期末模擬試卷01——2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末知識(shí)點(diǎn)精講+訓(xùn)練學(xué)案+期末模擬卷（蘇教版2019必修第二冊(cè)）

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期末模擬試卷1命題范圍：第二冊(cè)  平面向量—概率 第I卷 選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，和共軛復(fù)數(shù)的概念求得，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)論．【詳解】由題意，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A．2．在中，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，由正弦定理，即，解得.故選：B3．已知某圓錐的高為，體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓錐的體積和高，得到底面半徑，勾股定理得母線長(zhǎng)，由圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算結(jié)果.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)分別為，，由，得，所以，從而該圓錐的側(cè)面積．故選：B4． “哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)（也稱為素?cái)?shù)，是一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身之外，不能被其它自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)）之和，也就是我們所謂的“”問(wèn)題．它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤(rùn)等曾在哥德巴赫猜想的證明中做出過(guò)相當(dāng)好的成績(jī)．若將6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法求解，先列出把6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和的所有情況，再找出兩個(gè)加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和的所有情況有：，3種情況，其中兩個(gè)加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有，1種情況，所以所求概率為,故選：A5．已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，那么是（    ）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】將化簡(jiǎn)并結(jié)合余弦定理可得的值，再對(duì)結(jié)合正、余弦定理化簡(jiǎn)可得邊長(zhǎng)關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.【詳解】由，得，整理得，則，因?yàn)?/span>，所以，又由及正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，所以為等邊三角形，故選：B6．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了10位同學(xué)一周的課外體育運(yùn)動(dòng)總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)分別為6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，則以下數(shù)字特征中數(shù)值最大的為（    ）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．眾數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)的定義求出答案，判斷ABC選項(xiàng)，利用方差的概念得到方差小于，從而選出正確答案.【詳解】經(jīng)計(jì)算，這10位同學(xué)一周課外體育運(yùn)動(dòng)總時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為，8.3出現(xiàn)了兩次，其他數(shù)均出現(xiàn)了一次，故眾數(shù)為8.3，從小到大排列，選擇第5和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，故中位數(shù)為，由于平均數(shù)為8，而最小數(shù)為6.3，與平均數(shù)相差為1.7，最大數(shù)為8.8，與平均數(shù)相差為1.8，故方差小于，故最大值為8.3，為眾數(shù).故選：D.7．在中，，點(diǎn)在線段上(不與,點(diǎn)重合)，，則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，得到，設(shè)，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，列出方程組，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，因?yàn)?/span>，可得，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，設(shè)，可得，又因?yàn)?/span>，可得，解得.故選：C.8．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過(guò)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，考慮證明當(dāng)時(shí)，，并利用三角函數(shù)線完成證明，由此確定的大小.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，，在平面直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的正半軸為始邊作角，，設(shè)角和單位圓的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作垂直與軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線與的終邊交于點(diǎn), 則，，設(shè)劣弧的弧長(zhǎng)為，則，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，，又，，所以，，所以，故，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10個(gè)用戶的滿意度評(píng)分，評(píng)分用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下: 7，8，9，7，5，4，10，9，4，7.則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7 B．這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8C．這組數(shù)據(jù)的極差為6 D．這組數(shù)據(jù)的方差為40【答案】AC【分析】把這組數(shù)從小到大排列后，再根據(jù)相關(guān)數(shù)字特征的定義求出眾數(shù)、百分位數(shù)、極差和方差.【詳解】對(duì)A，這組數(shù)從小到大排列為4,4,5,7,7,7,8,9,9,10.這組數(shù)的眾數(shù)為7，A正確；對(duì)B，因?yàn)?/span>10×75%=7.5，且第8個(gè)數(shù)為9，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9，B錯(cuò)誤；對(duì)C，這組數(shù)據(jù)的極差為10-4=6，C正確；對(duì)D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列結(jié)論中正確的是（    ）A．該試驗(yàn)樣本空間共有個(gè)樣本點(diǎn) B．C．與為互斥事件 D．與為相互獨(dú)立事件【答案】ABD【分析】由題可得樣本空間及事件樣本點(diǎn)，結(jié)合互斥事件，獨(dú)立事件的概念及古典概型概率公式逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A：試驗(yàn)的樣本空間為：正，正，正，反，反，正，反，反，共個(gè)樣本點(diǎn)，故A正確對(duì)于B：由題可知正，正，正，反，正，反，反，反，顯然事件，事件都含有“正，反這一結(jié)果，故，故B正確；對(duì)于C：事件，事件能同時(shí)發(fā)生，因此事件不互斥，故C不正確；對(duì)于D：，，，所以，故D正確．故選：ABD.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則結(jié)合和差公式計(jì)算得到ACD正確，舉反例得到B錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，，正確；對(duì)選項(xiàng)B：取，，則，，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，，正確.故選：ACD12．已知棱長(zhǎng)為1的正方體，以為圓心，為半徑作圓弧為圓弧的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），則下列命題正確的是（    ）A．B．四棱錐的表面積為C．三棱錐的外接球的體積為D．若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABD【分析】過(guò)作，連接，根據(jù)條件求出、，進(jìn)而可以判斷A正確；分別求出四棱錐五個(gè)面的面積即可判斷B正確；根據(jù)條件找到球心，根據(jù)幾何關(guān)系求出球的半徑，即可判斷C錯(cuò)誤；如圖所示將平面沿著展開(kāi)，即可判斷D正確.【詳解】如圖所示，過(guò)作，連接，因?yàn)?/span>為圓弧的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），所以，則，，由題意可得平面，在中，，，則，故A正確；由題意可得，，則，,,，在中，因?yàn)?/span>，，，，四棱錐的表面積為；故B正確；取中點(diǎn)，的重心，因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，所以其外接圓圓心為，因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以其外接圓圓心為，過(guò)作平面的垂線，過(guò)作平面的垂線，、交于點(diǎn)，則為三棱錐的外接球的球心，則，，所以，即外接球的半徑，三棱錐的外接球的體積為，故C錯(cuò)誤；如圖所示將平面沿著展開(kāi)，連接，交于點(diǎn)，則根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最短可知此時(shí)最小，最小值為，故D正確.故選：ABD.第II卷 非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知，則_____________，_____________．【答案】     /；     【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可求出；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的公式可求出的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以；所以，所以.故答案為：；.14．已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A與B互斥，令；如果A與B相互獨(dú)立，令，則___________.【答案】0.4/【分析】利用互斥事件的概念及獨(dú)立事件概率公式即得.【詳解】∵A與B互斥，∴,∵A與B相互獨(dú)立，∴，∴.故答案為：.15．設(shè)，若，則______.【答案】【分析】首先求出，再由二倍角公式求出，，最后由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以，，所以.故答案為：16．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱上的定點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積最小值為______．【答案】【分析】利用等體積法、圖形的幾何性質(zhì)以及三棱錐的體積公式進(jìn)行求解.【詳解】在正方體中，因?yàn)?/span>底面，平面，所以， 因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，，所以，在中，由勾股定理有：， 所以，因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)與重合時(shí)，到平面的距離最小，如圖，在上取，使，則，，，故三棱錐的體積最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知向量，，．(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)x，y滿足的關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，判斷是否為鈍角，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不可能是鈍角，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用向量共線充要條件即可求得實(shí)數(shù)x，y滿足的關(guān)系；（2）利用向量夾角公式求得，進(jìn)而得到不可能是鈍角.【詳解】（1）因?yàn)?/span>A，B，C三點(diǎn)共線，所以，又，，所以，即．則實(shí)數(shù)x，y滿足的關(guān)系為.（2）不是鈍角，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，則，又，故不可能是鈍角．18．中華人民共和國(guó)第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)?全國(guó)第十一屆殘運(yùn)會(huì)暨第八屆特奧會(huì)于2021年在中國(guó)陜西舉行，為宣傳全運(yùn)會(huì)?特奧會(huì)，讓更多的人了解體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和體育精神，某大學(xué)舉辦了全運(yùn)會(huì)?特奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這100人中成績(jī)低于60分的人數(shù)，并估計(jì)這100人的平均成績(jī)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)若先采用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人去社區(qū)開(kāi)展全運(yùn)會(huì)?特奧會(huì)宜傳活動(dòng)，求做宣傳的這2名學(xué)生中，其中1人成績(jī)?cè)?/span>，另外1人成績(jī)?cè)?/span>的概率.【答案】(1)18人；(2)【分析】（1）利用頻數(shù)的計(jì)算公式以及平均數(shù)的計(jì)算公式求解.（2）利用頻數(shù)的計(jì)算公式、分層抽樣的特點(diǎn)以及古典概型進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)知，成績(jī)低于60分的人數(shù)為平均成績(jī)．（2）因?yàn)槌煽?jī)?cè)?/span>的學(xué)生人數(shù)所占比例為，所以從成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中應(yīng)分別抽取4人，2人．記抽取成績(jī)?cè)?/span>的4人為，抽取成績(jī)?cè)?/span>的2人為．從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能為，，共15種，其中1人成績(jī)?cè)?/span>，另1人成績(jī)?cè)?/span>的有，共有8種，所以其中1人成績(jī)?cè)?/span>，另外1人成績(jī)?cè)?/span>的概率為．19．如圖，在直三棱柱中，.  (1)求證：；(2)求與平面所成的角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和各棱長(zhǎng)可知，連接，利用線面垂直的判定定理可得平面，易知四邊形為菱形，可得平面，由線面垂直的性質(zhì)即可得；（2）取的中點(diǎn)，連接，可證明是與平面所成角的平面角，在中，易知，，即與平面所成的角的大小為.【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，如下圖所示  在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四邊形為菱形，即又，且平面，平面，又平面，.（2）取的中點(diǎn)，連接.如下圖所示；  ，又平面平面，又，且平面，平面，是在面內(nèi)的射影，是與平面所成角的平面角.在中，易知，，即與平面所成的角的大小為.20．如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)南偏東的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)正西方向且與B點(diǎn)相距100海里的D處的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為80海里/時(shí).(1)求B，C兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營(yíng)救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】(1)60海里(2)方向是南偏東，需要的時(shí)間為小時(shí).【分析】（1）求得度數(shù)，根據(jù)正弦定理即可求得答案；（2）確定的度數(shù)，由余弦定理即可求得的長(zhǎng)，即可求得救援時(shí)間，利用余弦定理求出的值，即可求得應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行.【詳解】（1）依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點(diǎn)間的距離為60海里.（2）依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達(dá)C處需要的時(shí)間為小時(shí)，在中，由余弦定理得 ,因?yàn)?/span>，所以，所以該救援船前往營(yíng)救漁船時(shí)的方向是南偏東﹒21．已知在銳角△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量，，且.(1)求B；(2)若，求△ABC的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表示與正弦定理的邊角變化，結(jié)合正弦函數(shù)的和差公式即可得解；（2）利用正弦定理得到，，從而利用三角形面積公式與輔助角公式得到，由此結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，所以，由正弦定理可得，即.因?yàn)?/span>，則，所以，又，即，所以，又，所以.（2）因?yàn)?/span>，，所以，故，，所以△ABC的面積，因?yàn)?/span>△ABC為銳角三角形且，所以，解得，所以，則，從而，即△ABC的面積的取值范圍為.22．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，且，，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，平面MAC．(1)判斷M點(diǎn)在PB的位置并說(shuō)明理由；(2)記直線DM與平面PAC的交點(diǎn)為K，求的值；(3)若異面直線CM與PA所成角的余弦值為，求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)M為PB上靠近B的三等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接BD交AC于O，由平面MAC，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得答案；（2）連接OP，則，由可求得結(jié)果；（3）取AD中點(diǎn)H，過(guò)M作，可知，取AB靠近A的三等分點(diǎn)N，可知，所以或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由條件證得平面ABCD，平面ABCD，令，計(jì)算，，，，利用余弦定理，由得，解得，過(guò)G作交CD于Q，由平面MGQ得，所以就是所求二面角的平面角，求解即可.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接OM，因?yàn)?/span>平面MAC，平面PBD，平面平面，則．因?yàn)?/span>，所以，則O為BD靠近B的三等分點(diǎn)，所以M為PB上靠近B的三等分點(diǎn)．（2）如圖，連接OP，則，因?yàn)?/span>，則．（3）取AD中點(diǎn)H，連接PH，HB，過(guò)M作，可知．取AB靠近B的三等分點(diǎn)N，連接MN，NC，可知，所以或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，如圖．因?yàn)槠矫?/span>平面ABCD，平面平面ABCD，，平面，所以平面ABCD，因此平面ABCD．令，，計(jì)算得：，，，，，所以，，即，解得．過(guò)G作交CD于Q，連接MQ．平面ABCD，平面ABCD, ,，平面MGQ，平面MGQ，平面MGQ，，所以就是所求二面角的平面角，所以，．