關(guān)系式： ；②3到5小時(shí)（含5小時(shí)）為疲勞時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的經(jīng)驗(yàn)值為0（即累計(jì)經(jīng)驗(yàn)值不變）；③超過(guò)5小時(shí)的時(shí)間為不健康時(shí)間，累積經(jīng)驗(yàn)值開(kāi)始損失，損失的經(jīng)驗(yàn)值與不健康時(shí)間成正比例關(guān)系，正比例系數(shù)為50.(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出累計(jì)經(jīng)驗(yàn)值E與游玩時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式，并求出游玩6小時(shí)的累積經(jīng)驗(yàn)值；(2)該游戲廠商把累計(jì)經(jīng)驗(yàn)值與游玩時(shí)間的比值稱為“玩家愉悅指數(shù)”，記為，若，且該游戲廠商希望在健康時(shí)間內(nèi)，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于24，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，（EXP）.(2) 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分段函數(shù)分析運(yùn)算；（2）根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，恒成立，利用參變分離結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）由題意可得：當(dāng)時(shí)，則，且；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；綜上所述：.若，則，所以（EXP）.（2）由（1）可得：，則，由題意可得：當(dāng)時(shí)，恒成立，整理得對(duì)任意恒成立，因?yàn)?/span>的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，則時(shí)，取到最小值，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用換元法令，所以，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得取值范圍；（2）換元法，設(shè)，，即可轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可解出．【詳解】（1）當(dāng)，則，令，所以，則在上單調(diào)遞減，所以，，故的取值范圍為；（2）設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，即，則的兩根為，，整理得，所以，，所以，則，所以，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．已知函數(shù)（，）是奇函數(shù).(1)若，對(duì)任意有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，若，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在上的最大值為0？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在 【分析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得到，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，脫去得到在上恒成立，后根據(jù)二次函數(shù)恒成立得到實(shí)數(shù)的取值范圍；根據(jù)得到，利用，用換元法整理，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到真數(shù)的最值，后利用二次函數(shù)性質(zhì)即可.【詳解】（1），，因為奇函數(shù)，所以，得，所以，若，因，，所以，故在上單調(diào)遞減.因?qū)θ我?/span>，恒成立，所以在上恒成立設(shè)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在對(duì)稱軸，時(shí)取得最小值，則，得，又因，此時(shí)無(wú)解.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，得，又因，此時(shí)無(wú)解.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）若，則，得，或（舍去）所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)在上的最小值為1，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為1，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，此時(shí)，得（舍去），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸，函數(shù)在處取得最大值，此時(shí)，解得（舍去）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸，函數(shù)在處取得最大值，此時(shí)，綜上所述，不存在這樣的實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于單調(diào)函數(shù)恒成立問(wèn)題若在上單調(diào)遞增，，恒成立可轉(zhuǎn)化為，若在上單調(diào)遞減，，恒成立可轉(zhuǎn)化為. 

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