2021屆寧夏青銅峽市高級中學高三上學期第二次月考數(shù)學（理）試題  一、單選題1．設集合，，則)（    ）A．{－1} B．{0，1，2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}【答案】B【解析】解出集合，進而求出，即可得到.【詳解】或.，故.故選：B【點睛】本題考查集合的綜合運算，屬基礎題.2．已知m＝log40.4，n＝40.4，p＝0.40.5，則（   ）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜n＜m D．n＜p＜m【答案】B【解析】根據(jù)比較.【詳解】因為，所以m＜p＜n．故選：B．【點睛】本題主要考查實數(shù)比較大小，注意對數(shù)，指數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎題.3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】將條件分子分母同除以，可得關于的式子，代入計算即可．【詳解】解：由已知．故選：B．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，針對正弦余弦的齊次式，轉化為正切是常用的方法，是基礎題．4．已知命題P：若命題P是假命題，則a的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】命題P是假命題，其否定為真命題:為真命題，轉化成不等式恒成立求參數(shù)范圍，即可求解.【詳解】由題：命題P是假命題，其否定:為真命題，即，解得.故選：B【點睛】此題考查特稱命題和全稱命題的否定和真假性判斷，當一個命題為假，則其否定為真，在解題中若發(fā)現(xiàn)正面解決問題比較繁瑣，可以考慮通過解該命題的否定進而求解.5．函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】化簡函數(shù)，得出函數(shù)為奇函數(shù)，在結合，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除B、D，又由，排除C，故選：A.【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的解析式識別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義，以及三角函數(shù)的性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域.7．已知奇函數(shù)滿足，當時，，則（    ）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，得函數(shù)的周期為，將，代入可得選項．【詳解】由已知得，所以函數(shù)的周期為，所以，又時，，則，所以，故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，以及求函數(shù)值，屬于中檔題．8．設函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】結合函數(shù)的表達式，可知是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，從而不等式等價于，即，求解即可.【詳解】當時，函數(shù)為增函數(shù)，且，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.函數(shù)的定義域為，，所以是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.因為，所以，則，整理得，解得或.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應用，考查學生的推理能力與計算能力，屬于中檔題.9．有關數(shù)據(jù)顯示，中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在年約為萬噸，年的年增長率為，有專家預測，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長率增長，從（    ）年開始，快遞業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸.（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示從年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得，解出滿足該不等式的最小正整數(shù)的值，即可得出結果.【詳解】設快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為萬噸，表示從年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得，由于第年快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸，即，，兩邊取對數(shù)得，即，因此，從年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸，故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型在實際生活中的應用，列出不等式是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．10．已知函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則由每一段都是增函數(shù)，且左側函數(shù)值不大于右側函數(shù)值求解.【詳解】因為函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以解得.故選：B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于基礎題.11．已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．（2，3） B．（2，3] C．[2，3） D．[2，3]【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)有三個零點，轉化為函數(shù)的圖象與直線有三個交點，在同一坐標系中，作出直線及函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合求解.【詳解】因為函數(shù)有三個零點，所以有三個不相同的實數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線有三個交點.作出直線及函數(shù)的圖象如圖所示所以，即，解得所以.故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，還考查了數(shù)形結合的思想和轉化求解問題的能力，屬于中檔題.12．已知是函數(shù)的導函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，由導數(shù)的運算法則得出，從而得出，再由得出的值，從而得出的解析式，最后解一元二次不等式即可得出答案.【詳解】解：令，則可設，，∴，所以即解不等式，所以，解得所以不等式的解集為.故選：B【點睛】本題主要考查了導數(shù)運算法則的應用以及一元二次不等式的解法，屬于中檔題.  二、填空題13．曲線在點（1，2）處的切線方程為______________．【答案】【解析】利用導數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.【詳解】依題意，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本小題主要考查切線方程的求法，屬于基礎題.14．計算：=_____________【答案】4【解析】先將根式化成分數(shù)指數(shù)冪，對數(shù)，然后用冪的運算法則和對數(shù)的性質(zhì)化簡即可.【詳解】解： .【點睛】本題考查了分數(shù)指數(shù)冪與根式的互換，分數(shù)指數(shù)冪的運算，對數(shù)的運算與性質(zhì)，屬于基礎題.15．分別是關于的方程和的根，則________.【答案】5【解析】根據(jù)題意得出是函數(shù)與與交點的橫坐標，結合與的圖像關于軸對稱，即可求出結果．【詳解】 分別是方程和的根，即分別是方程和的根， 是函數(shù)與與，交點的橫坐標，與的圖像關于軸對稱，與的交點與與交點關于對稱，由得， ，即故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關系，反函數(shù)圖象間的關系，數(shù)形結合的思想，屬于難題.16．給出下列四個命題：①正切函數(shù) 在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②若函數(shù)，則對任意的實數(shù)都有；③函數(shù)的最小正周期是；④與的圖象相同.以上四個命題中正確的有_________（填寫所有正確命題的序號）【答案】②③④【解析】①利用反例證明命題錯誤；②先判斷為其中一條對稱軸；③通過恒等變換化成；④對兩個解析式進行變形，得到定義域和對應關系均一樣.【詳解】對①，當，顯然，但，所以，不符合增函數(shù)的定義，故①錯；對②，當時，，所以為的一條對稱軸，當取，取時，顯然兩個數(shù)關于直線對稱，所以，即成立，故②對；對③，，，故③對；對④，因為，，兩個函數(shù)的定義域都是，解析式均為，所以函數(shù)圖象相同，故④對.綜上所述，故填：②③④.【點睛】本題對三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、周期性等知識進行綜合考查，求解過程中要注意數(shù)形結合思想的應用. 三、解答題17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1) , (2) 【解析】（1）先對函數(shù)化簡為，然后利用正弦函數(shù)的取值范圍可求出的值域；（2）由解出的范圍就是所要求的遞增區(qū)間.【詳解】解：（1）因為，所以所以的值域為；（2）由，得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為【點睛】此題考查三角函數(shù)的恒等變換公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.18．已知函數(shù)，且.（1）求的值，并指出函數(shù)在上的單調(diào)性（只需寫出結論即可）；（2）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2，在上為增函數(shù)；（2）證明見解析；（3）（，1）.【解析】（1）由，代入解析式，解方程求出的值，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.（2）利用函數(shù)的奇偶性定義即可判斷.（3）利用函數(shù)為奇函數(shù)，將不等式轉化為，再利用函數(shù)為增函數(shù)可得，解不等式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，即，因為，所以.函數(shù)在上為增函數(shù).（2）由（1）知定義域為.對任意，都有.所以函數(shù)是奇函數(shù)，（3）不等式等價于，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即.解得.所以實數(shù)的取值范圍為（，1）.【點睛】本題考查了利用定義判斷函數(shù)的奇偶性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.19．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）[，+∞）【解析】（1）求出a=2的函數(shù)f（x）的導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間；（2）求出f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到不等式組，即可解得a的范圍．【詳解】（1）a=2時，f（x）=（﹣x2+2x）?ex的導數(shù)為f′（x）=ex（2﹣x2），由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．即有函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，﹣），（，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（﹣，）．（2）函數(shù)f（x）=（﹣x2+ax）?ex的導數(shù)為f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，由函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，則有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，則有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，解得a≥．則有a的取值范圍為[，+∞）．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用，同時考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和判斷單調(diào)性，屬于中檔題和易錯題．20．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用正弦的和角公式轉化，然后解方程即可求得；（2）利用正弦定理，得到關于的函數(shù)，再求該函數(shù)的值域，結合面積公式即可求得.【詳解】（1）由正弦定理有，又由，代入上式得，，由，有，上式可化為：，得，由，有，故有，故；（2）由（1）知，，由正弦定理有，由為銳角三角形，有，得，有，可得，故面積的取值范圍為.【點睛】本題考查利用正弦定理將邊化角，以及利用正弦定理求解三角形面積的范圍，涉及正弦的和角公式，屬解三角形中的經(jīng)典重點題型.21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2) 【解析】（1）將函數(shù)求導后，對分成兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）結合（1）的結論，當時函數(shù)在定義域上遞減，至多只有一個零點，不符合題意.當時，利用函數(shù)的最小值小于零，求得的取值范圍，并驗證此時函數(shù)有兩個零點，由此求得點的取值范圍.【詳解】（1） 若，，在上單調(diào)遞減； 若，當時，，即在上單調(diào)遞減， 當時，，即在上單調(diào)遞增. （2）若，在上單調(diào)遞減，至多一個零點，不符合題意. 若，由（1）可知，的最小值為 令，，所以在上單調(diào)遞增，又，當時，，至多一個零點，不符合題意，當時，又因為，結合單調(diào)性可知在有一個零點令，，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，的最小值為，所以當時， 結合單調(diào)性可知在有一個零點綜上所述，若有兩個零點，的范圍是【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)求解有關零點個數(shù)的問題，考查分類討論的思想方法，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題.在求解有關利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題中，導函數(shù)往往含有參數(shù)，此時就要對參數(shù)進行分類討論.函數(shù)零點個數(shù)問題，往往轉化為函數(shù)最值來解決.22．在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求△AOB的面積．【答案】(1)(2)12【解析】試題分析：（1）利用消元，將參數(shù)方程和極坐標方程化為普通方程；
（2）利用弦長公式求|AB|的長度，利用點到直線的距離公式求AB上的高，然后求三角形面積試題解析：(1)由曲線C的極坐標方程得,所以曲線C的直角坐標方程是.由直線l的參數(shù)方程，得，代入中，消去t得，所以直線l的普通方程為. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得，設A，B兩點對應的參數(shù)分別為.則＝8，＝7，所以|AB|＝||＝×＝6，因為原點到直線x－y－4＝0的距離d＝＝2，所以△AOB的面積是|AB|·d＝×6×2＝12點睛：(1)過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為 (t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數(shù)量，即t＝|PP0|時為距離．使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數(shù)為 (t1＋t2)．23．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用零點分段法去絕對值，由此求得不等式的解集.（2）將不等式的解集為，轉化為對一切實數(shù)恒成立，利用絕對值三角不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）即為．當時，不等式可化為，化簡得，解得，故；當時，不等式可化為，化簡得，解得，故；當時，不等式可化為，化簡得，解得，故，綜上，不等式的解集是．（2）不等式即為，得，則問題“不等式的解集為”轉化為“不等式對一切實數(shù)恒成立”．由絕對值三角不等式，得，則由題意，得，得，解得，所以若不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題. 

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