2023年山東省東營市中考數(shù)學二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  在實數(shù)：，，，，，中，無理數(shù)有(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個2.  下列各式計算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  把一塊直尺與一塊含的直角三角板如圖放置，若，則的度數(shù)為(    )

 A.  B.  C.  D. 4.  對于實數(shù)，，定義運算“”如下：，例如：，則方程的根的情況是(    )A. 沒有實數(shù)根 B. 只有一個實數(shù)根
C. 有兩個相等的實數(shù)根 D. 有兩個不相等的實數(shù)根5.  如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點和點，再分別以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作射線交于點若，，則的長度是(    )
 
 A.
B.
C.
D. 6.  如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上則的值是(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，中，、兩個頂點在軸的上方，點的坐標是，以點為位似中心，在軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的倍，設點的橫坐標是，則點的對應點的橫坐標是(    )A.
B.
C.
D. 8.  如圖，點是反比例函數(shù)圖象上一點，的頂點在軸上，點在軸上，，，與軸相交于點，且，若的面積為，則(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如圖，中，，，，點是斜邊上任意一點，過點作，垂足為，交邊或邊于點，設，的面積為，則與之間的函數(shù)圖象大致是(    )A.  B.
C.  D. 10.  在四邊形中，，，，為邊上一點，，且連接交對角線于，連接下列結(jié)論正確的是(    )
；；；．
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共28.0分）11.  石墨烯是現(xiàn)在世界上最薄的納米材料，其理論厚度僅有米，將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為          ．12.  已知，，則 ______ ．13.  若一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，眾數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的方差為______．14.  如圖，用一個半徑為的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設繩索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升的高度為______ 結(jié)果保留
 
 15.  若關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為______ ．16.  平放在地面上的三角形鐵板的一部分被沙堆掩埋，其示意圖如圖所示，量得為，為，邊的長為，邊上露出部分的長為，鐵板邊被掩埋部分的長是______
 
 17.  如圖，在中，，，，是以點為圓心，為半徑的圓上一點，連接，是的中點，則線段長度的最小值為______．
 18.  如圖，在平面直角坐標系中，正方形與正方形是以點為位似中心的位似圖形，且位似比為，點，，在軸上，延長交射線于點，以為邊作正方形；延長交射線于點，以為邊作正方形，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則正方形的面積為        ．
三、解答題（本大題共7小題，共56.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.  本小題分
計算：；
先化簡，再求值：，其中滿足．20.  本小題分
為積極配合城市推行垃圾分類工作，某教育集團調(diào)查小組掛出“垃圾變寶源自分類，呵護環(huán)境始于點滴”等宣傳標語，同時在各校區(qū)、、、四個學部隨機抽取部分學生進行垃圾分類常識測試，并將各部門測試成績優(yōu)秀的人數(shù)統(tǒng)計后繪制成如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖部分數(shù)據(jù)不完整．
請你結(jié)合圖中信息回答下列問題：
扇形統(tǒng)計圖中的 ______ ，的度數(shù)為______ ；
請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
假設一學生無垃圾分類常識，參加這次分類測試：袋中有三件垃圾記為、、，分別屬于“可回收物、其他垃圾、有害垃圾”三類，該學生從袋中隨機抽取一件垃圾再隨機投進三類垃圾箱中的一個，請用列表法或畫樹狀圖法求該學生投放正確的概率．

 21.  本小題分
如圖，直線，都與雙曲線交于點，這兩條直線分別與軸交于，兩點．
求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
直接寫出當時，不等式的解集；
若點在軸上，連接把的面積分成：兩部分，求此時點的坐標．
22.  本小題分
如圖，在中，點在邊上，平分，經(jīng)過點、的交于點，連接交于點，．
求證：是的切線；
若，，，求的半徑．
23.  本小題分
月日是母親節(jié)，為了迎接母親節(jié)的到來，利客來商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為元，用元購進甲種玩具的件數(shù)與用元購進乙種玩具的件數(shù)相同．
求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？
商場計劃購進甲、乙兩種玩具共件，其中甲種玩具的件數(shù)少于件，并且商場決定此次進貨的總資金不超過元，求商場共有幾種進貨方案？
在條件下，若每件甲種玩具售價元，每件乙種玩具售價元，請求出賣完這批玩具獲利元與甲種玩具進貨量件之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大利潤為多少？24.  本小題分
如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，交軸于點，連接．

求拋物線的解析式．
點是第三象限拋物線上一點，當的面積為時，求點坐標．
拋物線上是否存在點使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．25.  本小題分
【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖所示，和均為正三角形，、、三點共線猜想線段、之間的數(shù)量關(guān)系為        ；        ；
【類比探究】
如圖所示，和均為等腰直角三角形，，，，、、三點共線，線段、交于點此時，線段、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？請寫出證明過程并求出的度數(shù)；
【拓展延伸】
如圖所示，在中，，，，為的中位線，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，當所在直線經(jīng)過點時，請直接寫出的長．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
無理數(shù)有，，共有個，
故選：．
根據(jù)無理數(shù)的意義判斷即可．
本題考查了無理數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)．
 2.【答案】 【解析】解：、原式，不符合題意；
B、原式，不符合題意；
C、原式，符合題意；
D、原式，不符合題意．
故選：．
各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷．
此題考查了整式的混合運算，因式分解運用公式法，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
利用平行線的性質(zhì)求出即可解決問題．
【解答】
解：如圖，

，
，
，，
，
，
故選B．  4.【答案】 【解析】解：，
，即，
，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：．
根據(jù)運算“”的定義將方程轉(zhuǎn)化為一般式，由根的判別式，即可得出該方程有兩個不相等的實數(shù)根．
本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：由作法得，則，
，
在中，．
故選：．
利用基本作圖得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理計算的長．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．
 6.【答案】 【解析】解：延長至格點，連接，如圖，
由題意得：
，，，
，
，
．
故選：．
延長至格點，連接，利用勾股定理及其逆定理得到為直角三角形，，在中，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可．
本題主要考查了解直角三角形，直角三角形的邊角關(guān)系定理，延長至格點，連接，利用勾股定理及其逆定理得到為直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：設點的橫坐標為，
則、間的橫坐標的長度為，、間的橫坐標的長度為，
放大到原來的倍得到，
，
解得：，
故選：．
設點的橫坐標為，根據(jù)數(shù)軸表示出、的橫坐標的距離，再根據(jù)位似比列式計算即可．
本題考查的是位似變換、坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似比的定義，利用兩點間的橫坐標的距離等于對應邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：作軸于，軸于，則軸，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
設，
，軸，
，
，
，
，
的面積為，
，
，
，
點是反比例函數(shù)圖象上一點，
，
故選：．
作軸于，軸于，則軸，通過證得≌，得到，，設，
根據(jù)題意即可得到，利用勾股定理求得，由的面積為，即可得到．
本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，表示出、的坐標是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：當點在上時，
，，
，
；
當點在上時，如下圖所示：

，，，
，，
．
，
該函數(shù)圖象前半部分是開口向上的拋物線，后半部分為開口向下的拋物線，
且當點與點重合時，，
故選：．
分點在上和上兩種情況進行討論即可．
本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵是注意點在上這種情況．
 10.【答案】 【解析】解：，，
，
又，
，
，
，
，
即，故正確；
為直角三角形，且，
，
，
，
；故錯誤．
由知，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，
，故正確；
過作于，
，
∽，
，
，
，
，
和有公共底，
，故正確，
結(jié)論正確的為．
故選：．
在等腰直角中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，即，判定正確；因為為直角三角形，且所以，因為，所以，所以，不成立，故錯誤；根據(jù)可判定≌，全等三角形對應邊相等可得，再求出，得到為等邊三角形，判定正確；過作于，所以，所以∽，利用相似三角形的性質(zhì)以及底相等的三角形面積之比等于高之比即可判定正確．
此題考查了直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
絕對值小于的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
 12.【答案】 【解析】解：

，
，，
原式．
故答案為：．
先因式分解得出，再把，代入即可得出答案．
本題考查了利用平方差公式分解因式和求代數(shù)式的值，掌握整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和方差，一般地設個數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則方差；解答本題的關(guān)鍵是掌握各個知識點的概念．
根據(jù)眾數(shù)的定義先判斷出，中至少有一個是，再根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出，然后代入方差公式即可得出答案．
【解答】
解：一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，眾數(shù)為，
，中至少有一個是，
一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，
，
，
，中一個是，另一個是，
這組數(shù)據(jù)的方差為；
故答案為：．  14.【答案】 【解析】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為，圓心角為所對應的弧長，
即．
故答案為：．
根據(jù)弧長的計算方法計算半徑為，圓心角為的弧長即可．
本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算方法是正確解答的前提．
 15.【答案】且 【解析】解：原方程左右兩邊同時乘以，得：，
解得：，
原方程的解為正數(shù)且，
，
解得：且，
故答案為：且．
先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況，即可得出的取值范圍．
本題主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：在直角三角形中，，
則，
則，
故答案為：．
首先根據(jù)三角函數(shù)求得的長，然后根據(jù)即可求解．
本題主要考查了解直角三角形，正確利用三角函數(shù)解得的長是解題關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：作的中點，連接，，．

在直角中，，
是直角斜邊上的中點，
．
是的中點，是的中點，
．
，即．
最小值為，
故答案為：．
作的中點，連接、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得和的長，然后確定的范圍．
本題考查了點與圓的位置關(guān)系、三角形的中位線定理的知識，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
 18.【答案】 【解析】解：正方形與正方形是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，
，
軸，軸，
，
∽，
，
，
，
，
正方形的面積，
，
，
，
正方形的面積，
軸，
，
正方形的面積，

則正方形的面積為，
故答案為：．
根據(jù)位似圖形的概念求出，根據(jù)正方形的面積公式計算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
本題考查的是位似圖形的性質(zhì)、圖形的變化規(guī)律，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：原式

；
原式




，
滿足，
，
原式． 【解析】分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算即可；
先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出的值代入進行計算即可．
本題考查的是分式的化簡求值及實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則，熟知分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：這次測試成績優(yōu)秀的人數(shù)共有：人，
，
的度數(shù)為：，
故答案為：，；
第學部的人數(shù)為：人，
將條形統(tǒng)計圖補充完整如下：

畫樹狀圖：

共有種等可能的結(jié)果，該學生投放正確的結(jié)果有種，
該學生投放正確的概率為．
由學部的優(yōu)秀人數(shù)除以所占百分比求出這次測試成績優(yōu)秀的人數(shù)，即可解決問題；
求出學部的人數(shù)，將條形統(tǒng)計圖補充完整即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，該學生投放正確的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了條形統(tǒng)計圖解扇形統(tǒng)計圖．
 21.【答案】解：把代入，可得，
，
把代入雙曲線，可得，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為：；
解得或，
直線與雙曲線交于點和，
由圖象可知，當時，不等式的解集為：；
，令，則，
點的坐標為，
把代入，可得，
，
，
令，則，即，
，
把的面積分成：兩部分，
，或，
，或，
或． 【解析】求得，把代入雙曲線，可得與之間的函數(shù)關(guān)系式；
求得直線與雙曲線的交點，可得當時，不等式的解集為；
分兩種情況進行討論，把的面積分成：兩部分，則，或，即可得到，或，進而得出點的坐標．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．
 22.【答案】證明：連接，如圖：

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半徑，
是的切線；
解：，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
即，
，
的半徑為． 【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用外角性質(zhì)及切線的判定方法可得結(jié)論；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)解直角三角形及勾股定理可得的長，進而得到答案．
此題考查的是外角的性質(zhì)，切線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形和勾股定理等知識，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設甲種玩具進價元件，則乙種玩具進價為元件，
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的解．
則．
答：甲、乙兩種玩具分別是元件，元件；

設購進甲種玩具件，則購進乙種玩具件，
由題意，得，
解得．
是整數(shù)，
取，，，，
故商場共有四種進貨方案：
方案一：購進甲種玩具件，乙種玩具件；
方案二：購進甲種玩具件，乙種玩具件；
方案三：購進甲種玩具件，乙種玩具件；
方案四：購進甲種玩具件，乙種玩具件；

設購進甲種玩具件，賣完這批玩具獲利元，則購進乙種玩具件，
根據(jù)題意得：，
比例系數(shù)，
隨著的增大而減小，
當時，有最大利潤元． 【解析】設甲種玩具進價為元件，則乙種玩具進價為元件，根據(jù)用元購進甲種玩具的件數(shù)與用元購進乙種玩具的件數(shù)相同可列方程求解．
設購進甲種玩具件，則購進乙種玩具件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)少于件，并且商場決定此次進貨的總資金不超過元，可列出不等式組求解．
先列出有關(guān)總利潤和進貨量的一次函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍求最大值即可．
本題考查了一次函數(shù)的應用，列分式方程解實際問題的應用，一元一次不等式解方案設計問題的應用，找出題中的等量關(guān)系與不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：將，代入，
，
解得，
；
令，則，
解得或，
，
，
，
，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
，
聯(lián)立方程組，
解得或，
；
如圖所示，當點在第一象限拋物線上時，

，
，
點和點關(guān)于對稱軸對稱，
，，
拋物線的對稱軸為，
，
點的坐標為；
如圖所示，當點在第四象限的拋物線上時，設與軸交于點

，
，
設，
，，
，，
在中，，即，
解得，
，
，
設直線的解析式為，
將，代入得，，
解得；
，
聯(lián)立直線和拋物線得，，
解得或

點的坐標為
綜上所述，點的坐標為或 【解析】用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
先由的面積求出的長，從而確定點坐標為，再由待定系數(shù)法求出直線的解析式，直線與拋物線的交點即為所求；
根據(jù)題意當點在第一象限時，利用二次函數(shù)的對稱性求解；當點在第四象限時，設與軸交于點，首先根據(jù)勾股定理求出點的坐標，然后求出的解析式，最后聯(lián)立直線和拋物線即可求出點的坐標．
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】   【解析】解：和均為等邊三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
點，，在同一直線上，
，
，
，
綜上所述，的度數(shù)為，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是，
故答案為：，；

結(jié)論：，，理由如下：
和均為等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；

分兩種情況：
如圖，

，，，
，
，
為的中位線，
，，，，
，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
∽，
，，
，
，
設，則，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去
；
如圖，同得：∽，
則，，

設，則，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
；
綜上所述，的長為或．
證≌，得，，進而判斷出的度數(shù)為即可；
證∽，得，，則，再求出，即可得出結(jié)論；
分兩種情況，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別求出的長即可．
本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
 

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