www.ks5u.com樂山市高中2020屆第三次調(diào)查研究考試理科數(shù)學一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】用列舉法寫出集合，即可求出.【詳解】易知，所以.故選:B.【點睛】本題考查了集合的并集運算.2. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則“”是“在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第一象限”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)平面內(nèi)點的坐標表示，結(jié)合充分必要條件的性質(zhì)即可判斷.【詳解】復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標為，若，則，或都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分條件；若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第一象限，有可得，可得，而所以是必要條件，綜上可知， “”是“在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第一象限”的必要不充分條件，故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且時，，則（    ）.A. 2 B.  C. 3 D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為是奇函數(shù)，所以，故選：D.【點睛】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知，，，則、、的大小關(guān)系是（    ）.A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出、、的范圍，即可比較大??；【詳解】解：由題得，，，故有，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5. 已知向量與向量平行，，且，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標.【詳解】設(shè)，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故選：B【點睛】本題考查向量坐標的求解，涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.6. 支付寶和微信已經(jīng)成為如今最流行的電子支付方式，某市通過隨機詢問100名居民（男女居民各50名）喜歡支付寶支付還是微信支付，得到如下的列聯(lián)表：附表及公式：，  則下列結(jié)論正確的是（    ）.A. 在犯錯的概率不超過的前提下，認為“支付方式與性別有關(guān)”B. 在犯錯的概率超過的前提下，認為“支付方式與性別有關(guān)”C. 有以上的把握認為“支付方式與性別有關(guān)”D. 有以上的把握認為“支付方式與性別無關(guān)”【答案】C【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)題意得出、、以及，然后將其帶入中，最后通過計算并與表中數(shù)據(jù)進行對比即可得出結(jié)果.【詳解】由列聯(lián)表得到，，，，代入，解得，因為，所以有以上的把握認為“支付方式與性別有關(guān)”，故選：C.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應(yīng)用，能否明確、、、所對應(yīng)的數(shù)字是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是簡單題.7. 秦九韶算法的主要功能就是計算函數(shù)多項式的值，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入，，依次輸入為1，2，4，則輸出的的值為（    ）.A. 4 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】【分析】模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件后可得結(jié)論．【詳解】輸入時，，，此時不成立；輸入時，，，此時不成立；輸入時，，，此時成立；輸出的的值為12，故選：D.【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時可模擬程序運行，觀察程序中變量值的變化，得出結(jié)論．8. 數(shù)列中，已知對任意，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系求解可得,進而得到為等比數(shù)列,首項,公比為,再利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】    ①當,    ②①-②得,又符合.為等比數(shù)列,首項,公比為,為等比數(shù)列,首項,公比為,故.故選：A【點睛】本題主要考查了數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系以及等比數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.9. 雙曲線－＝1 (a＞0，b＞0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是(　　)A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點在不等式表示的區(qū)域內(nèi)，即可求得的不等關(guān)系，據(jù)此求得離心率范圍.【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線方程為，且“右”區(qū)域由不等式組 確定，∵點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，∴，即，∴，即雙曲線離心率e的取值范圍是．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線離心率范圍的求解，屬中檔題.10. 已知角始邊與軸的非負半軸重合，與圓相交于點，終邊與圓相交于點，點在軸上的射影為，的面積為，函數(shù)的圖象大致是（   ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】如圖A（2，0），在RT△BOC中，
|BC|=2|sinx|，|OC|=2|cosx|，
∴△ABC的面積為S（x）= |BC||AC|≥0，
所以排除C、D；
選項A、B的區(qū)別是△ABC的面積為S（x）何時取到最大值？
下面結(jié)合選項A、B中的圖象利用特值驗證：
當x=時，△ABC的面積為S（x）=×2×2=2，
當x=時，|BC|=2|sin|= ，|OC|=2|cos|=則|AC|=2+∴△ABC的面積為S（x）=×× =+1＞2，
綜上可知，答案B的圖象正確，
故選B．點睛：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積公式，以及選擇題的解題方法：排除法和特值法，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．11. 已知是球的內(nèi)接三棱錐，球的半徑為2，且，， ，則點到平面的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可得為直徑，則中點即為球心，可得.由，可得為正三角形. 取中心，則.在中求出，即可求點到平面的距離.【詳解】由題意知四點都在球面上，且為直徑，中點即為球心，如圖所示，，，，又，為正三角形.取中心，連接.則面，.可求得，，.又因為中點為，所以點到面的距離為點到面的距離的2倍，即距離為.故選：.點睛】本題考查點面距，屬于中檔題.12. 已知函數(shù)，，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由題可得，是要求解關(guān)于對稱軸對稱兩點與對稱軸的關(guān)系問題，需要先求出對稱軸通式，再判斷在符合定義域取值范圍內(nèi)有多少條對稱軸，確定每相鄰兩零點與對稱軸關(guān)系，再通過疊加法表示出，結(jié)合數(shù)列通項公式求和即可【詳解】函數(shù)，令，可得，即函數(shù)的對稱軸方程為，又的周期為，令，可得，所以函數(shù)在上有29條對稱軸，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，（最后一條對稱軸為函數(shù)的最大值點，應(yīng)取前一條對應(yīng)的對稱軸）將以上各式相加得答案選A【點睛】本題考查復(fù)合型正弦函數(shù)零點的個數(shù)問題，而相鄰兩個零點之間等于中間對稱軸數(shù)值的兩倍這個條件至關(guān)重要，通過每兩個相鄰零點疊加的方式，可表示出，難點在于確定對稱軸的條數(shù)問題，最后一條對稱軸是函數(shù)的最大值點，所以取第28條確定對稱軸數(shù)值為非常關(guān)鍵，后續(xù)通過數(shù)列的通項求和最終求得數(shù)值．本題整體綜合性強，對于邏輯性與推理性，運算能力都有較高要求二、填空題：13. 已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】求出導函數(shù)，令可求得，再計算出，由點斜式寫出直線方程，整理成一般式．【詳解】因為，則，得，則，故切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．求切線方程時要區(qū)別在某點處的切線和過某點的切線．14. 七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形組成.如圖是一塊用七巧板組成的正方形，若在此正方形中任意取一點，則該點來自于陰影部分的概率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)拼成的正方形的面積為1，計算出陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：設(shè)拼成的正方形的面積為1，由圖知，最大的三角形面積為，最小的三角形面積為，平行四邊形的面積是最小三角形面積的2倍，由此可得陰影部分的面積為，則所求的概率為.故答案為：【點睛】本題考查面積型幾何概型的概率計算問題，屬于基礎(chǔ)題.15. 已知橢圓的左焦點為，、分別為的右頂點和上頂點，直線與直線的交點為，若，且的面積為，則橢圓的標準方程為______.【答案】【解析】【分析】依題意可得，且（為坐標原點），所以，從而得到，，，再根據(jù)的面積計算可得；【詳解】解：由，且（為坐標原點），得，所以，，，又因為，解得，所以，，故橢圓的標準方程為.故答案為：【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.16. 我們把一系列向量按次序排列成一列，稱之為向量列，記作.已知向量列滿足：，，設(shè)表示向量與的夾角，若，對于任意正整數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積公式得出，進而得出，從而得出，利用定義證明的單調(diào)性，求出其最小值，再解不等式，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】所以，故，令則所以單調(diào)遞增，所以，則因為，所以，則解得綜上所述，故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)列不等式的恒成立問題，涉及了判斷數(shù)列的增減性，向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于較難題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)需求作答.（一）必考題17. 在中，角、、所對的邊分別為、、，且.（1）求角的值；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用平方關(guān)系得到，再由正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到，然后利用余弦定理求得角B.（2）結(jié)合（1）及，，由余弦定理求得，再由求解.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得，即，所以，因為，所以.（2）由（1）得，即，所以，即，所以.【點睛】本題主要考查平方關(guān)系，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18. 為了治理空氣污染，某市設(shè)9個監(jiān)測站用于監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有2、4、3個監(jiān)測站，并以9個監(jiān)測站測得的AQI的平均值為依據(jù)播報該市的空氣質(zhì)量.（1）若某日播報的AQI為119，已知輕度污染區(qū)AQI平均值為70，中度污染區(qū)AQI平均值為115，求重試污染區(qū)AQI平均值；（2）如圖是2018年11月份30天的AQI的頻率分布直方圖，11月份僅有1天AQI在內(nèi).①某校參照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就組織學生參加戶外活動，以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校學生周日能參加戶外活動的概率；②環(huán)衛(wèi)部門從11月份AQI不小于170的數(shù)據(jù)中抽取三天的數(shù)據(jù)進行研究，求抽取的這三天中AQI值不小于200的天數(shù)的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）（2）①②詳見解析【解析】【分析】（1）設(shè)重度污染區(qū)AQI平均值為,根據(jù)每日9個監(jiān)測站測得的AQI總值進行求解即可；（2）①由頻率分布直方圖可得AQI在不小于140的不同區(qū)間的頻數(shù),再根據(jù)11月份僅有1天AQI在內(nèi),即可獲得AQI不小于150的頻數(shù),進而求解；②由①, AQI不小于170天的共7天,不小于200天的共2天,則的所有可能取值為0,1,2,進而根據(jù)超幾何分布求解分布列和期望【詳解】解:（1）設(shè)重度污染區(qū)AQI平均值為,則,解得.（2）①AQI在上的有天,AQI在上的有天,AQI在上的有天,因為11月份僅有1天AQI在內(nèi),所以11月份AQI不小于150的共天,即能參加戶外活動的概率為.②由①,AQI不小于170天的共7天,不小于200天的共2天,則的所有可能取值為0,1,2,所以,,,所以的分布列為:012 則.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,考查利用頻率分布直方圖求頻數(shù),考查超幾何分布的分布列和期望.19. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，中點，為線段上的一個動點.（1）證明：平面；（2）當二面角的余弦值為時，證明：.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取中點，連，可證四邊形為平行四邊形，得到，即可證明結(jié)論；（2）不妨設(shè)，如下圖建立空間直角坐標系，設(shè)，得到坐標， 求出平面的法向量坐標，取平面法向量為，根據(jù)已知求出，證明即可.【詳解】（1）如圖，取中點，連，因為是的中點，所以，在直三棱柱中，，因為是中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，，因為平面，平面，所以平面；（2）不妨設(shè)，如圖建立空間直角坐標系，設(shè)，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，所以平面的一個法向量，平面的一個法向量，所以，此時，，所以，即.【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系，考查直線與平面平行、異面直線垂直的證明，利用空間向量法求二面角的余弦，意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.20. 已知拋物線，過的直線與拋物線相交于兩點.（1）若點是點關(guān)于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，直線的方程為；定值為【解析】【分析】（1）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程消元，然后韋達定理可得，，然后，用將表示出來即可.（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入，得，然后將表示出來即可.【詳解】（1）依題意，點的坐標為，可設(shè)，，直線的方程為，與聯(lián)立得.由韋達定理得：，，于是，所以當時，面積最小值，最小值為.（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入，得，則.設(shè)直線與以為直徑的圓的交點為，，則，，于是有.當，即時，為定值.故滿足條件的直線存在，其方程為.【點睛】本題主要考查的是直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形面積的最值及弦長的定值問題，屬于中檔題.21. 已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，判斷并說明函數(shù)的零點個數(shù).若函數(shù)所有零點均在區(qū)間內(nèi)，求的最小值.【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）存在兩個零點，，且，，詳見解析；的最小值為3【解析】【分析】（1）函數(shù)求導，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分 ，三種情況分類討論求解.. （2）當時，，當時，單調(diào)遞增，，，則，故不存在零點；然后從定義域入手，分，，，四種情況分類討論求解.【詳解】（1）的定義域為，，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，（舍）.當時，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，，當時，單調(diào)遞增，，，則，故不存在零點；當時，，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一，使得.當時，，，所以單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，又，，因此，在上恒成立，故不存在零點.當時，，所以單調(diào)遞減，因為，所以，單調(diào)遞減，又，，所以存在唯一，使得.當時，，故不存在零點.綜上，存在兩個零點，，且，，因此的最小值為3.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸，分類討論的思想和運算求解的能力，屬于難題.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22. 在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知是曲線上任意兩點，且，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程為：，再根據(jù)轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可．（2）利用極坐標系，設(shè)其中，利用極徑的幾何意義、三角形面積公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：（1）消去參數(shù)，得到曲線的標準方程為：，
  故曲線的極坐標方程為．（2）極坐標系中，不妨設(shè)，其中.由（1）知： 面積，當時，即有最大值，此時.故面積的最大值為.【點睛】本題考查了簡單曲線的參數(shù)方程與極坐標方程互化，考查了利用極坐標解決面積最值問題，屬基礎(chǔ)題．[選修4-5：不等式選講]23. 已知，，為正數(shù)，且滿足.（1）證明：.（2）證明：.【答案】(1)證明見解析；(2) 證明見解析；【解析】【分析】(1)用均值定理直接證明；(2) 用分析法證明．【詳解】證明：（1）因為，為正數(shù)，所以，同理可得，，所以， 當且僅當時，等號成立故. （2）要證，只需證 即證，即證，即證. 因為，，， 所以， 當且僅當，，時，等號成立，從而得證.【點睛】證明不等式常用的方法：綜合法，分析法．綜合法：從已知條件、不等式的性質(zhì)和基本不等式出發(fā)，通過邏輯推理，推導出所要證明的結(jié)論．分析法：將待證明的不等式進行恒等變形，從而探尋證明的突破口．

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