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參考答案一.選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）A．斐波那契螺旋線 B．笛卡爾心形線 C．趙爽弦圖 D．科克曲線【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．解：A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合．2．下列各式中正確的是（ ?。?/span>A．若a＞b，則a+2＞b+2 B．若a＞b，則a2＞b2 C．若a＞b，且c≠0，則2ac＞2bc D．若a＞b，則﹣3a＞﹣3b【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．解：∵a＞b，∴a+2＞b+2，∴選項(xiàng)A符合題意； ∵a＞b，且a＝﹣b時，a2＝b2，∴選項(xiàng)B不符合題意； ∵a＞b且c＞0時，2ac＞2bc，a＞b且c＜0時，2ac＜2bc，∴選項(xiàng)C不符合題意； ∵a＞b，∴﹣3a＜﹣3b，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．3．用反證法證明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是鈍角時，假設(shè)，∠A、∠B、∠C中有兩個角是鈍角，令∠A＞90°，∠B＞90°，則所得結(jié)論與下列四個選項(xiàng)相矛盾的是（ ）A．已知 B．三角形內(nèi)角和等于180° C．鈍角三角形的定義 D．以上結(jié)論都不對【分析】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．解：假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個角是鈍角，令∠A＞90°，∠B＞90°，則∠A+∠B＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°相矛盾，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．4．下列命題：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②若a＝b，則a2＝b2；③若兩個角互補(bǔ)，則這兩個角都是直角；④對頂角相等，真命題的個數(shù)是（ ?。?/span>A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的乘方、補(bǔ)角的概念、對頂角相等判斷即可．解：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題；②若a＝b，則a2＝b2，是真命題；③若兩個角互補(bǔ)，則這兩個角不一定都是直角，故本小題說法是假命題；④對頂角相等，是真命題；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝5，則DF的長度是（ ?。?/span>A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可．解：∵BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．如圖，一個小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了80°，小孩的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動到了B點(diǎn)，則∠OAB的度數(shù)為 （ ?。?/span>A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答．解：∵秋千旋轉(zhuǎn)了80°，小孩的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動到了B點(diǎn)，∴∠AOB＝80°，OA＝OB，∴∠OAB＝（180°﹣80°）＝50°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．7．如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO＝CO，AB＝CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是（ ?。?/span>A．HL B．SAS C．ASA D．SSS【分析】結(jié)合圖形，利用直角三角形判定全等的方法判斷即可．解：在Rt△AOB和Rt△COD中，，∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），則如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO＝CO，AB＝CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是HL，故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形全等的判定，以及全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解本題的關(guān)鍵．8．已知點(diǎn)M（m+2，m）在第四象限，則m的取值范圍是（ ?。?/span>A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．﹣2＜m＜0【分析】根據(jù)第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，得到關(guān)于m的不等式，求解可得答案．解：∵點(diǎn)M（m+2，m）在第四象限，∴，解不等式組，可得：﹣2＜m＜0．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是理解并掌握各個象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，列出關(guān)于m的不等式．9．如圖，ABCD是一張長方形紙片，且AD＝2CD．沿過點(diǎn)D的折痕將A角翻折，使得點(diǎn)A落在BC上（如圖中的點(diǎn)A′），折痕交AB于點(diǎn)G，則∠ADG＝（ ?。?/span>A．30° B．15° C．75° D．22.5°【分析】由矩形的性質(zhì)可得BC∥AD，∠C＝90°，由折疊可知AD＝A′D，∠ADG＝∠A′DG＝∠ADA′，于是可得A′D＝2CD，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)得到∠CA′D＝30°，利用平行線的性質(zhì)可得∠CA′D＝∠ADA′＝30°，以此即可求解．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，∠C＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AD＝A′D，∠ADG＝∠A′DG＝∠ADA′，∵AD＝2CD，∴A′D＝2CD，在Rt△A′CD中，∠C＝90°，A′D＝2CD，∴∠CA′D＝30°，∵BC∥AD，∴∠CA′D＝∠ADA′＝30°，∴∠ADG＝∠ADA′＝15°．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、含30度的直角三角形的性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)得到得到AD＝A′D＝2CD，進(jìn)而得到∠CA′D＝30°是解題關(guān)鍵．10．如圖，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延長線交AB于點(diǎn)N，下列四個結(jié)論：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°，其中正確的結(jié)論有（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【分析】連接EN，FN，BM，根據(jù)SAS證得△AMN≌△AMC，即可證得AC＝AN，可以判斷②正確；由已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，CM⊥AF，從而證得三個直角三角形，即：∠AED+∠DAE＝90°，∠EFC+∠CAE＝90°，再通過已知，∠BAC的平分線AF和對頂角得∠CEF＝∠CFE，即得△ECF為等腰三角形，EM＝FM，證明四邊形ENFC是菱形，可以判斷①③正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷④錯誤．解：如圖，連接FN，∵CN⊥AF，∴∠AMC＝∠AMN＝90°，∵∠BAC的平分線AF交CD于E，∴∠DAE＝∠CAE，在△AMN和△AMC中，，∴△AMN≌△AMC（ASA），∴AC＝AN，故②正確；∵△AMN≌△AMC，∴CM＝NM，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，∵∠BAC的平分線AF交CD于E，∴∠DAE＝∠CAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵CM⊥AF，∴EM＝FM，∴四邊形ENFC是菱形，∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正確；在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC≠BC，∴∠B≠45°，故④錯誤．綜上所述：①②③．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查的是菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共5小題，每小題a分，共1分）11．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣5，1），它向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點(diǎn)B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 ?。ī?/span>1，3） ．【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減可得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣2+3，1+2）．解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣5，1），它向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點(diǎn)B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣5+4，1+2），即（﹣1，3），故答案為：（﹣1，3）．【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化﹣﹣平移，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．12．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．若△ABD的周長為13，BE＝5，則△ABC的周長為 23 ．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，BC＝2BE＝10，再根據(jù)△ABD的周長為13得到AB+AC＝13，據(jù)此求解即可．解：∵BC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．BE＝5，∴BD＝CD，BC＝2BE＝10，∵△ABD的周長為13，∴AB+BD+AD＝13，∴AB+AD+CD＝13，∴AB+AC＝13，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝23，故答案為：23．【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，﹣2）和點(diǎn)B（﹣2，0），一次函數(shù)y＝2x的圖象過點(diǎn)A，則不等式2x≤kx+b的解集為 x≤﹣1 ．【分析】根據(jù)圖象可知一次函數(shù)y＝kx+b與一次函數(shù)y＝2x的圖象的交點(diǎn)，即可得出不等式2x≤kx+b的解集．解：∵一次函數(shù)y＝kx+b與一次函數(shù)y＝2x的圖象的交點(diǎn)為A（﹣1，﹣2），∴2x≤kx+b的解集為x≤﹣1．故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式，利用數(shù)形結(jié)合思想，找到不等式與一次函數(shù)圖象的關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是 a＜3 ．【分析】利用不等式組取解集的方法，根據(jù)不等式組無解求出a的取值范圍即可．解：∵關(guān)于x的不等式組無解，∴a+1＞3a﹣5，解得：a＜3．故答案為：a＜3．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組的解集，熟知一元一次不等式組的解集的確定方法“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無處找”是解題的關(guān)鍵．15．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，點(diǎn)P是AC邊上的一個動點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ，則在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，線段CQ的最小值為 3 ．【分析】方法一：將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到Rt△EBD，則此時E，C，B三點(diǎn)在同一直線上，得出Q的運(yùn)動軌跡為線段ED，當(dāng)CQ⊥ED時，CQ的長度最小，由直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理可得出答案；方法二：取AB的中點(diǎn)D，連接CD，PD，PQ，則AD＝BD＝CD＝6，證明△DBP≌△CBQ（SAS），得出PD＝CQ，當(dāng)PD⊥AC時，PD最小，由直角三角形的性質(zhì)求出PD的長，則可得出答案．解：方法一：將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到Rt△EBD，則此時E，C，B三點(diǎn)在同一直線上，∵∠ABC＝60°，∠PBQ＝60°，∴∠ABP＝∠EBQ，隨著P點(diǎn)運(yùn)動，總有AB＝EB，PB＝QB，∴總有△APB≌△EQB（SAS），即E，Q，D三點(diǎn)在同一直線上，∴Q的運(yùn)動軌跡為線段ED，∴當(dāng)CQ⊥ED時，CQ的長度最小，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝BD＝6，EC＝6，即C為EB的中點(diǎn)，∵CQ⊥ED，∠D＝90°，∴CQ∥BD，CQ為△EBD的中位線，∴CQ＝BD＝3；方法二：取AB的中點(diǎn)D，連接CD，PD，PQ，則AD＝BD＝CD＝6，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∴△BDC為等邊三角形，∴BD＝BC，∵將線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，∴△BPQ為等邊三角形，∴PB＝BQ，∠PBQ＝60°，∴∠DBP＝∠CBQ，∴△DBP≌△CBQ（SAS），∴PD＝CQ，當(dāng)PD⊥AC時，PD最小，∵∠A＝30°，∴PD＝AD＝3，∴CQ＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共55分）16．解下列不等式：（1）6x﹣6≤2（x+3）；（2）．【分析】（1）不等式去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可；（2）不等式去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可．解：（1）6x﹣6≤2（x+3），去括號，得6x﹣6≤2x+6，移項(xiàng)，得6x﹣2x≤6+6，合并同類項(xiàng)，得4x≤12，系數(shù)化為1，得x≤3； （2），去分母，得（x+5）﹣8＜4（3x+2）去括號，x+5﹣8＜12x+8，移項(xiàng)，得x﹣12x＜8﹣5+8，合并同類項(xiàng)，得﹣11x＜11，系數(shù)化為1，得x＞﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．17．若a、b、c是△ABC的三邊，且a、b滿足關(guān)系式|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c是不等式組的最大整數(shù)解，求△ABC的周長．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a、b的值；再由不等式組的解集求出c的值，進(jìn)而求出三角形的周長．解：∵|a﹣2|+（b﹣5）2＝0∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，∴a＝2，b＝5，∵解不等式組得：，∵c是不等式組的最大整數(shù)解，∴c＝4，∴△ABC的周長為：a+b+c＝2+5+4＝11．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握不等式組的解法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）畫出將△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的中心對稱圖形△A1B1C1；（2）將△DEF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△D1EF1，畫出△D1EF1；（3）若△DEF由△ABC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)為 （0，1） ．【分析】（1）根據(jù)成中心對稱圖形的性質(zhì)畫圖即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向畫圖即可；（3）線段BE、CF的中垂線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．解：（1）作圖如下：（2）作圖如下：（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)中心到兩對應(yīng)點(diǎn)的距離相等；故旋轉(zhuǎn)中心在線段BE、CF的中垂線上；由圖象可知，該點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．【點(diǎn)評】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)變換；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝20cm，P，Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒3cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝?。?/span>10﹣2t） cm（用t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時，若△BCQ是等邊三角形，求t的值．【分析】（1）求出AB的長，根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出BQ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求出答案；（3）用t分別表示出CQ，利用等邊三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．解：（1）由題意可知AP＝2t，BQ＝3t，∵∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝20cm，∴BC＝AC＝10cm，AB＝10（cm），∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm，故答案為：（10﹣2t）；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動，△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，∵BQ＝3t，BP＝10﹣2t，∴10﹣2t＝3t，解得t＝2，此時點(diǎn)Q在AC上，當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時，△PQB是等腰三角形時無解；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動時，CQ＝3t﹣10，∵△BCQ是等邊三角形，∴BC＝CQ，即10＝3t﹣10，解得t＝，∴若△BCQ是等邊三角形，t的值為．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．20．為了響應(yīng)習(xí)主席提出的“足球進(jìn)校園”的號召，某中學(xué)開設(shè)了“足球大課間活動”，該中學(xué)購買A種品牌的足球30個，B種品牌的足球20個，共花費(fèi)3100元，已知B種品牌足球的單價比A種品牌足球的單價高30元．（1）求A、B兩種品牌足球的單價各多少元？（2）根據(jù)需要，學(xué)校決定再次購進(jìn)A、B兩種品牌的足球50個，正逢體育用品商店“優(yōu)惠促銷“活動，A種品牌的足球單價優(yōu)惠4元，B種品牌的足球單價打8折，如果此次學(xué)校的買A，B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過2750元，且購買B種品牌的足球不少于24個，①若購買A品牌的m個，則購買B品牌 ?。?/span>50﹣m） 個；②有幾種購買方案？為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇哪種方案？【分析】（1）設(shè)A種品牌足球的單價是x元，B種品牌足球的單價是y元，根據(jù)“購買A種品牌的足球30個，B種品牌的足球20，共需3100元，B種品牌足球的單價比A種品牌足球的單價高30元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m個A種品牌的足球，則購買（50﹣m）個B種品牌的足球，根據(jù)“此次學(xué)校購買A、B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過2750元，且購買B種品牌的足球不少于24個”，可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)，可得出共有2種購買方案，再分別求出各方案所需總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)A種品牌足球的單價是x元，B種品牌足球的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種品牌足球的單價是50元，B種品牌足球的單價是80元；（2）①設(shè)購買m個A種品牌的足球，則購買（50﹣m）B種品牌的足球，故答案為：（50﹣m）；②根據(jù)題意得：，解得：25≤m≤26，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為25，26，∴共有2種購買方案，方案1：購買25個A種品牌的足球，25個B種品牌的足球，總費(fèi)用為（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）；方案2：購買26個A種品牌的足球，24個B種品牌的足球，總費(fèi)用為（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）；∵2732＜2750，∴為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇購買方案2．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．21．如圖，AD為等腰△ABC的頂角∠BAC的平分線，∠ABC＝50°，在線段AD上取一點(diǎn)E．使得∠ACE＝20°，在線段CE上取一點(diǎn)F，使得∠FBC＝10°，連接BE，AF．（1）∠EBF＝ 20 度，∠EBA＝ 20 度，∠BFE＝ 40 度；（2）求證：BA＝BF；（3）BE與AF的位置關(guān)系為 BE⊥AF （直接寫出）．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，得到∠EBA＝∠ACE＝20°，由三角形外角的性質(zhì)求出∠BFE的度數(shù)，由∠EBF＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠FBC，即可求出∠EBF的度數(shù)；（2）由條件可以證明△ABE≌△FBE（AAS），即可得到AB＝BF；（3）由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即可證明問題．【解答】（1）解：∵AD為等腰△ABC的頂角∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠ACB﹣∠ECD，∴∠EBA＝∠ACE＝20°，∴∠EBF＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠FBC＝50°﹣20°﹣10°＝20°，∵∠EBD＝EBF+∠FBC＝20°+10°＝30°，∴∠ECD＝∠EBD＝30°，∴∠BFE＝∠FBC+∠FCB＝10°+30°＝40°．故答案為：20，20，40．（2）證明：∵AD為等腰△ABC的頂角∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠BAC，∵∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠BAC＝80°，∴∠BAE＝40°，∴∠BAE＝∠BFE＝40°，∵∠ABE＝∠EBF＝20°，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（AAS），∴AB＝BF；（3）證明：∵AB＝BF，∠ABE＝∠FBE，∴BE⊥AF．故答案為：BE⊥AF．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．22．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOQ是邊長為6的等邊三角形． （1）如圖Ⅰ，點(diǎn)Q在第一象限，點(diǎn)Q坐標(biāo)是 （3，3） ；（2）如圖Ⅱ，在y軸正半軸有一點(diǎn)P（0，2），連接線段AP，以AP為底在線段AP上方作等邊△APC，此時P，Q，C三點(diǎn)共線，求出QC的值；（3）如圖Ⅲ，在y軸正半軸有一動點(diǎn)P（0，m），連接線段AP，以AP為底在線段AP下方作等邊△APD，連接OD．請問線段OD是否存在最小值；若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，利用等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得OE＝3，QE＝3，即可求得點(diǎn)Q坐標(biāo)；（2）利用勾股定理求得PA的長，即等邊△APC的邊長，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求得PQ的長，即可求得QC的值；（3）連接PQ，利用SAS證明△PAQ≌△DAO，推出PQ＝OD，當(dāng)PQ⊥y軸時，PQ有最小值，即OD有最小值，據(jù)此即可求解．解：（1）過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，∵△AOQ是邊長為6的等邊三角形，∴OE＝EA＝3，∴QE＝＝3，∵點(diǎn)Q在第一象限，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（3，3）；故答案為：（3，3）；（2）解：∵△AOQ是邊長為6的等邊三角形，∴點(diǎn)A坐標(biāo)是（6，0），∵P（0，2），∴PA＝＝4，∵△APC是等邊三角形，∴PC＝PA＝4，∵P（0，2），Q （3，3），∴PQ＝＝2，∵P，Q，C三點(diǎn)共線，∴QC＝PC﹣PQ＝4﹣2＝2；（3）連接PQ，∵△AOQ和△APD都是等邊三角形，∴AQ＝AO，AP＝AD，∠OAQ＝∠DAP＝60°，∴∠PAQ＝∠DAO，∴△PAQ≌△DAO（SAS），∴PQ＝OD，∵點(diǎn)P在y軸的正半軸上，∴當(dāng)PQ⊥y軸時，PQ有最小值，即OD有最小值，此時點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3）．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
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廣東省深圳市龍崗區(qū)百合外國語學(xué)校2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷 （原卷及解析版）：
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