北京市海淀區(qū)北京一零一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷

這是一份北京市海淀區(qū)北京一零一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷，共13頁(yè)。試卷主要包含了選擇題共10小題，填空題共5小題，解答題共6小題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
北京101中學(xué)2023屆上學(xué)期高三年級(jí)9月月考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題共10小題。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1. 已知集合M＝｛x∈Z|1g（x-1）≤0｝，N＝｛x∈Z|x|＜2}，則MN＝（    ）A.    B. （1，2）  C. （-2，2］   D. {-1，0，1，2｝2. 如果-1，a，b，c，-9成等比數(shù)列，那么（    ）A. b＝3，ac＝9 B. b＝-3，ac＝9 C. b＝3，ac＝-9  D. b＝-3，ac＝-93. 設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：①若單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則-單調(diào)遞增；②若單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則-單調(diào)遞增；③若單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則-單調(diào)遞減；④若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則-單調(diào)遞減。其中，正確的命題是（    ）A. ①③   B. ①④   C. ②③    D. ②④4. 若ab＞0，且a＜b，則下列不等式一定成立的是（    ）A.   B. ＜  C.   D. ＞5. 已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則△ABC是（    ）A. 鈍角三角形     B. 等邊三角形C. 等腰直角三角形    D. 直角三角形，但不是等腰三角形6. 已知函數(shù)＝cos2x-sin2x（＞0）的最小正周期為，則（    ）A. 在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增   B. 在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減C. 在（，）內(nèi)單調(diào)遞增  
D. 在（，）內(nèi)單調(diào)遞減7. 若是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）＝1，f（2）＝2，則f（3）-f（4）＝（    ）A. -1   B. 1    C. -2    D. 28. 下圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3，3］的大致圖像，則該函數(shù)是（    ）A.   B.   C.   D. 9. 已知函數(shù)＝x3+x2-2|x|-k。若存在實(shí)數(shù)x0，使得f（-x0）＝-f（x0）成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A. ［-1，+∞）  B. （-∞，-1］  C. ［0，+∞）  D. （-∞，0］10. 信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念。設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且P（X＝i）＝pi＞0（i＝1，2，…，n），，定義X的信息熵H（X）＝。給出下面四個(gè)結(jié)論：①若n＝1，則H（x）＝0；②若n＝2，則當(dāng)時(shí)，H（x）取得最小值；③若，則H（x）隨著n的增大而增大；④若n＝10，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1，2，…，5，且P（Y＝j）＝pj+p11-j（j＝1，2，…，5），則H（X）＞H（Y）。其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（    ）A. 1    B. 2     C. 3    D. 4 二、填空題共5小題。
11. 在△ABC中，a＝，b＝2，B＝2A，則cosA＝___________。12. 若函數(shù)＝為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為___________。13. 已知數(shù)列｛an｝滿足an+1＝，n∈N*，若a3＝，則a1＝____________。14. 如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12，設(shè)1≤i＜j＜k≤12。若k-j＝3且j-i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k-j＝4且j-i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦。用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為__________。15. 已知函數(shù)＝sin2x-x3，若函數(shù)＝f（x-4）+x，則函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為__________；若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，a1+a2+a3+…+a11＝44，則g（a1）+g（a2）+…+g（a11）＝__________。 三、解答題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16. 已知函數(shù)＝A sin（x+）（A＞0，＞0，0＜＜）的部分圖像如圖所示，在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知。（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)＝·cos（2x+），若在區(qū)間［0，m］上單調(diào)遞減，求m的最大值。條件①：c-a＝；
條件②：b＝；條件③：c＝。17. 記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知S9＝-a5。（1）若a3＝4，求｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍。18. 記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積分別為S1，S2，S3，且S1-S2+S3=，sin B=。（1）求△ABC的面積；（2）若sinA sinC=，求b。19. 已知函數(shù)（1）求的值；（2）求不等式＞1的解集；（3）當(dāng)x0＜0時(shí)，是否存在使得成立的x0值？若存在，直接寫出x0的值；若不存在，說(shuō)明理由。20. 已知函數(shù)（aR）。（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝在x＝0處的切線方程；（2）求函數(shù)在［1，2］上的最小值。21. 已知數(shù)列A：a1，a2，…，aN（N≥4），其中a1，a2，…，aN∈Z，且a1＜a2＜…＜aN。若數(shù)列…，N滿足1＝a1，N＝aN，當(dāng)i＝2，3，…，N-1時(shí)，i＝ai-1+1或ai+1-1，則稱：1，2，…，N為數(shù)列A的“緊數(shù)列”。例如，數(shù)列A：2，4，6，8的所有“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8。
（1）直接寫出數(shù)列A：1，3，6，7，8的所有“緊數(shù)列”；（2）已知數(shù)列A滿足：a1＝1，aN＝2N，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為N+1；（3）已知數(shù)列A滿足：a1＝0，a2＝2，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合S（）＝｛ai-i|i＝2，3，…，N-1｝，如果對(duì)任意x∈S（），都有-xS（），那么稱為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”。若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求aN的最小值。（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）
參考答案1. D2. （2006高考北京文6）B3. （2001高考全國(guó)理10）C4. （2022房山一模3）C5. （2022朝陽(yáng)高一下期末4）B6. （2022昌平高三上期末7）B7. （2010高考安徽理4）A8. （2022高考全國(guó)乙文8）A設(shè)＝，則f（1）＝0，故排除B；設(shè)h（x）＝，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，0＜cosx＜1，所以h（x）＝<≤1，故排除C；設(shè)＝，則g（3）＝＞0，故排除D。9. （2019海淀高三上期中7）A由f（-x0）＝-f（x0）得-x+x-2|x0|-k＝-（x+x-2|x0|-k），整理得k＝x-2|x0|，所以k∈［-1，+∞）。10. （2020高考山東（改編）12）C11. （2021豐臺(tái)一模13）。12. （2022高考上海8）1。13. （2022東城高二上期末13）。14. （2020高考全國(guó)II文（改編）3）10。15. （原創(chuàng)）（4，6），66。16. （2022西城高三上期末17）（1）選條件①②；因?yàn)?/span>c-a＝，所以＝，即T＝，則＝＝2。由題意可知A＝2，則＝2sin（2x+）。
因?yàn)?/span>b＝，f（b）＝2sim（+）＝0，所以，kZ，即＝+k。因?yàn)?/span>0＜＜，所以＝，k＝1。所以＝2sin（2x+）。選條件①③：因?yàn)?/span>c-a＝，所以，即T＝，則＝。由題意可知A＝2，則＝2sin（2x+）。因?yàn)?/span>c＝，f（c）＝2sin（+）＝-2，所以+＝+2k，kZ，即＝+2k。因?yàn)?/span>0＜＜，所以＝，k＝0。所以＝2sin（2x+）。選條件②③：因?yàn)?/span>b＝，c＝，所以c-b＝＝，即T＝，則＝＝2。由題意可知A＝2，則＝2sin（2x+）。因?yàn)?/span>c＝，＝2sin（+）＝-2，所以+＝+2k，kZ，即＝+2k。
因?yàn)?/span>0＜＜，所以＝，k＝0。所以＝2sin（2x+）。（2）由題意得＝sin（4x+）。方法一：函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為［+2k，+2k］（kZ）。由+2k≤4x+≤+2k，得-≤x≤。因?yàn)楹瘮?shù)y＝在區(qū)間［0，m］上單調(diào)遞減，且0∈［-，］，此時(shí)k＝0。所以m≤，所以m的最大值是。方法二：因?yàn)?/span>x∈［0，m］，所以4x+[，4m+]。由題意知y＝sint在［，4m+］上單調(diào)遞減，所以4m+≤，所以m≤，所以m的最大值是。17. （2019高考全國(guó)I文18）（1）設(shè)｛an｝的公差為d。由S9＝-a5得a1+4d＝0。由a3＝4得a1+2d＝4。于是a1＝8，d＝-2。因此｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝10-2n。
（2）由（1）得a1＝-4d，故an＝（n-5）d，Sn＝。由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等價(jià)于n2-11n+10≤0，解得1≤n≤10。所以n的取值范圍是｛n|1≤n≤10，n∈N｝。18. （2022高考全國(guó)Ⅱ 18）（1）因?yàn)檫呴L(zhǎng)為a的正三角形的面積為a2，所以S1-S2+S3＝＝，即ac cos B＝1，由sinB＝得：cosB＝，所以ac＝=，故S△ABC＝ac sin B＝××＝。（2）由正弦定理得，故b＝sin B＝。19. （2022東城高二下期末18）（1）f（f（-1））＝f（2）＝22＝4。（2）由＞1，有或解得x∈（-2，0）（0，+∞）。（3）存在唯一的x0＝-1，使得f（x0）-f（-x0）＝0成立。20. （2022房山二模19）（1）當(dāng)a＝0時(shí)，＝（x-1），＝x。所以＝0，＝-1。所以曲線y＝在x＝1處的切線方程為y＝-1。（2）＝x-ax=x（-a）。
①當(dāng)a≤0時(shí)，-a＞0。所以x∈［1，2］時(shí)，＞0。所以在［1，2］上是增函數(shù)。所以min＝f（1）＝-a。②當(dāng)a＞0時(shí)，令＝0，解得x1＝lna，x2＝0（舍）。（A）當(dāng)ln a≤1，即0＜a≤e時(shí)，x∈［1，2］時(shí)，＞0。所以在［1，2］上是增函數(shù)。所以min＝f（1）＝-a。（B）當(dāng)1＜ln a＜2，即e＜a＜c2時(shí)，（1，ln a）ln a（ln a，2）-0+↘極小值↗所以min＝f（ln a）＝-。（C）當(dāng)ln a≥2，即a≥c2時(shí)，x∈［1，2］時(shí)，＜0。所以在［1，2］上是減函數(shù)。所以min＝f（2）＝e2-2a。綜上，當(dāng)a≤e時(shí)，min＝-a；當(dāng)e＜a＜e2時(shí)，min＝-a ln2a+a（lna-1）；當(dāng)a≥e2時(shí)，min＝e2-2a。21. （2022西城高三上期末21）（1）1：1，2，4，7，8；2：1，2，6，7，8；3：1，5，4，7，8；4：1，5，6，7，8。（2）依題意，對(duì)任意i＝2，3，…，N-2，有i＝ai-1+1或ai+1-1，i+1＝ai+1或ai+2-1，因?yàn)?/span>均為遞增數(shù)列，所以有i＜i+1，即同時(shí)滿足；
ai-1+1＜ai+1①，ai+1-1＜ai+2-1②，ai-1+1＜ai+2-1③，ai+1-1＜ai+1④。因?yàn)?/span>A為遞增數(shù)列，因此①和②恒成立。又因?yàn)?/span>A為整數(shù)數(shù)列，對(duì)于③，ai-1+1≤ai＜ai+1≤ai+2-1也恒成立。對(duì)于④，一方面，由ai+1-1＜ai+1，得ai+1＜ai+2，即ai+1≤ai+1。另一方面，ai+1≥ai+1，所以ai+1＝ai+1（i＝2，3，…，N-2），即A從第2項(xiàng)到第N-1項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，所以a2≥a1+1＝2，aN-1＝a2+N-3≤aN-1＝2N-1，因此2≤a2≤N+2，故a2共有N+1種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列A共有N+1個(gè)。（3）記bn＝an-an-1，依題意，bn∈N*（n＝2，3，…，N）。對(duì)任意i＝2，3，…，N-1，有ai-i＝bi-1或-bi+1+1，注意到0S（），即對(duì)任意i∈{2，3，…，N-1｝，有ai-i≠0，若ai-i＝bi-1≠0，則bi≠1，即bi≥2；若ai-i＝-bi+1+1≠0，則bi+1≠1，即bi+1≥2，即對(duì)任意i＝2，3，…，N-1，或者bi≥2，或者bi+1≥2。所以bi+bi+1≥3，所以bi-1＝-bi+1+1不能成立。記T1＝｛i|ai-i＝bi-1，i＝2，3，…，N-1｝，T2＝｛i|ai-i＝-bi+1+1，i＝2，3，…，N-1｝，則T1T2＝，且T1T2＝｛2，3，…，N-1｝。注意到：若存在j∈T2且2≤j≤N-2，即aj-j＝-bj+1+1，則j+1∈T2。否則，若j+1∈T1，則aj+1-j+1＝bj+1-1＝-（-bj+1+1）＝-（aj-j），不合題意。因此集合T1，T2有以下三種情形：①T1＝｛2，3，…，N-1｝，T2＝。對(duì)任意i∈｛2，3，…，N-1｝，有bi≥2，則aN＝a1+（b2+b3+…+bN-1）+bN≥0+（N-2）·2+1＝2N-3，當(dāng)且僅當(dāng)：b2＝b3＝…＝bN-1＝2，bN＝1，即A：0，2，4，…，2N-4，2N-3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)存在“強(qiáng)緊數(shù)列”：0，1，3，…，2N-3，故此情形下，aN的最小值為2N-3；②T1＝｛2，3，…，k｝，T2＝{k+1，k+2，…，N-1}，其中k＝2，3，…，N-2。對(duì)任意i∈T1，有bi≥2，對(duì)任意j∈T2，有bj+1≥2。aN＝a1+（b2+b3+…+bk）+bk+1+（bk+2+bk+3…+bN）
≥0+（k-1）·2+1+（N-k-1）·2＝2N-3。故此情形下，aN的最小值不小于2N-3；③T1＝，T2＝｛2，3，…，N-1｝。對(duì)任意i∈｛2，3，…，N-1｝，有bi+1≥2，aN＝a1+b2+（b3+b4…+bN）≥0+2+（N-2）·2＝2N-2＞2N-3。故此情形下，aN的最小值不小于2N-3。綜上，aN的最小值為2N-3。