專題10 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題10 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）
【專題說明】
“截長(zhǎng)補(bǔ)短”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，即若題目條件或結(jié)論中含有“a＋b＝c”的條件，需要添加輔助線時(shí)可以考慮“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法。
【方法技巧】
常見類型及常規(guī)解題思路：
① 可采取直接截長(zhǎng)或補(bǔ)短，繞后進(jìn)行證明?；蛘呋癁轭愋廷谧C明。
② 可以將與構(gòu)建在一個(gè)三角形中，然后證明這個(gè)三角形為特殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個(gè)角為的直角三角形等。

截長(zhǎng)法常規(guī)輔助線：
（1）過某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線
（2）在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

補(bǔ)短法常規(guī)輔助線：
（1）延長(zhǎng)短邊。
（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起

【典例分析】
【典例1】模型分析
當(dāng)題目中出現(xiàn)線段的和差關(guān)系時(shí)，考慮用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，該類題日中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法進(jìn)行證明．
問題：
如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，且∠B＝2∠C，求證：AB+BD＝AC．
截長(zhǎng)法：
在AC上截取AE＝AB，連接DE，證明CE＝BD即可．

補(bǔ)短法：
延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使AF＝AC，連接DF，證明BF＝BD即可．
請(qǐng)結(jié)合右邊的證明結(jié)論．求證：AB+BD＝AC．

請(qǐng)結(jié)合右邊的【模型分析】證明結(jié)論．
求證：AB+BD＝AC．
【截長(zhǎng)法】

【補(bǔ)短法】

【解答】證明：【截長(zhǎng)法】
在AC上截取AE＝AB，連接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AB+BD＝AE+CE＝AC．
證明：【補(bǔ)短法】
延長(zhǎng)AB到F，使BF＝BD，連接DF，
∵BF＝BD，
∴∠F＝∠BDF，
∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC（AAS）
∴AC＝AF，
∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．
【變式1】如圖，△ABC為等邊三角形，D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求證：AD＝BD+CD．

【解答】證明：在DA上截取DE＝DB，連接BE，如下圖所示，

∵∠ADB＝60°，DE＝DB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠EBD＝60°，BE＝BD，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
∴AD＝AE+ED＝CD+BD．
【變式2】如圖，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD交AD于F點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E．求證：AD＝2DF+CE．

【解答】證明：在AF上截取FG＝DF，連接CG，則DG＝2DF，

∵∠ACB＝90°，
∴∠DCF+∠ACF＝90°，
又∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠DCF＝∠CAF，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAF＝∠EAF，
∵DF＝FG，CF⊥DG，
∴CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD，
∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠ACG，
又∵AC＝BC，
∴△ACG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，
∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．
【變式3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一條弦，且＝，過點(diǎn)A作AP⊥CD，分別交CD，⊙O于點(diǎn)E，P，連接BP，若CD＝6，△ABP的周長(zhǎng)為13，求AE的長(zhǎng)．

【解答】解：在AE上截取AF＝BP，連接CF，PC，
∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，
∴△CAF≌△CBP，
CF＝CP，
∵CD⊥PA，
∴EF＝PE，
∴AE＝AF+FE＝PB+PE，
∵AC＝BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴AB＝CD＝6，
∵△ABP的周長(zhǎng)是13，
∴AP+PB＝7，
∵AE＝PE+PB，
∴2AE＝AP+PB，
∴AE＝．
【變式4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，在AB左側(cè)作∠BDC＝∠BAC＝α，過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)α＝90°時(shí)，
①求證：AE＝DE；
②若BD＝AE＝2，請(qǐng)求出△ABC的面積；
（2）當(dāng)α≠90°時(shí)，求證：BD+DE＝EC．

【解答】（1）①證明：過點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵AE⊥CD，
∴∠DEF＝90°，
又∵∠BDE＝90°，
∴四邊形BDEF為矩形，
∴DE＝BF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠EAC＝90°，
又∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAF＝∠ACE，
又∵∠AEC＝∠BFA＝90°，AB＝AC，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF＝AE，
∴DE＝AE；
②解：∵四邊形BDEF為矩形，BD＝AE＝2，
∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，
∴AF＝AE+EF＝+2，
∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，
∴S△ABC＝＝；
（2）證明：過點(diǎn)A作AF⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于F，連接AD，設(shè)CD與AB交于點(diǎn)O，

∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO＝∠DOB，
即∠ABF＝∠ACE，
又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴AE＝AF，BF＝CE，
又∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴DE＝DF，
∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．
【變式5】【問題背景】
如圖①，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，與正方形ABCD的外角∠DCG的平分線交于點(diǎn)F．李老師指出，當(dāng)點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，AE＝EF．
【初步探索】
（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立；
【問題解決】
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，設(shè)BE＝x，△ECF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
【拓展延伸】
（3）如圖③，將正方形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C在x軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

【解答】解：【問題背景】
如圖1，取AB的中點(diǎn)H，連接EH，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BH＝BE＝AH＝CE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
【初步探索】
（1）仍然成立，理由如下：
如圖2，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使AN＝CE，連接NE．

∵AB＝BC，AN＝CE，
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠FCE＝45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠NAE＝∠CEF，
在△ANE和△ECF中，
，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
【問題解決】
（2）如圖3，在BA上截取BH＝BE，連接HE，
同理得：△AHE≌△ECF，

∴y＝S△AHE＝AH?BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；
【拓展延伸】
（3）如圖4，在BA上截取BH＝BE，連接HE，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，

設(shè)點(diǎn)E（a，0），
∴BE＝a＝BH，
∴HE＝a，
由（1）可得△AHE≌△ECF，
∴CF＝HE＝a，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF＝∠FCM＝45°，
∵FM⊥CM，
∴∠CFM＝∠FCM＝45°，
∴CM＝FM＝a，
∴BM＝1+a，
∴點(diǎn)F（1+a，a），
∵點(diǎn)F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，
∴a＝﹣2（1+a）+3，
∴a＝，
∴點(diǎn)E（，0）．
【典例2】如圖1，在Rt△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．
（1）試猜想CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）自主探究：如圖2，若將已知條件中含45°的直角三角形換成含30°的直角三角形，其余條件不變，試探究BE和CF的關(guān)系．

【解答】解：（1）CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：CF＝BE．理由：
過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，

∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，
∴∠C＝45°，∠B＝90°．
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEB+∠FEH＝90°．
∵∠BDE+∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝∠FEH．
在△BDE和△HEF中，
，
∴△BDE≌△HEF（AAS），
∴BE＝FH．
∵FH⊥BC，∠C＝45°，
∴△FHC為等腰直角三角形，
∴FC＝FH，
∴FC＝BE；
（2）CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：CF＝BE．理由：
過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，

∵Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴∠C＝60°，∠B＝90°．
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEB+∠FEH＝90°．
∵∠BDE+∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝∠FEH．
在△BDE和△HEF中，
，
∴△BDE≌△HEF（AAS），
∴BE＝FH．
∵FH⊥BC，∠C＝60°，
∴sin60°＝，
∴FC＝FH，
∴FC＝BE．
【變式1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，連接BF交AD于點(diǎn)E，且DE＝CD，連接DF，若AF＝4，DF＝2，則BF的長(zhǎng)為　 ?。?br />
【解答】解：如圖，在BF上截取HF＝AF，連接AH，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠BDE＝90°，
∴∠AHF＝∠HAF＝45°，
∴AH＝AF，
∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，
∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，
∴△AFE∽△BDE，
∴＝，
∵∠AEB＝∠FED，
∴△AEB∽△FED，
∴∠EAB＝∠EFD＝45°，
∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，
∴∠AHB＝∠AFD，
∴△AHB∽△AFD，
∴＝＝，
∴BH＝DF，
∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．
故答案為：2+4．
【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，連接AC，BD，若AB＝AC，請(qǐng)?zhí)骄緼D，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系．

【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，
∵BC是直徑，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
∵BD＝DE+BE，
∴BD＝AD+CD．

【變式3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AB上，CE＝CA，連接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．求證：DE+AD＝2CH．

【解答】證明：如圖，作∠FCD＝∠ACB，交BA延長(zhǎng)線于F，

∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，
∴∠FCA＝∠DCB，
∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，
∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，
∵∠FAC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，
∴∠FAC＝∠CED，
在△AFC和△EDC中，
，
∴△AFC≌△EDC（ASA），
∴AF＝DE，F(xiàn)C＝CD，
∵CH⊥FD，
∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，
∴DH＝CH，
∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，
∴AD+DE＝2CH．
【變式4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，且AD⊥CD．點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，連接OA，OD．
（1）如圖①，若點(diǎn)D是BC下方一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥OD分別交AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．
①求證：∠OAF＝∠OCD；
②若CD＝1，DF＝2，求BC的長(zhǎng)；
（2）如圖②，若點(diǎn)D是AC右側(cè)一點(diǎn)，試判斷AD，CD，OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【解答】（1）①證明：∵AB＝AC，O為BC的中點(diǎn)，
∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，
∵OE⊥OD，
∴∠AOC＝∠EOD＝90°，
∴∠AOF＝∠COD，
∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，
∴∠OAM＝∠MCD，
∴△OAF≌△OCD（ASA），
∴∠OAF＝∠OCD；
②解：∵△OAF≌△OCD，
∴AF＝CD＝1，
∵DF＝2，
∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵AC＝AB，
∴BC＝AC＝＝2；
（2）解：AD+CD＝OD．
理由：過點(diǎn)O作OE⊥OD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∵∠DOE＝∠AOC＝90°，
∴∠AOE＝∠COD，
∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，
∴∠ODC＝∠OEA，
又∵OA＝OC，
∴△OCD≌△OAE（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∴DE＝OD，
∴AD+AE＝AD+CD＝OD．
【變式5】【問題探究】
如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．
（1）如圖①，當(dāng)∠CAB＝60°時(shí)，試探究BD，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖②，當(dāng)∠CAB＝120°時(shí)，探究是否為定值，并說明理由；
【問題解決】
（3）如圖③，在四邊形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）BD，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系為：BD＝CD+AD，理由如下：
在BD上取一點(diǎn)E，使BE＝CD，連接AE，設(shè)AC交BD于H，如圖①所示：
∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DE＝AD，
∴BD＝BE+DE＝CD+AD；
（2）是定值，理由如下：
在BD上取一點(diǎn)E，使BE＝CD，連接AE，設(shè)AC交BD于H，過點(diǎn)A作AF⊥BD于F，如圖②所示：
∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AF⊥DE，
∴DF＝EF，AF＝AD，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，
∴DE＝2DF＝AD，
∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，
∴BD﹣CD＝AD，
∴＝，
∴是定值；
（3）在CD上取一點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，設(shè)AB交CD于H，過點(diǎn)A作AF⊥CD于F，如圖③所示：
∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，
∴∠ACE＝∠ABD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AF⊥DE，
∴DF＝EF，AF＝AD，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，
∴DE＝2DF＝AD，
∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．

【變式6】如圖，在矩形ABCD中，AB＝AD，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，CF交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DN⊥AE于點(diǎn)N，連接DF．
（1）在不添加輔助線的情況下，找出一個(gè)與△CDH相似的三角形，并證明；
（2）求證：FD＝2DN；
（3）求證：CF＝AF+2FD．

【解答】（1）解：選擇△AFH，
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFH＝∠CDH，
∵∠AHF＝∠CHD，
∴△AFH∽△CDH；
（2）證明：連接AC，

∵△AFH∽△CDH，
∴，
∴，
∵∠FHD＝∠AHC，
∴△FHD∽△AHC，
∴∠DFC＝∠DAC，
∵AB＝CD＝AD，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DFC＝∠DAC＝60°，
∴∠DFN＝30°，
∵DN⊥AE，
∴∠DNF＝90°，
∴FD＝2DN；
（3）證明：在線段FC上截取FO，使FO＝AF，連接AO，

∵∠AFO＝90°，
∴FAO＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠FAD＝∠OAC，
∵，
∴△FAD∽△OAC，
∴，
∴OC＝2FD，
∴CF＝FO+OC＝AF+2FD，
∴CF＝AF+2FD．

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