2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市花山區(qū)成功學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  使二次根式有意義的的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列二次根式中，與是同類二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  一元二次方程的根的情況是(    )A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 沒有實(shí)數(shù)根4.  一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是，則它是(    )A. 正六邊形 B. 正八邊形 C. 正九邊形 D. 正十邊形5.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，，是的三邊長，且滿足，則是(    )A. 以為斜邊的直角三角形 B. 以為斜邊的直角三角形
C. 以為斜邊的直角三角形 D. 以為底邊的等腰三角形7.  已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則實(shí)數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D. 8.  某商店從廠家以每件元的價(jià)格購進(jìn)一批商品該商品可以自行定價(jià)據(jù)市場調(diào)查，該商品的售價(jià)與銷售量的關(guān)系是：若每件售價(jià)元，則可賣出件，但物價(jià)部門限定每件商品加價(jià)不能超過進(jìn)貨價(jià)的，如果商店計(jì)劃要獲利元則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為(    )A. 元 B. 元 C. 元 D. 元9.  如圖，在中，，，將折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上與點(diǎn)重合，為折痕，則的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  定義新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，我們規(guī)定符號(hào)表示，中的較大值，如：，因此；按照這個(gè)規(guī)定，若，則的值是(    )A.  B. 或 C.  D. 或第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）11.  當(dāng)時(shí)，二次根式的值是______．12.  已知，，則 ______ ．13.  若是關(guān)于的一元二次方程，則的值是______．14.  若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______ ．15.  埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形底面正方形的邊長與側(cè)面等腰三角形底邊上的高的比值是，它介于整數(shù)和之間，則的值是______ ．16.  已知是方程的一個(gè)根，且，則的值等于______ ．17.  在中，，，，交直線于點(diǎn)，若，，則
的長為______ ；
的長為______ ．18.  如圖，在等腰中，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，作等腰．
線段的長度為______ ；
的面積為______ ．
 三、解答題（本大題共6小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.  本小題分
計(jì)算：
；
．20.  本小題分
解一元二次方程：．21.  本小題分
觀察以下等式：
第個(gè)等式：，
第個(gè)等式：，
第個(gè)等式：，
第個(gè)等式：，
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
寫出第個(gè)等式：        ；
寫出你猜想的第個(gè)等式：        用含的等式表示，為正整數(shù)，并證明其正確性．22.  本小題分
已知關(guān)于的一元二次方程，其中，，分別為三邊的長．
如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；
如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由；
如果是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．23.  本小題分某商場一種商品的進(jìn)價(jià)為每件元，售價(jià)為每件元，每天可以銷售件，為盡快減少庫存，商場決定降價(jià)促銷經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷售件，那么每天要想獲得元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)多少元？ 24.  本小題分
如圖，在等腰直角三角形中，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，．
求證：；
若，，，求的長度；
在的條件下，求的長度．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：依題意得：．
解得．
故選：．
二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即．
此題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．
 2.【答案】 【解析】解：，四個(gè)選項(xiàng)中只有與被開方數(shù)相同，是同類二次根式．
故選：．
先把二次根式與化為最簡二次根式，再進(jìn)行判斷即可．
此題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同．這樣的二次根式叫做同類二次根式．
 3.【答案】 【解析】解：，
方程沒有實(shí)數(shù)根．
故選：．
先計(jì)算根的判別式，然后利用根的判別式的意義判斷方程根的情況．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
 4.【答案】 【解析】解：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)：，
故選：．
根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角都相等，多邊形的邊數(shù)，計(jì)算即可求解．
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟記正多邊形的邊數(shù)與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、，故此選項(xiàng)符合題意；
B、，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算法則判斷和，根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷，根據(jù)二次根式減法運(yùn)算法則判斷．
本題考查二次根式的運(yùn)算，理解二次根式的性質(zhì)和二次根式乘法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：由題意得：，，，
解得，，，
，
，
．
故選：．
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出、、的值，然后利用勾股定理逆定理判斷即可．
本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為還考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是由非負(fù)數(shù)性質(zhì)，求出三角形三邊之長．
 7.【答案】 【解析】解：是方程的根，由一元二次方程的根的定義，可得，
解此方程得到．
故選A．
根據(jù)一元二次方程的根的定義、一元二次方程的定義求解．
本題考查的是一元二次方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題型．
 8.【答案】 【解析】解：依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又物價(jià)部門限定每件商品加價(jià)不能超過進(jìn)貨價(jià)的，
售價(jià)不能超過元．
．
故選：．
利用商店銷售該商品獲得的利潤每件的銷售利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合物價(jià)部門限定每件商品加價(jià)不能超過進(jìn)貨價(jià)的，即可確定每件商品的售價(jià)．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：在中，
，，
，
由翻折不變性可知：，，
設(shè)，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
，
則的長為．
故選D．
由翻折不變性可知：，，設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
本題考查翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
 10.【答案】 【解析】解：若，即，則，解得負(fù)值舍去；
若，即，則，解得正值舍去；
故選：．
根據(jù)新定義分和列出方程，再分別求解可得．
本題主要考查了新定義和解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查二次根式的化簡求值，比較簡單．
把代入二次根式，即可得解．
【解答】
解：當(dāng)時(shí)，二次根式，
故答案為：．  12.【答案】 【解析】解：，，
，，
，
故答案為：．
先求出、，再把原式利用平方差公式變形，代入計(jì)算即可．
本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：由題意得，，，
解得．
故答案為：．
直接利用一元二次方程的定義得出關(guān)于的等式，進(jìn)而得出答案．
本題考查了一元二次方程的定義．掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】且 【解析】解：根據(jù)題意得且，
解得且，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為是且．
故答案為且．
根據(jù)根的判別式符號(hào)和一元二次方程的定義解答．
本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 15.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以，
所以，
又，
所以．
故答案為：．
先估算出的大小，再估算的大小，即可得出整數(shù)的值．
本題主要考查估算無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是估算出的大小．
 16.【答案】 【解析】解：是方程的一個(gè)根，
，
，
，
，
解得．
故答案為：．
先利用一元二次方程的解的定義得到，則由得到，然后解關(guān)于的一次方程即可．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
 17.【答案】 或 【解析】解：如圖，
在中，，，
，

故答案為：；
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，
故答案為：或．
利用含角的直角三角形的性質(zhì)，直接得出答案；
首先利用含角的直角三角形的性質(zhì)得出，再分點(diǎn)在線段上或點(diǎn)在的延長線上，分別利用勾股定理求出答案．
本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握含角的直角三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】   【解析】解：如圖，連接，

，
，
在與中，
，
≌，
，，
，
，
，且，
，
，
故答案為：；
，
故答案為：．
連接，證明≌，得到，再證，利用勾股定理求得；
利用三角形的面積公式直接求得結(jié)果．
該題主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面積公式等幾何知識(shí)點(diǎn)，作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：原式
．
原式
． 【解析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．
根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案．
本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 20.【答案】解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 【解析】方程利用因式分解法求出解即可．
此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的解法是解本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】   【解析】解：根據(jù)前幾個(gè)式子的規(guī)律可知，
第個(gè)等式為，
故答案為：；
，
證明：

，
，
故答案為：．
根據(jù)前幾個(gè)式子的規(guī)律直接解答即可；
根據(jù)前幾個(gè)式子的規(guī)律即可寫出第個(gè)等式．
本題主要考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：為等腰三角形，理由如下：
把代入方程得，則，所以為等腰三角形；
為等腰三角形，理由如下：
根據(jù)題意得，即，所以為直角三角形；
為等邊三角形，
，
方程化為，即，解得，． 【解析】把代入方程得，整理得，從而可判斷三角形的形狀；
根據(jù)判別式的意義得，即，然后根據(jù)勾股定理可判斷三角形的形狀；
利用等邊三角形的性質(zhì)得，方程化為，然后利用因式分解法解方程．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
 23.【答案】解：每件商品應(yīng)降價(jià)元，
由題意，得，
解得：，，
有利于減少庫存，
．
答：每天要想獲得元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)元． 【解析】設(shè)每天要想獲得元的利潤，且更有利于減少庫存，設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．
此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價(jià)格問題主要解決價(jià)格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程，解答即可．
 24.【答案】證明：是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：連接，如圖：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
在中，
；
解：在延長線上取點(diǎn)，使，過作，交延長線于，如圖：

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，
． 【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，，可得，即可由得≌，故BD；
連接，由是等腰直角三角形，，可得，而，知，由，得，在中，即得；
在延長線上取點(diǎn)，使，過作，交延長線于，可證≌，得，，從而是等腰直角三角形，得，，在中，即得．
本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
 

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