? 專題03 平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型
專題說明


學(xué)習(xí)前面兩次課的平行線模型做題方法，相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課學(xué)習(xí)平行線最后兩個模型：平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型，為以后的學(xué)習(xí)打好一個堅實的基礎(chǔ)。

【模型刨析】
模型三“抬頭”模型

點P在EF右側(cè)，在AB、 CD外部

“臭腳”模型
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.

模型四“骨折”模型

點P在EF左側(cè)，在AB、 CD外部

“骨折”模型
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.





【典例分析】
【類型一：“骨折”模型】
【典例1】（2022春?銅仁市期末）2022北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，學(xué)會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．





【變式1-1】（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，則∠α＝（　?。?br />
A．70° B．75° C．80° D．85°
【變式1-2】（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥EF，∠C＝90°，則α、β與γ的關(guān)系是　 ?。?br />
【變式1-3】（2022春?牟平區(qū)期中）已知：如圖，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，試判斷∠E與∠F的大小關(guān)系，并說明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．




【類型二：“抬頭”模型】
【典例2】（2022春?江津區(qū)期末）已知AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接CP、AP．
（1）如圖1，當(dāng)∠PCD＝40°，∠PAB＝86°時，求∠P；
（2）如圖2，在第（1）的條件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如圖3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，請直接寫出∠PCQ與∠PAB的數(shù)量關(guān)系．









【變式2-1】（2020春?乳山市期中）【信息閱讀】
材料信息：
如圖①，AB∥DE，點C是直線AB，DE外任意一點，連接BC，DC．
方法信息：
如圖②，在“材料信息”的條件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度數(shù)．
解：過點C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【問題解決】
（1）通過【信息閱讀】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之間有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論：　 ；
（2）如圖③，在“材料信息”的條件下，改變點C的位置，∠B，∠D，∠BCD之間的等量關(guān)系是否改變？若不改變，請寫出理由；若改變，請寫出新的等量關(guān)系及理由．






【變式2-2】（2022?南京模擬）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；
（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．




【變式2-3】（2022春?新?lián)釁^(qū)期末）（1）問題：如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度數(shù)；
（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線EG和∠PFC的平分線FG交于點G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)，直接寫出結(jié)果．




【夯實基礎(chǔ)】
1．（2022秋?青島期末）如圖，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．40° C．60° D．80°
2．（2022秋?東莞市校級期中）如圖，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E為（　　）

A．30° B．40° C．35° D．70°
3．（2022春?林州市期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（　?。?br />
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
4．（2022春?興平市期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA，PD．
（1）如圖①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度數(shù)；
（2）如圖②，點P在AB上方，則∠A，∠D，∠APD之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．



5．（2021春?青浦區(qū)期中）已知，直線AB∥CD
（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．


6．（2022春?榆次區(qū)期中）綜合與實踐
【問題情境】
在一次綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以平行線為主題，進行相關(guān)問題的探究，進一步感受平行線在尋找角之間的關(guān)系的作用，以下是智慧小組的活動過程，請你加入他們小組一起完成探究．

【初步探究】
（1）如圖1，AB∥CD∥EF，當(dāng)∠1＝60°，∠3＝140°時，試求∠2的大小；
【深入探究】
（2）經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，圖1中的∠1，∠2，∠3之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，下列選項中能正確表示這種關(guān)系的是 　 ?。?br /> A．∠1+∠2＝∠3
B．∠3+∠2﹣∠1＝90°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180°
D．∠3+∠2＝2∠1
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖2，一條公路經(jīng)過三次拐彎后又回到原來的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，則第二次的拐角∠2＝　 ?。?br />




7．（2022春?江岸區(qū)校級月考）已知AB∥MN．
（1）如圖1，求證：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F為直線MN、AB之間的一點，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于點G，EF交MN于點C．
①如圖2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度數(shù)；
②如圖3，若點K在射線BG上，且滿足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接寫出∠E的度數(shù)．




【能力提升】
8．（2022春?濰坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分線交DC于點E，∠ADC＝90°．

（1）如圖1，試說明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如圖2，點F在BE的反向延長線上，連接DF交AB于點G，若∠EBC﹣∠F＝45°，試說明：DF平分∠ADC；
（3）如圖3，在線段BE上有一點P，滿足∠BCP＝3∠PCE，過點D作DM∥BE，交AB于點M．若在直線BE上取一點H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．















9．（2022春?鳳泉區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．
（1）當(dāng)∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時：
①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為 　 ??；
②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；
（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當(dāng)∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．












專題03 平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型
專題說明


學(xué)習(xí)前面兩次課的平行線模型做題方法，相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧，本次課學(xué)習(xí)平行線最后兩個模型：平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型，為以后的學(xué)習(xí)打好一個堅實的基礎(chǔ)。

【模型刨析】
模型三“抬頭”模型

點P在EF右側(cè)，在AB、 CD外部

“臭腳”模型
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.

模型四“骨折”模型

點P在EF左側(cè)，在AB、 CD外部

“骨折”模型
結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.





【典例分析】
【類型一：“骨折”模型】
【典例1】（2022春?銅仁市期末）2022北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，學(xué)會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．

【解答】解：方法一：延長AB交直線DE于點G，

∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：過點B作BM∥AF，過點C作CN∥ED，

∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度數(shù)為60°．

【變式1-1】（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，則∠α＝（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【解答】解：如圖，作EF∥AB，

∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝55°+30°＝85°．
故選：D．
【變式1-2】（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥EF，∠C＝90°，則α、β與γ的關(guān)系是　 ?。?br />
【答案】α+β﹣γ＝90°
【解答】解：過點C作CM∥AB，過點D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故答案為：α+β﹣γ＝90°．

【變式1-3】（2022春?牟平區(qū)期中）已知：如圖，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，試判斷∠E與∠F的大小關(guān)系，并說明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF，
∴∠E＝∠F；
（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：
如圖，延長BE交DC的延長線于點M，

在四邊形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，
∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，
∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EMC，
∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2
【類型二：“抬頭”模型】
【典例2】（2022春?江津區(qū)期末）已知AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接CP、AP．
（1）如圖1，當(dāng)∠PCD＝40°，∠PAB＝86°時，求∠P；
（2）如圖2，在第（1）的條件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如圖3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，請直接寫出∠PCQ與∠PAB的數(shù)量關(guān)系．


【解答】解：（1）如圖：設(shè)CD與AP相交于點E，

∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A，
∵∠1是△CEP的一個外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∴∠A＝∠C+∠P，
∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，
∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，
∴∠P的度數(shù)為46°；
（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，
由（1）得：
∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，
∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
＝∠PAB﹣∠PCD，
＝（∠PAB﹣∠PCD）
＝∠P
＝×46°
＝23°，
∴∠AQC的度數(shù)為23°；
（3）∵CP∥AQ，
∴∠PCQ＝∠AQC，
∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，
由（2）得：
∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，
∴2∠PCQ＝∠PAB，
∴∠PCQ＝∠PAB．

【變式2-1】（2020春?乳山市期中）【信息閱讀】
材料信息：
如圖①，AB∥DE，點C是直線AB，DE外任意一點，連接BC，DC．
方法信息：
如圖②，在“材料信息”的條件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度數(shù)．
解：過點C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【問題解決】
（1）通過【信息閱讀】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之間有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論：　 ；
（2）如圖③，在“材料信息”的條件下，改變點C的位置，∠B，∠D，∠BCD之間的等量關(guān)系是否改變？若不改變，請寫出理由；若改變，請寫出新的等量關(guān)系及理由．

【解答】解（1）過C作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴AB∥CF，
∴∠B＝∠BCF，
∠D＝∠DCF，
∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，
∴∠BCD＝∠B﹣∠D，
故答案為：∠BCD＝∠B﹣∠D．


（2）過點C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D，
∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，
∴∠BCD＝∠D﹣∠B．

【變式2-2】（2022?南京模擬）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；
（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．

【解答】解：（1）如圖1，過點P作PM∥AB，

∴∠1＝∠AEP＝40°．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一條直線的兩直線平行）
∴∠2+∠PFD＝180°． （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如圖2，過P點作PN∥AB，則PN∥CD，

∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如圖，過點G作AB的平行線GH．

∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，
∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，
由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝
【變式2-3】（2022春?新?lián)釁^(qū)期末）（1）問題：如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度數(shù)；
（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線EG和∠PFC的平分線FG交于點G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)，直接寫出結(jié)果．


【解答】解：（1）如圖，過點P作PM∥AB，

∵AB∥CD，PM∥AB，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠AEP＝20°，∠2＝∠PFC＝61°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝20°+61°＝81°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由如下：
如圖2，過P點作PN∥AB，則PN∥CD，

∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）如圖，過點G作AB的平行線GH，

∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠PEA，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠PEA，
∵∠EPF＝α，
∴∠HGF＝（∠EPF+∠PEA）＝（α+∠PEA），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠PEA）﹣∠PEA＝α．
【夯實基礎(chǔ)】
1．（2022秋?青島期末）如圖，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延長DE交BC于M，如圖：

∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故選：B．
2．（2022秋?東莞市校級期中）如圖，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E為（　?。?br />
A．30° B．40° C．35° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠E+∠C，∠C＝40°，
∴∠E＝30°．
故選：A．

3．（2022春?林州市期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（　　）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延長DC交AB與G，延長CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故選：C．


4．（2022春?興平市期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA，PD．
（1）如圖①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度數(shù)；
（2）如圖②，點P在AB上方，則∠A，∠D，∠APD之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．


【解答】解：（1）過點P作PE∥AB．
∴∠A＝∠APE＝50°．
∵AB∥CD，
∴PE∥CD．
∴∠EPD+∠CDP＝180°．
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝30°．
∴∠APD＝∠APE+∠EPD
＝50°+30°
＝80°．
（2）∠A，∠D，∠APD之?dāng)?shù)量關(guān)系：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．
理由：延長BA交PD于點E．
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED+∠PEB＝180°，
∴∠PEB＝180°﹣∠D．
∴∠BAP＝∠P+∠BEP
＝∠P+180°﹣∠D．
即：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．


5．（2021春?青浦區(qū)期中）已知，直線AB∥CD
（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．

【解答】（1）過點G作GE∥AB，

因為AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），
因為∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因為AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的傳遞性），
所以∠C+∠CGE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
因為∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）過點G作GF∥AB，

因為AB∥GF，
所以∠A＝AGF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
因為AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的傳遞性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因為∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如圖所示，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GQ∥CD，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的傳遞性），
∴∠BAE＝∠AEM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∠MEF＝∠EFN（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∠NFG＝∠FGQ（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∠QGC＝∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．
6．（2022春?榆次區(qū)期中）綜合與實踐
【問題情境】
在一次綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以平行線為主題，進行相關(guān)問題的探究，進一步感受平行線在尋找角之間的關(guān)系的作用，以下是智慧小組的活動過程，請你加入他們小組一起完成探究．

【初步探究】
（1）如圖1，AB∥CD∥EF，當(dāng)∠1＝60°，∠3＝140°時，試求∠2的大小；
【深入探究】
（2）經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，圖1中的∠1，∠2，∠3之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，下列選項中能正確表示這種關(guān)系的是 　 ?。?br /> A．∠1+∠2＝∠3
B．∠3+∠2﹣∠1＝90°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180°
D．∠3+∠2＝2∠1
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖2，一條公路經(jīng)過三次拐彎后又回到原來的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，則第二次的拐角∠2＝　 ?。?br /> 【解答】

解：（1）如圖1，延長DC交OB于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BGD，
∵∠BGD＝∠2+∠OCG，
∴∠1＝∠2+∠OCG，
∵∠OCG＝180°﹣∠3，
∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，
∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，
∵∠1＝60°，∠3＝140°，
∴∠2＝20°
（2）如圖1，延長DC交OB于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BGD，
∵∠BGD＝∠2+∠OCG，
∴∠1＝∠2+∠OCG，
∵∠OCG＝180°﹣∠3，
∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，
∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，
故選：C．
（3）如圖2，延長DC交AB于F，
∵DE∥AB，
∴∠3+∠CFB＝180°，
∴∠CFB＝∠180°﹣∠3，
∵∠2＝∠1+∠DFB，
∴∠2＝∠1+180°﹣∠3，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°
∵∠1＝75°，∠3＝135°，
∴∠2＝120°．
故答案為：120°
7．（2022春?江岸區(qū)校級月考）已知AB∥MN．
（1）如圖1，求證：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F為直線MN、AB之間的一點，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于點G，EF交MN于點C．
①如圖2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度數(shù)；
②如圖3，若點K在射線BG上，且滿足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接寫出∠E的度數(shù)．


【解答】解：（1）如圖，

過E作EH∥MN，
∴∠N＝∠HEN，
又∵MN∥AB，
∴EH∥AB∥MN，
∴∠B＝∠HEB，
即∠B＝∠HEN+∠NEB＝∠N+∠BEN；
（2）①如圖，

過F作FP∥EN，交MN于H點，則BG∥EN∥FP，
∵∠N＝57°，
∴∠CHF＝∠CGB＝∠ABG＝57°，
∵BG平分∠ABF，
∴∠ABF＝2∠ABG＝114°，
∵EN∥PF，
∴∠E＝∠EFP，
∵∠E＝∠EFB，
∴114°+∠E＝4∠E，
∴∠E＝38°；
②如圖，過點F作FP∥AD，

設(shè)∠E＝a＝∠FBD，則∠PFB＝α，∠EFP＝3α，
∴∠ENM＝2a，∠KNM＝，
當(dāng)K在BG上，∠NKB＝∠EFB＝4a，
∴∠NGB＝＝∠ABG＝∠GBF，
∴，
∴a＝22.5°；
當(dāng)K在BG延長線上時，∠NGB＝，∠ABG＝，
∴，
∴a＝18°，
綜上所述，∠E＝22.5°或18°．
【能力提升】
8．（2022春?濰坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分線交DC于點E，∠ADC＝90°．

（1）如圖1，試說明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如圖2，點F在BE的反向延長線上，連接DF交AB于點G，若∠EBC﹣∠F＝45°，試說明：DF平分∠ADC；
（3）如圖3，在線段BE上有一點P，滿足∠BCP＝3∠PCE，過點D作DM∥BE，交AB于點M．若在直線BE上取一點H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．

【解答】（1）證明：由角平分線性質(zhì)可知，
∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥DC，
∠ABE＝∠BEC，
∴∠EBC＝∠BEC．
（2）證明：由（1）可知，
∠EBC＝∠BEC，
由外角性質(zhì)可知，
∠FEC＝∠F+∠FDC
又∵∠EBC﹣∠F＝45°，
∴∠FEC＝∠F+45°，
∴∠FDC＝45°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠FDC＝45°，
∴DF平分∠ADC．
（3）解：如圖，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，

①當(dāng)H在PB之間時，
設(shè)∠PCE＝α，則∠BCP＝3α，∠BCD＝4α，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝，
又∵∠CBE＝∠MDC
∴∠ADM＝90°﹣＝2α，
∴∠BCH＝α，∠ECH＝3α，
∴＝＝．
同理，當(dāng)H點位于H′時，∠DCH′＝α，
＝＝5，
∴的值為或5．
9．（2022春?鳳泉區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．
（1）當(dāng)∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時：
①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為 　 　；
②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；
（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當(dāng)∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．


【解答】解：（1）①如圖，分別過點G，P作GN∥AB，PM∥AB，

∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案為：45°；
②如圖，過點Q作QR∥CD，

∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，F(xiàn)D恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
設(shè)∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）結(jié)論：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC，線段GE的延長線平分∠OEA，設(shè)H為線段GE的延長線上一點，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
設(shè)∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如圖，過點O作OT∥AB，則OT∥CD，

∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．





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