北京市首都師范大學附屬中學2023屆高三下旬階段性檢測數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是，則復數(shù)的虛部是（    ）A．1 B． C． D．i2．已知集合，，，則（    ）A． B．? C． D．3．已知的展開式中第3項與第5項的二項式系數(shù)相等，則的展開式的各項系數(shù)之和為（    ）A． B． C． D．4．設m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則5．已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（    ）A． B． C．2 D．6．已知無窮數(shù)列{an}滿足an+1＝an+t（t為常數(shù)），Sn為{an}的前n項和，則“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小項”的（　?。?/span>A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（    ）．A．， B．，C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的值域是8．已知直線，為圓上一動點，設到直線距離的最大值為，當最大時，的值為（    ）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（    ）A． B． C． D．10．某游戲開始時，有紅色精靈個，藍色精靈個．游戲規(guī)則是任意點擊兩個精靈，若兩精靈同色，則合并成一個紅色精靈，若兩精靈異色，則合并成一個藍色精靈，當只剩一個精靈時，游戲結(jié)束．那么游戲結(jié)束時，剩下的精靈的顏色（    ）A．只與的奇偶性有關(guān) B．只與的奇偶性有關(guān)C．與，的奇偶性都有關(guān) D．與，的奇偶性都無關(guān) 二、雙空題11．已知拋物線上一點，則拋物線的準線方程為________；點P到焦點的距離為________． 三、填空題12．已知向量與共線，則__________.13．農(nóng)業(yè)技術(shù)員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計如下：  根據(jù)上表所提供信息，第________號區(qū)域的總產(chǎn)量最大． 四、雙空題14．已知函數(shù)，，，其中表示a，b中最大的數(shù)．若，則________；若對恒成立，則t的取值范圍是________． 五、填空題15．在數(shù)列中各項均為正數(shù)，且，給出下列四個結(jié)論：①對任意的，都有②數(shù)列不可能為常數(shù)列③若，則數(shù)列為遞增數(shù)列④若，則當時，其中所有正確結(jié)論的序號是___________. 六、解答題16．在△ABC中，已知(1)求B的大小；(2)在下面3個條件中選一個，使得△ABC唯一存在，并求其面積．①②③17．某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日的微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：(1)從3月2日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；(2)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)下圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名（按照從大到小排序）分別為第68和第142，請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（不用說明理由）．18．如圖，在四棱錐中，平面PAD，△PAD為等邊三角形，//，，平面PBC交平面PAD直線l，E、F分別為棱PD，PB的中點．  (1)求證：∥；(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明理由．19．已如．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)判斷極值點個數(shù)，并說明理由；(3)解不等式．20．已知橢圓C：的離心率為，過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，當直線l與x軸垂直時，．(1)求橢圓C的標準方程；(2)當直線l的斜率為k時，在x軸上是否存在一點P（異于點F），使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由．21．設A是由個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”．(1)數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負實數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）：123101 表1(2)數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值：a 表2(3)對由個實數(shù)組成的m行n列的任意一個數(shù)表A，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負實數(shù)？請說明理由．
參考答案：1．B【分析】由對應點坐標寫出復數(shù)，結(jié)合復數(shù)除法運算化簡復數(shù)即得虛部.【詳解】由題意可得：，則，所以復數(shù)的虛部是.故選：B.2．A【分析】利用列表法求集合A、B，進而結(jié)合集合間的關(guān)系和運算逐項分析判斷.【詳解】對于可得：     xy-11-1-20102 可得集合； 對于可得：     xy-11-1021-20 可得集合，所以， 則成立，?不成立，，所以A正確，B、C、D錯誤.故選：A.3．C【分析】由已知條件解出n，令x＝1即可得到答案﹒【詳解】由題知，由組合數(shù)性質(zhì)解得n＝6，∴＝，令x＝1，得展開式各項系數(shù)之和為，故選：C.4．C【分析】根據(jù)線面，面面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于A ，由，，可得或，故A 錯誤；對于B，由，，，可得或平面相交，故B錯誤；對于D，由，，，可得或相交或異面，相交或異面時兩直線可能不垂直，故D錯誤；對于C，若，則存在直線，使得，又，所以，又，所以，故C正確．故選：C.5．D【分析】由題意結(jié)合雙曲線的定義和直角三角形的幾何性質(zhì)，列式運算可得其離心率的值.【詳解】設雙曲線的半焦距為，則，由題意可得：，因為，整理得.故選：D.6．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和的公式，以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】∵an+1＝an+t，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為t，①當t≥0時，若t＝0，a1＝﹣2時，數(shù)列{an}為常數(shù)列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n為減函數(shù)，無最小項，∴充分性不成立，②當{an}和{Sn}都有最小項，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，Sn＝na1tn2+(a1)n，則或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小項的必要不充分條件，故選：B．7．D【詳解】作出函數(shù)的圖象，由圖可知函數(shù)是奇函數(shù)，即對 ，，故錯誤；當時，滿足，此時，不成立，故項錯誤；函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故項錯誤；函數(shù)的值域是，故項正確．故選．點睛：研究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可做出函數(shù)的圖象，圖象關(guān)于y軸對稱時函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件，圖像關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件.對于正弦函數(shù)有.8．A【分析】先得出直線過定點，再求出圓心坐標，由圓的對稱性以及斜率公式得出的值.【詳解】因為，所以直線過定點，圓可化為，則圓心，，由圓的對稱性可知，當時，到直線距離的最大，則，.故選：A9．A【分析】利用向量數(shù)量積的定義可得，從而可得，進而得出，即，求出.【詳解】根據(jù)，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．10．B【分析】根據(jù)題意得到每一次兩個精靈相碰，藍色精靈的奇偶性不變，精靈總個數(shù)少一個，當最后只剩下一個精靈時，碰了次，再分別討論的奇偶性即可得到答案.【詳解】任意兩個精靈相碰，有三種情況：第一種情況：紅色，紅色相碰，合并成一個紅色精靈，此時紅色精靈少1個，藍色精靈個數(shù)不變，第二種情況：藍色，藍色相碰，合并成一個紅色精靈，此時紅色精靈加1個，藍色精靈個數(shù)少2個，第三種情況：紅色，藍色相碰，合并成一個藍色精靈，此時紅色精靈少1個，藍色精靈個數(shù)不變.綜上：每一次兩個精靈相碰，藍色精靈的奇偶性不變，精靈總個數(shù)少一個，所以當最后只剩下一個精靈時，碰了次.當為奇數(shù)時，最后剩下的只能是一個藍色精靈，當為偶數(shù)時，最后剩下的只能是一個紅色精靈，那么游戲結(jié)束時，剩下的精靈的顏色只與的奇偶性有關(guān).故選：B11．          2【分析】由拋物線方程求其準線方程，再結(jié)合拋物線定義求點P到焦點的距離.【詳解】拋物線的準線方程為，焦點的坐標為，因為點在拋物線上，由拋物線定義可得點P到焦點的距離等于點到準線的距離，所以點P到焦點的距離為.故答案為：，2.12．.【分析】運用平面向量共線及向量的模的坐標計算公式求解即可.【詳解】由題意知，又因為，所以，所以，所以，所以，所以.故答案為：.13．5【分析】分別求出種植密度函數(shù)和單株產(chǎn)量函數(shù)的解析式，再求總產(chǎn)量的函數(shù)解析式，由此確定其最大值及取最大值的條件即可.【詳解】設區(qū)域代號為，種植密度為，單株產(chǎn)量為，則，由圖象可得種植密度是區(qū)域代號的一次函數(shù)，故設，，由已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點,，所以，解得，所以，由圖象可得單株產(chǎn)量是區(qū)域代號的一次函數(shù)，故可設，，觀察圖象可得當時，，當時，，所以，解得，所以，所以總產(chǎn)量當時，函數(shù)有最大值，即號區(qū)域總產(chǎn)量最大，最大值為.故答案為：5.14．          .【分析】由函數(shù)的定義，求，由時，，當時，可得已知條件等價于在上恒成立，化簡可求的范圍．【詳解】由已知，若，則，所以，當時，，當時，，因為對恒成立；所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，若，則當時，，矛盾，當時，可得恒成立，所以，所以t的取值范圍是為，故答案為：，.15．①③④【分析】結(jié)合數(shù)列遞推式研究數(shù)列的單調(diào)性，逐項判斷即可.【詳解】解：對于①，在數(shù)列中，，則，又對于任意的都有，則，即，即對于任意的，都有，故①項正確；對于②，不妨設數(shù)列可能為常數(shù)列，則，又，則，則，即時，數(shù)列為常數(shù)列，故②項錯誤；對于③，又，則，即，同理，當，都有，即，即，即數(shù)列為遞增數(shù)列，故③項正確；對于④，，則，即，同理，當，都有，又，即數(shù)列為遞減數(shù)列，即當時，，故④項正確.故答案為：①③④.16．(1)(2)答案不唯一，具體見解析 【分析】（1）利用正弦定理將邊變角，然后整理化簡可得B的大?。?/span>（2）利用正弦余弦定理求出三角形其他邊角，再利用面積公式求出面積.【詳解】（1）由正弦定理得，，即，又，；（2）選①：或，所以△ABC不唯一存在所以①不能選；選②：，即選③即或（舍）.17．(1)(2)分布列見解析，(3)3月3日 【分析】（1）根據(jù)古典概型公式求解即可.（2）根據(jù)題意得到，，，，再寫出分布列數(shù)學期望即可.（3）根據(jù)折線圖和頻率分布直方圖求解即可.【詳解】（1）令時間A為“職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000”，從3月2日至3月7日這6天中，3月2日、5日、7日這3天中，甲乙微信記步數(shù)都不低于10000，故.（2）由（1）知：，，，，的分布列為：（3）根據(jù)頻率分步直方圖知：微信記步數(shù)落在，，，，（單位：千步）區(qū)間內(nèi)的人數(shù)依次為人，人，人，人，人，由甲微信記步數(shù)排名第68，可知當天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬之間，根據(jù)折線圖知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信記步數(shù)排名第142，可知當天乙微信記步數(shù)在5000到10000萬之間，根據(jù)折線圖知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.18．(1)證明見詳解(2)(3)存在， 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分析證明；（2）根據(jù)題意可在平面，建系，利用空間向量求面面夾角；（3）設，求點G的坐標，根據(jù)線面平行的向量關(guān)系分析運算.【詳解】（1）因為//，平面，平面，所以//平面，又因為平面，平面平面直線l，所以∥.（2）取的中點，連接，由題意可得：//，且，則為平行四邊形，可得//，且平面PAD，則平面PAD，由平面PAD，則，又因為△PAD為等邊三角形，則為的中點，可得，，平面，則平面，如圖，以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，可得，設平面的法向量，則，令，則，即，由題意可知：平面PAD的法向量，可得，所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值.  （3）由（2）可得：，設，，則，可得，解得，即，可得，若∥平面AEF，則，可得，解得，所以存在點，使得∥平面AEF，此時.19．(1)；(2)函數(shù)極值點個數(shù)為，理由見解析；(3)不等式的解集為. 【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程；（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理求零點，并判斷其兩側(cè)的導數(shù)值的正負，由此確定函數(shù)的極值點的個數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，極值及確定不等式的解集.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，導函數(shù)，所以，，所以曲線在點處的切線斜率為1，所以曲線在點處的切線方程為.（2）設，則，令，可得，又為上的增函數(shù)，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，所以存在使得，當時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，所以函數(shù)有兩個極值點；（3）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以當時，不等式的解為，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，因為，，所以，所以當時，不等式的解為，所以不等式的解集為.20．(1)(2)存在， 【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意分析可得x軸為直線PA與直線PB的對稱軸，根據(jù)斜率關(guān)系結(jié)合韋達定理運算求解.【詳解】（1）設橢圓C的半焦距為，由題意可得，解得，所以橢圓C的標準方程為.（2）由（1）可得：，根據(jù)題意可設直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，①由題意可知x軸為直線PA與直線PB的對稱軸，則，可得，因為，可得，整理得，②將①代入②得：，解得，所以存在點P，使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等，此時.  【點睛】方法點睛：存在性問題求解的思路及策略（1）思路：先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在．（2）策略：①當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；②當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．21．(1)答案見解析；(2)或(3)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)題中一次“操作”的含義，將原數(shù)表改變第4列，再改變第2行即可；或者改變第2行，改變第4列也可得（寫出一種即可）；（2） 每一列所有數(shù)之和分別為2，0，，0，每一行所有數(shù)之和分別為，1；①如果先操作第三列，第一行之和為，第二行之和為，再考慮第二次操作，由此列出不等關(guān)系解得；②如果操作第一行，再根據(jù)各列的和考慮第二次操作，由條件列不等式求，（3） 按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和），由負整數(shù)變?yōu)檎麛?shù)，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數(shù)陣中mn個數(shù)之和增加，由此證明結(jié)論．【詳解】（1）法1：123改變第四列123改變第二行123101100 法2：123改變第二行123改變第四列12310100 法3：123改變第一列23改變第四列2310100 （寫出一種即可）（2）數(shù)表A 每一列所有數(shù)之和分別為2，0，，0，每一行所有數(shù)之和分別為，1;①如果先操作第三列，則 則第一行之和為，第二行之和為，若，則，即，再操作第二行，則 此時第四列為負數(shù)，不滿足要求；若，則，即，再操作第一行，則 由已知，，又a為整數(shù)，解得或，若，則 若，則 所以或滿足要求，②如果先操作第一行，則 則第一列的所有數(shù)的和為，第二列的所有數(shù)的和為，第三列的所有數(shù)的和為，第四列的所有數(shù)的和為，若，則，與已知矛盾，若，則，與已知矛盾，若，則，又a為整數(shù)，由已知，所以或，若，則 再操作第三列即可，若，則 再操作第三列即可.綜上，或，（3）按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和）由負整數(shù)變?yōu)檎麛?shù)，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數(shù)陣中個數(shù)之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數(shù)表中某行（或某列）各數(shù)的符號，而不改變其絕對值，顯然，數(shù)表中個數(shù)之和必然小于等于，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止,終止之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數(shù)，故結(jié)論成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶. 

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