2021北京八一學(xué)校高二（上）期末數(shù)    學(xué)一．選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角是　　A． B． C． D．2．雙曲線的焦點坐標為　　A．．和 B．，和， C．和 D．，和，3．若直線是圓的一條對稱軸，則的值為　　A．1 B． C．2 D．4．已知直線與直線，那么“”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．在四面體中，點為棱的中點．設(shè)，，，那么向量用基底，，可表示為　　A． B． C． D．6．已知點，，，，2，，，，，則的形狀是　　A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有　　A．12種 B．15種 C．17種 D．19種8．已知點，，且，則直線的方程為　　A．或 B．或 C．或 D．或9．已知直線與直線的交點為，橢圓的焦點為，，則的取值范圍是　　A．， B． C．， D．10．已知點為拋物線的焦點，點為點關(guān)于原點的對稱點，點在拋物線上，則下列說法錯誤的是　　A．使得為等腰三角形的點有且僅有4個 B．使得為直角三角形的點有且僅有4個 C．使得的點有且僅有4個 D．使得的點有且僅有4個二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11．已知直線與直線垂直，則實數(shù)　　．12．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則　　．13．已知拋物線經(jīng)過點，則準線方程為　　，點到焦點的距離為　　．14．若橢圓的一個焦點為，橢圓上一點到焦點的最大距離是3，則橢圓的離心率為 　　．15．如圖，正方體的棱長為，動點在對角線上，過點作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為，設(shè)，則當(dāng)，時，函數(shù)的值域為　 　．三．解答題：本大題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（7分）已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，求線段的中點坐標．17．（11分）如圖，在四棱錐，底面是邊長為1的菱形，，底面，，為的中點，為的中點．（Ⅰ）證明：直線平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求點到平面的距離．18．（8分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．19．（14分）已知曲線，直線與曲線交于，兩點，，兩點在軸上的射影分別為點，．（1）當(dāng)點坐標為時，求的值；（2）記的面積為，四邊形的面積為．若，求線段的長度；求證：．
參考答案一．選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方程可得直線的斜率，進而可得，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線，設(shè)其傾斜角為，其斜率，則有，則．故選：．【點評】本題考查直線的傾斜角與斜率，涉及直線的斜截式方程，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】求得雙曲線的，，，可得雙曲線的焦點坐標．【解答】解：雙曲線的，，，可得雙曲線的焦點為，，，．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是焦點的坐標，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】化圓的方程為標準方程，求出圓心坐標，把圓心坐標代入直線方程求解．【解答】解：圓化為，圓心坐標為，直線是圓的一條對稱軸，，即．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4．【分析】利用直線平行的充要條件直接進行判斷即可．【解答】解：直線與直線， “” “”，充分性成立；反之，“” “”，必要性成立．故“”是“”的充要條件，故選：．【點評】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意直線方程的性質(zhì)的靈活運用．5．【分析】先根據(jù)點為棱的中點，則，然后利用空間向量的基本定理，用，，表示向量即可．【解答】解：點為棱的中點，，，又，，，．故選：．【點評】本題主要考查空間向量的基本定理，以及向量的中點公式要求熟練掌握，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】直接利用空間兩點間的距離公式求出三角形，，的長；再根據(jù)三個邊的長度即可判斷三角形的形狀．【解答】解：因為三角形頂點分別為，，，，2，，，，所以：；；所以：由勾股逆定理得：即為直角三角形．故選：．【點評】本題主要考查空間兩點間的距離公式以及三角形的形狀判斷．三角形的形狀判斷一般有兩種方法：①求角，通過角來下結(jié)論；②求邊，通過三邊關(guān)系或其中兩個邊的關(guān)系來下結(jié)論．7．【分析】由分步計數(shù)原理可得總的取法由27種，列舉可得不合題意得有8種，進而可得符合題意得方法種數(shù)．【解答】解：由題意結(jié)合分部計數(shù)原理可得，總的取球方式共種，其中，，1，，，1，，，2，，，1，，，2，，，1，，，2，，，2，共8種不符合題意，故取得小球標號最大值是3的取法有種，故選：．【點評】本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，采用間接的方式結(jié)合列舉法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．8．【分析】通過的距離，求出，與，然后求出的斜率，利用點斜式求出直線的方程．【解答】解：因為點，，且，所以，所以，，，所以，所以直線的方程：．即或．故選：．【點評】本題考查直線方程的求法，兩點間公式公式的應(yīng)用，考查計算能力．9．【分析】判斷兩條直線經(jīng)過的定點，判斷交點所在的位置利用橢圓的定義判斷求解即可．【解答】解：橢圓的焦點為，，，；直線與直線的交點為，兩條直線經(jīng)過定點，，它們的交點滿足：，在橢圓內(nèi)部，與橢圓的短軸端點相交，所以的取值范圍是：，．故選：．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查計算能力．10．【分析】為等腰三角形，考慮兩邊相等，結(jié)合圖形，可得有4個點；為直角三角形，考慮直角頂點，結(jié)合圖形，可得有4個點；考慮直線，與拋物線的方程聯(lián)立，解方程可得交點個數(shù)；由對稱性可得有2個；考慮直線，代入拋物線的方程，解方程可得交點個數(shù)，由對稱性可得點有4個．【解答】解：由為等腰三角形，若，則有兩個點；若，則不存在，若，則有兩個點，則使得為等腰三角形的點有且僅有4個；由中為直角的點有兩個；為直角的點不存在；為直角的點有兩個，則使得為直角三角形的點有且僅有4個；若的在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程可得，解得，由對稱性可得在第四象限只有一個，則滿足的有且只有2個；使得的點在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程，可得，△，可得點有2個；若在第四象限，由對稱性可得也有2個，則使得的點有且只有4個．故選：．【點評】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立方程，由判別式確定交點個數(shù)，以及分類討論思想方法，以及運算能力，屬于中檔題．二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11．【分析】根據(jù)題意，求出兩條直線的斜率，由直線垂直的判斷方法分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線，其斜率，直線，其斜率，若直線與直線垂直，必有，故答案為：．【點評】本題考查直線與直線垂直的判斷，涉及直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用雙曲線的標準方程寫出其漸近線方程是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)已知給出的一條漸近線方程對比求出的值．【解答】解：該雙曲線的漸近線方程為，即，由題意該雙曲線的一條漸近線的方程為，又，可以得出．故答案為：1．【點評】本題考查根據(jù)雙曲線方程求解其漸近線方程的方法，考查學(xué)生對雙曲線標準方程和漸近線方程的認識和互相轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的比較思想，屬于基本題型．13．【分析】利用拋物線經(jīng)過的點，求出拋物線方程，然后求解點到焦點的距離．【解答】解：拋物線經(jīng)過點，可得，解得，所以拋物線方程為：，則準線方程為：；點到焦點的距離為：．故答案為：；5．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基本知識的考查．14．【分析】利用橢圓方程得，，所以，，可得，解方程即可求解．【解答】解：由橢圓方程得，，，所以，，又橢圓上一點到焦點的最大距離是3，所以，解得，所以，，所以橢圓的離心率為．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．15．【分析】棱長為，故體對角線，根據(jù)對稱性，只需研究，，函數(shù)的值域即可．【解答】解：由題意，連接，，，則，此時，當(dāng)時，截面周長為截面的周長的一半，即．當(dāng)時，即當(dāng)截面過體對角線的中點時，此時截面為正六邊形，其定點為個棱的中點，（如圖）截面周長為，函數(shù)的值域為，故答案為：，．【點評】本題考查了幾何體中動點問題，截面周長問題．轉(zhuǎn)化思想，平移平面，找到截面最大時動點位置是關(guān)鍵．三．解答題：本大題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．【分析】（1）由題意求得與，結(jié)合隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由中點坐標公式及根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：（1）橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3，，得，橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，，由，可得，．線段的中點坐標為．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）只要證明所在平面平行于平面即可；（Ⅱ）用向量數(shù)量積計算二面角的余弦值；（Ⅲ）用向量數(shù)量積計算點到平面距離．【解答】（Ⅰ）證明：取中點，連接、，因為為的中點，所以，因為是菱形，為的中點，所以，，，所以平面平面，因為平面，所以平面．（Ⅱ）解：連接、，因為底面是邊長為1的菱形，，所以為等邊三角形，所以，所以，因為底面，所以，，所以、、兩兩垂直，建系如圖，，1，，，，，，0，，，，，，，，令，，，因為，，所以是平面的法向量，，0，是平面的法向量，因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：因為，，，，1，，所以點到平面的距離為．【點評】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了二面角的計算問題，考查了點到平面距離問題，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）先化簡函數(shù)解析式，然后令即可求解；（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用整體代換思想即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因為函數(shù)，所以；（Ⅱ）令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【點評】本題考查了正弦函數(shù)的解析式以及單調(diào)性，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）由題意，曲線是橢圓軸的上方部分，點坐標為，說明只能在第二象限，且點是直線與曲線的交點，橫坐標為，代入曲線求點的坐標，再代入直線方程求出．（2）設(shè)點，點的坐標，設(shè)而不求的思想，，兩點在軸上的射影分別為點，．那么四邊形是直角梯形或矩形，由點，點的坐標建立關(guān)系．不存在時，四邊形也不存在，所以必須存在．利用點，點的坐標表示的面積為，四邊形的面積為，其比值大于等于．【解答】解：（1）由題意，與曲線交于，兩點，，兩點在軸上的射影分別為點，．點坐標為，則點的橫坐標為，代入曲線，解得點的縱坐標為，即點在直線，則有：，解得 （2）由題意，不存在時，四邊形也不存在，所以必須存在．設(shè)點，，點，，則點，，點，直線與曲線交于，兩點，，兩點代入：，，消去，解得：，的面積為，設(shè)原點到直線距離為，則，，即，解得，．由題意及：可知：，兩點代入：，，消去四邊形的面積為那么：得證．【點評】本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了圓錐曲線的簡單性質(zhì)，考查弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，計算量大，化簡復(fù)雜，屬于難題．

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