挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國通用)  專題27以相似為載體的幾何綜合問題          
【例1】(2022·四川內(nèi)江·中考真題)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．【例2】(2022·貴州銅仁·中考真題)如圖，在四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，記的面積為，的面積為．(1)問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：(2)探索推廣：如圖②，若與不平行，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且，若，求值．【例3】(2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題)如圖，在平行四邊形中，是一條對角線，且，，，是邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，連接，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)．(1)如圖1，是邊上一點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)．①若，求的長；②在滿足①的條件下，若，求證：；(2)如圖2，連接，是上一點(diǎn)，連接．若，且，求的長．【例4】(2022·江蘇泰州·中考真題)已知：△ABC中，D 為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.【例5】(2022·湖南岳陽·中考真題)如圖，和的頂點(diǎn)重合，，，，．(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在線段上，連接，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．一、解答題【共20題】1．(2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題)已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求證：；(2)如圖2，已知，，當(dāng)、的大小有_________關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形；(3)如圖3，，、相交于點(diǎn)，，已知正方形的邊長為16，長為20，當(dāng)的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．2．(2022·山東東營·中考真題)和均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)B、C停止.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請判斷：線段的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，(1)中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時(shí)，四邊形是哪種特殊四邊形？請?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并給予證明.3．(2022·遼寧鞍山·中考真題)如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)時(shí)，求的值；(3)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，請直接寫出的值．4．(2022·浙江衢州·中考真題)如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對角線.點(diǎn)E是邊AB延長線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)G． (1)求證：.(2)若．①求菱形的面積.②求的值.(3)若，當(dāng)的大小發(fā)生變化時(shí)()，在上找一點(diǎn)，使為定值，說明理由并求出的值．5．(2022·山東棗莊·中考真題)已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？6．(2022·江蘇南通·中考真題)如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．7．(2022·山東菏澤·中考真題)如圖1，在中，于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使，連接BE、CE．(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到(點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對應(yīng))，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與(1)中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請說明理由；(3)如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若，求的長．8．(2022·遼寧丹東·中考真題)已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合)，連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG(A，E，F，G按逆時(shí)針方向排列)，連接DG．(1)如圖1，當(dāng)＝＝1時(shí)，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)＝＝2時(shí)，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．9．(2022·山東濟(jì)南·中考真題)如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．10．(2022·湖南益陽·中考真題)如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延長CG至點(diǎn)C′，使C′G＝CG，連接CF，AC′．(1)直接寫出圖中與△AFB相似的一個(gè)三角形；(2)若四邊形AFCC′是平行四邊形，求CE的長；(3)當(dāng)CE的長為多少時(shí)，以C′，F，B為頂點(diǎn)的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？11．(2022·四川綿陽·中考真題)如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點(diǎn)E，F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E，F相遇時(shí)停止運(yùn)動．(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動時(shí)，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．12．(2022·山東濟(jì)寧·中考真題)如圖，△AOB是等邊三角形，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)．P是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D，交AO于點(diǎn)E，連接AD，作DM⊥AD交x軸于點(diǎn)M，交AO于點(diǎn)F，連接BE，BF．(1)填空：若△AOD是等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為       ；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時(shí)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．①求m值最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時(shí)的m值；若不存在，請說明理由．13．(2022·山東煙臺·中考真題)(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．14．(2022·吉林長春·中考真題)如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．(1)點(diǎn)D到邊的距離為__________；(2)用含t的代數(shù)式表示線段的長；(3)連結(jié)，當(dāng)線段最短時(shí)，求的面積；(4)當(dāng)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．15．(2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題)已知點(diǎn)在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)． (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；(2)將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出的長度．16．(2022·湖南郴州·中考真題)如圖1，在矩形ABCD中，，．點(diǎn)E是線段AD上的動點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合)，連接CE，過點(diǎn)E作，交AB于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點(diǎn)B作，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時(shí)，求線段DE的長．17．(2022·廣西貴港·中考真題)已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，連接，若，求的長；②如圖3，當(dāng)時(shí)，連接并延長交直線l于點(diǎn)F，連接．求證：．18．(2022·山東青島·中考真題)如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為．交于點(diǎn)F，連接．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．解答下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．19．(2022·遼寧營口·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為D，作軸，垂足為E，交于點(diǎn)F，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)點(diǎn)N為拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得直線垂直平分線段？若存在，請直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．20．(2022·山東威海·中考真題)回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(從①②兩題中選擇一題加以證明)(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)．對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件(不再添加新的字母)，使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，F為邊AC延長線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．
 

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