www.ks5u.com2020年哈三中高三學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理工類）第Ⅰ卷一、選擇題1.已知全集，集合，，那么集合=（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先分別解不等式和,再求得,進(jìn)而根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由題,,解得或,則,,解得,即,所以,故選:B【點睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,考查解一元二次不等式和分式不等式,考查運(yùn)算能力.2.為虛數(shù)單位，滿足的復(fù)數(shù)的虛部是（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】整理為的形式,即可得到結(jié)果.【詳解】由題,因為,所以,故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3.的展開式中的常數(shù)項為（    ）A.  B.  C.  D. 9【答案】C【解析】【分析】利用通項公式,令,進(jìn)行求解.【詳解】由題,因為,所以令,解得,所以常數(shù)項為,故選:C【點睛】本題考查二項式展開式中的常數(shù)項,屬于基礎(chǔ)題.4.我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，若棱錐的體積為，圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的母線長為（    ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為,則母線長為,高為,由同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,可知棱錐與圓錐的體積相等,進(jìn)而求解.【詳解】由題,設(shè)圓錐的底面半徑為,因為圓錐的側(cè)面展開圖是半圓,則母線長為,高為,因為現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,所以棱錐與圓錐的體積相等,所以,解得,所以母線長為,故選:D【點睛】本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用,考查理解分析能力.5.某商場每天的食品銷售額（萬元）與該商場的總銷售額（萬元）具有相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為.已知該商場平均每天的食品銷售額為8萬元，估計該商場平均每天的食品銷售額與平均每天的總銷售額的比值為（    ）.A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】將代入中即可得到該商場平均每天的總銷售額,進(jìn)而求比即可.【詳解】由題,當(dāng),,所以比值為,故選:A【點睛】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.已知為等比數(shù)列的前項和，且是與的等差中項，則數(shù)列的公比為（    ）A.  B.  C.  D. 或1【答案】A【解析】【分析】由等差中項可得,整理可得,進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義求解即可.【詳解】由題,因為是與的等差中項,所以,即,所以,所以,故選:A【點睛】本題考查求等比數(shù)列的公比,考查等差中項的應(yīng)用.7.某地區(qū)有10000名高三上模擬考試，其中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，成績在(117,126]之外的人數(shù)估計有（    ）（附：若服從，則，）A. 1814人 B. 3173人 C. 5228人 D. 5907人【答案】A【解析】【分析】由,可得,進(jìn)而由數(shù)據(jù)及對稱性求得概率,即可求解.【詳解】由題,,,,所以,所以人,故選:A【點睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查由正態(tài)分布的區(qū)間及對稱性求概率.8.以，為焦點的橢圓與直線有公共點，則滿足條件的橢圓中長軸最短的為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè),與直線方程聯(lián)立可得,由有公共點,則滿足,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,設(shè)橢圓方程為,與直線聯(lián)立可得,令,解得或（舍去）,故的最小值為5,故選:C【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.9.已知某同學(xué)每次射箭射中的概率為，且每次射箭是否射中相互獨立，該同學(xué)射箭3次射中多于1次的概率為0.784，則=（    ）A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8【答案】C【解析】【分析】若該同學(xué)射箭3次射中多于1次,即射中2次或3次,有,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,解得,故選:C【點睛】本題考查獨立重復(fù)事件的概率,考查二項分布的應(yīng)用.10.已知函數(shù)和函數(shù)的圖象分別為曲線，，直線與，分別交于，兩點，為曲線上的點.如果為正三角形，則實數(shù)的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由可求得,由兩曲線可知,即可求得點坐標(biāo),再由正三角形的性質(zhì)可得,進(jìn)而求解.【詳解】由題可知,當(dāng)時,,則,即,由曲線,可得,所以,又為正三角形,所以,所以,解得,故選:B【點睛】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的應(yīng)用,考查對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.11.將一枚骰子拋擲3次，則最大點數(shù)與最小點數(shù)之差為3的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由最大點數(shù)與最小點數(shù)之差為3可得最大點數(shù)與最小點可能為,,,由每次骰子的點數(shù)可能的情況為6種,當(dāng)兩點數(shù)組合為時,第三個數(shù)可取,則對選出的3個數(shù)全排列,再減去重復(fù)的情況,其他兩組同理,進(jìn)而求解.【詳解】由題可知,因為最大點數(shù)與最小點數(shù)之差為3,則最大點數(shù)與最小點可能為,,,則,故選:B【點睛】本題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,考查排列的應(yīng)用,考查分析能力.12.已知函數(shù)，若方程有7個不同的實數(shù)解,則的取值范圍（    ）A. (2,6) B. (6,9) C. (2,12) D. (4,13)【答案】C【解析】【分析】先畫出的圖象,設(shè),由圖象可轉(zhuǎn)化問題為有3個解,有4個解,則分別討論①,；②,；③,,再利用線性規(guī)劃求解.【詳解】由題,當(dāng)時,；當(dāng)時,,當(dāng)時,；當(dāng),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)時,,則；當(dāng)時,,則,畫出的圖象,如圖所示,因為有7個不同的實數(shù)解, 設(shè),則,設(shè)為方程的解,則由圖象可知有3個解,有4個解,①,,將代入方程中可得,與條件矛盾,舍去；②,,設(shè),則,即,則可行域如圖所示,設(shè),即,平移直線,與點相交時截距最小,與點相交時截距最大,因為點,點,所以；③,,則,即,則可行域如圖所示,即為線段,平移直線,與點相交時截距最小,與點相交時截距最大,因為點,點,所以,綜上,,故選:C【點睛】本題考查由零點個數(shù)求參數(shù)范圍,考查利用線性規(guī)劃求范圍,考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)圖象,考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.第Ⅱ卷二、填空題13.已知函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化問題為函數(shù)與在上有兩個交點,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,因為函數(shù)在上有兩個不同的零點,所以設(shè),則函數(shù)與在上有兩個交點,因為,且,則設(shè),,所以,則當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以,故答案為: 【點睛】本題考查由零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,考查利用三角恒等變換化簡,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.14.已知點為圓上任一點，，分別為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍______.【答案】[80,120]【解析】【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點,,由點在圓上可設(shè),求得,,進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題,橢圓的焦點為,,設(shè)點,則,,所以,,因為,所以,故答案為:【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積,考查橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的應(yīng)用.15.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則________.【答案】1或【解析】【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程的答案．【詳解】設(shè)與和的切點分別為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點處的切線方程為，即，曲線在點處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查計算能力，是中檔題．16.已知雙曲線的焦距為，，是實軸頂點，以為直徑的圓與直線在第一象限有兩個不同公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意坐標(biāo)原點到直線的小于，得到不等量關(guān)系，結(jié)合關(guān)系，得出的范圍，再由直線與軸交點在以為直徑的圓外，得到，進(jìn)而求出結(jié)論.【詳解】直線化為，與坐標(biāo)軸交于和,以為直徑的圓是以原點為圓心,半徑為的圓,該圓與直線在第一象限有兩個不同公共點，所以在圓外，得，坐標(biāo)原點到直線距離小于半徑，即,因為,則整理可得， ，解得，又，故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.三?解答題17.在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）若，求的大?。?/span>（2）若邊上的中線的長為，求面積的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由余弦定理表示 代入中,整理可得，利用降冪公式整理可得,然后得,即可求得角；（2）延長線段至,滿足,聯(lián)結(jié),在中,設(shè),,由余弦定理可得,再利用均值不等式可得的最大值,進(jìn)而求解.【詳解】由,根據(jù)余弦定理,所以,即,所以,由,則,（1）因為,所以,即,則,即,則,由,即,則（2）如圖延長線段至,滿足,聯(lián)結(jié),在中,,,,,由余弦定理可得,即,因為,所以,則,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,那么,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,則面積的最大值為2.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查利用均值定理求最值.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，點是與的交點.（1）求二面角的余弦值；（2）若點在線段上且平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中,由可得,由余弦定理可得,則,可得,以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面和平面的法向量,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積求解即可；（2）先求得平面的法向量,由點在線段上得,解得點的坐標(biāo),即可得到,再由求得,代回,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）在中,,因為,所以,在中,,所以等邊三角形,則,所以,即,因為平面,所以分別以直線為軸,軸,軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,則,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,則則,所以二面角的余弦值為（2）設(shè)平面的法向量為,因為且,則,即,令,則,,則,設(shè)且,則,即,則,所以,因為,即,則,所以,因為平面的法向量,則,所以直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查空間向量法求二面角、線面角,考查運(yùn)算能力.19.哈三中總務(wù)處的老師要購買學(xué)校教學(xué)用的粉筆，并且有非常明確的判斷一盒粉筆是“優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”和“非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”的方法.某品牌的粉筆整箱出售，每箱共有20盒，根據(jù)以往的經(jīng)驗，其中會有某些盒的粉筆為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，其余的都為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品.并且每箱含有0，1，2盒非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品粉筆的概率為0.7，0.2和0.1.為了購買該品牌的粉筆，?？倓?wù)主任設(shè)計了一種購買的方案：欲買一箱粉筆,隨機(jī)查看該箱的4盒粉筆，如果沒有非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則購買，否則不購買.設(shè)“買下所查看的一箱粉筆”為事件，“箱中有件非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”為事件.（1）求，，；（2）隨機(jī)查看該品牌粉筆某一箱中的四盒，設(shè)為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的盒數(shù)，求的分布列及期望；（3）若購買100箱該品牌粉筆，如果按照主任所設(shè)計方案購買的粉筆中，箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的箱數(shù)的期望比隨機(jī)購買的箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的箱數(shù)的期望大10，則所設(shè)計的方案有效.討論該方案是否有效.【答案】（1），，（2）見解析，（3）該方案無效.【解析】【分析】（1）表示在“箱中有件非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”的前提下“買下所查看的一箱粉筆”的概率,分別求得結(jié)果數(shù),再由古典概型的概率公式求解即可；（2）由每箱含有0,1,2盒非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品粉筆的概率為0.7,0.2和0.1可得可能的取值為0,1,2,由全概率公式求得概率,列得分布列,進(jìn)而求得期望；（3）由,即為方案中箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品概率；隨機(jī)購買的箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為,進(jìn)而使得期望差與10比較即可判斷.【詳解】解:（1）由已知,,（2）可能的取值為0,1,2,所以,,,所以隨機(jī)變量分布列為:012 所以.（3）由（1）知,,按照設(shè)計方案購買的一箱粉筆中,箱中每盒粉筆都是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為,因為,所以該方案無效.【點睛】本題考查條件概率的應(yīng)用,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查利用期望判斷方案的有效性,考查數(shù)據(jù)分析能力.20.已知函數(shù).（1）討論在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：若，不等式成立.【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點；當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得,轉(zhuǎn)化問題為的變號零點個數(shù),分別討論,,的情況即可；（2）轉(zhuǎn)化問題為在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而求解；（3）由（2）可得恒成立,即,則欲證,只需證,設(shè),進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值大于等于0即可.【詳解】（1）解:由題,設(shè),令,即方程,,當(dāng)時,,則,此時沒有極值點；當(dāng)時,,設(shè)方程兩根為,,不妨設(shè),則,,則,當(dāng)或時,；當(dāng)時,,此時,是函數(shù)的兩個極值點,當(dāng)時,,設(shè)方程兩根為,,則,,所以,,所以當(dāng)時,,故沒有極值點,綜上,當(dāng)時,函數(shù)有兩個極值點；當(dāng)時,函數(shù)沒有極值點.（2）解:由題,在上恒成立,則在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則,因為,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減；當(dāng),,則單調(diào)遞增；所以,所以（3）證明:由（2）知,所以恒成立,即,欲證,只需證,設(shè),則,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減；當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,所以,即,所以當(dāng)時,不等式成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論極值點的個數(shù),考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)恒成立問題,考查利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式,考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.21.過軸正半軸上一點做直線與拋物線交于，，兩點，且滿足，過定點與點做直線與拋物線交于另一點，過點與點做直線與拋物線交于另一點.設(shè)三角形的面積為，三角形的面積為.（1）求正實數(shù)的取值范圍；（2）連接，兩點，設(shè)直線的斜率為；（?。┊?dāng)時，直線在軸的縱截距范圍為，則求的取值范圍；（ⅱ）當(dāng)實數(shù)在（1）取到的范圍內(nèi)取值時，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（?。?/span>（ⅱ）【解析】【分析】（1）設(shè)過點的直線為,與拋物線聯(lián)立可得,利用韋達(dá)定理可得,則可得,代入中,進(jìn)而由求解即可；（2）（?。┰O(shè)過點的直線為,過點的直線,分別與拋物線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和直線的斜率公式可得,根據(jù)直線在軸的縱截距范圍為,即可求得的范圍,進(jìn)而得到,即的范圍；（ⅱ）由,根據(jù)（1）和（?。┣蠼饧纯?【詳解】（1）設(shè)過點的直線為,聯(lián)立可得,且,設(shè),,所以,則,因為,所以,解得（2）由題,設(shè),,,,（?。┰O(shè)過點的直線為,過點的直線,聯(lián)立可得,聯(lián)立可得,所以,所以,因為直線在軸的縱截距范圍為,設(shè)截距為,因為,則,所以,則（ⅱ）,,由（1）可知,由（ⅰ）可知,因為,所以【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線中的三角形問題,考查韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.請考生在第22、23、二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程以及直線的普通方程；（2）若點，直線與曲線交于，兩點，弦的中點為，求的值.【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）由消參可得曲線的普通方程,再利用轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；消參即可得到直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中可得,利用韋達(dá)定理可得,,由,代入求解即可.【詳解】（1）由題,因為（為參數(shù)）,則（為參數(shù)），所以,即,因為,所以；因為（為參數(shù)）,所以（為參數(shù)）,則.（2）將（為參數(shù)）代入中可得,設(shè)方程的兩根為，所以，，因為為的中點，所以【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.23.設(shè)函數(shù).（1）求的解集；（2）若，使恒成立的的最大值為.正數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（1）或（2）1【解析】【分析】（1）分別求得當(dāng),,時不等式的解集,并求并集即可；（2）由可得,即,進(jìn)而利用均值不等式求解即可.【詳解】解:（1）因為當(dāng)時,不等式,即,解得；當(dāng)時,不等式,即,解集為；當(dāng)時,不等式,即,解得,綜上,或（2）因為,所以的最大值為4,即,則,所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等號成立,所以的最小值為1.【點睛】本題考查分類討論法解絕對值不等式,考查絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查利用均值不等式求最值.  

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