2022-2023學(xué)年北京市首師大附中永定中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，根據(jù)并集的運算即可求出結(jié)果.【詳解】解可得，，所以，所以.故選：A.2．已知命題，則為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，否量詞，否結(jié)論即可得解.【詳解】命題的否定為：，故選：B.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性排除BD，根據(jù)奇偶性排除C，A滿足單調(diào)性和奇偶性，得到答案.【詳解】對選項A：，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，正確；對選項B：在上為減函數(shù)，錯誤；對選項C：，函數(shù)為奇函數(shù)，錯誤；對選項D：在上為減函數(shù)，錯誤；故選：A4．不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.【詳解】 ，即 ，等價于 ，解得 或 ；故選：D.5．已知函數(shù)在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，計算，，得到答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)的零點在區(qū)間上.故選：B6．已知a＝0.63，b＝30.6，c＝log30.6，則（　?。?/span>A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】因為0＜0.63＜0.60＝1，則0＜a＜1，而b＝30.6＞30＝1，c＝log30.6＜log31＝0，所以c＜a＜b．故選：C7．已知實數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】對ABD選項采用取特殊值驗證即可，對于C，首先構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性即可.【詳解】因為，則對于A，取，，則，A錯誤；對于B，取，，此時，故B錯誤；對于C，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，則單調(diào)遞減，因為，所以有，即，故C正確；對于D，取、，則，故D錯誤.故選：C8．某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（    ）A．84.5 B．85 C．85.5 D．86【答案】D【分析】按照求解百分位數(shù)的流程，先計算出，然后由小到大排序，選取第8個數(shù)作為第75百分位數(shù).【詳解】，故從小到大排列后：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125 取第8個數(shù)作為第75百分位數(shù)，第8個數(shù)是86故選：D9．學(xué)校開展學(xué)生對食堂滿意度的調(diào)查活動，已知該校高一年級有學(xué)生550人，高二年級有學(xué)生500人，高三年級有學(xué)生450人.現(xiàn)從全校學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取60人進行調(diào)查，則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為（    ）A．18 B．20 C．22 D．30【答案】B【分析】求出高一年級學(xué)生、高二年級學(xué)生、高三年級學(xué)生人數(shù)比，再列式計算作答.【詳解】依題意，該校高一年級學(xué)生、高二年級學(xué)生、高三年級學(xué)生人數(shù)比為：，所以抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為.故選：B10．物理學(xué)規(guī)定音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算: (其中是人耳能聽到聲音的最低聲波強度)，一般聲音在30分貝左右時不會影響正常的生活和休息，超過50分貝就會影響睡眠和休息;70分貝以上會造成心煩意亂，精神不集中，影響工作效率，甚至發(fā)生事故;長期生活在90分貝以上的噪聲環(huán)境，就會得“噪音病”，汽車的噪聲可以達到100分貝，為了降低噪聲對周圍環(huán)境的影響，某高速公路上安裝了隔音圍擋護欄板，可以把噪聲從75分貝降低到50分貝，則50dB聲音的聲波強度是75dB聲音的聲波強度的（    ）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】A【解析】首先根據(jù)題意得到，再代入公式計算即可.【詳解】因為，所以.所以倍.故選：A 二、填空題11．函數(shù)的定義域為 _____．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【詳解】由題意，可知，解得，所以函數(shù)的定義域為．故答案為：．12．某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位:小時），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為：_____．【答案】140【分析】求出這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率，即可求得答案.【詳解】由頻率分布直方圖得：這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為:,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為：，故答案為：140.13．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【分析】結(jié)合充分不必要條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為，即，由于“”是“”的充分不必要條件，則，但不能推出，所以，故答案為：. 三、雙空題14．函數(shù)恒過的定點坐標(biāo)為___________，值域為_____________．【答案】          【分析】根據(jù)，求出對應(yīng)的的值得到定點坐標(biāo)，再由指數(shù)函數(shù)值域得所求值域.【詳解】令，解得：，此時，故函數(shù)恒過定點.指數(shù)函數(shù)的值域為，函數(shù)的圖像，可將指數(shù)函數(shù)的圖像向左平移兩個單位，再向下平移兩個單位，所以函數(shù)的值域為.故答案為：；.15．已知函數(shù)，則函數(shù)最小值為_______________；如果關(guān)于x的方程有兩個不同的實根，那么實數(shù)k的取值范圍是__________________．【答案】     ##0.5     【分析】空1利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值，空2作函數(shù)與的圖像，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，∴函數(shù)最小值為.作出函數(shù)與的圖像如下，  ∴結(jié)合圖像可知，方程有兩個不同的實根，那么實數(shù)k的取值范圍 四、解答題16．計算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)13(2) 【分析】（1）由指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可；（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可【詳解】（1）；（2）17．已知甲乙兩人的投籃命中率分別為，如果這兩人每人投籃一次，求：（1）兩人都命中的概率；（2）兩人中恰有一人命中的概率.【答案】（1） 0.56；（2）0.38.【分析】（1）利用相互獨立事件概率計算公式，求得兩人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互獨立事件概率計算公式，求得恰有一人命中的概率.【詳解】記事件A，B分別為“甲投籃命中"，“乙投籃命中”，則.（1）“兩人都命中”為事件AB，由于A，B相互獨立，所以，即兩人都命中的概率為0.56.（2）由于互斥且A，B相互獨立，所以恰有1人命中的概率為.即恰有一人命中的概率為0.38.【點睛】關(guān)鍵點睛：本小題主要考查相互獨立事件概率計算，考查互斥事件概率公式，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地理解題意和運用公式求解.18．某班倡議假期每位學(xué)生每天至少鍛煉一小時.為了解學(xué)生的鍛煉情況，對該班全部34名學(xué)生在某周的鍛煉時間進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:鍛煉時長（小時）56789男生人數(shù)（人）12434女生人數(shù)（人）38621 （Ⅰ）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這個班級女生在該周的平均鍛煉時長;（Ⅱ）若從鍛煉8小時的學(xué)生中任選2人參加一項活動，求選到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）試判斷該班男生鍛煉時長的方差與女生鍛煉時長的方差的大小.（直接寫出結(jié)果）【答案】（Ⅰ）小時（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)計算平均數(shù)即可；（Ⅱ）列舉出任選2人的所有情況，再由古典概型的概率公式計算即可；（Ⅲ）根據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度結(jié)合方差的性質(zhì)得出【詳解】（Ⅰ）這個班級女生在該周的平均鍛煉時長為小時（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知，鍛煉8小時的學(xué)生中男生有人，記為，女生有人，記為從中任選2人的所有情況為，，，共種，其中選到男生和女生各1人的共有種故選到男生和女生各1人的概率（Ⅲ）【點睛】關(guān)鍵點睛：在第二問中，關(guān)鍵是利用列舉法得出所有的情況，再結(jié)合古典概型的概率公式進行求解.19．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).(1)求f（x）的解析式及值域：(2)判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義予以證明.(3)若不大于f（1），直接寫出實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，(2)單調(diào)遞減，證明見解析(3) 【分析】（1）根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)列方程，解方程得到，即可得到解析式，然后根據(jù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性求值域即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）因為為R上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，因為，所以，，所以的值域為.（2）在R上單調(diào)遞減，設(shè)，則，因為，所以，，即，所以在R上單調(diào)遞減.（3）.20．為了節(jié)能減排，某農(nóng)場決定安裝一個可使用10年的太陽能供電設(shè)備，使用這種供電設(shè)備后，該農(nóng)場每年消耗的電費（單位：萬元）與太陽能電池板面積（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)）．已知太陽能電池板面積為5平方米時，每年消耗的電費為12萬元，安裝這種供電設(shè)備的工本費為（單位：萬元），記為該農(nóng)場安裝這種太陽能供電設(shè)備的工本費與該農(nóng)場10年消耗的電費之和.(1)求常數(shù)的值；(2)寫出的解析式；(3)當(dāng)為多少平方米時，取得最小值？最小值是多少萬元？【答案】(1)(2)(3)； 【分析】（1）根據(jù)題意可知時，，代入即可求得的值；（2）根據(jù)題意可知，由此化簡可得；（3）分段討論的最小值，從而得到的最小值及的值.【詳解】（1）依題意得，當(dāng)時，，因為，所以當(dāng)時，，所以，解得，故的值為.（2）依題意可知，又由（1）得，，所以.（3）當(dāng)時，，顯然在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故；綜上：，此時，所以當(dāng)為平方米時，取得最小值，最小值是萬元. 

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