2022-2023學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，下列說法正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解方程可求得集合，由元素和集合關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】由得：或，，則，，.故選：B.2．函數(shù)的定義域為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.3．已知冪函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)m的值為（    ）．A． B． C． D．2【答案】D【分析】結(jié)合冪函數(shù)的定義、單調(diào)性求得正確答案.【詳解】是冪函數(shù)，所以，當(dāng)時，，在上遞減，符合題意.當(dāng)時，，在上遞增，不符合題意.綜上所述，的值為，D選項正確.故選：D4．若關(guān)于x的不等式成立的充分條件是，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】D【分析】根據(jù)充分條件列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】成立的充分條件是，則，，所以.故選：D5．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（    ）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.        6．下列不等式中正確的是（    ）A． B．的最小值為C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式及取特殊值逐項分析即可.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確，，當(dāng)且僅當(dāng)無解，故取不到最小值2，故選項B錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C不正確；取時，不成立，故D不正確.故選：A.7．若＝2，則tan＝（    ）A．－ B．C． D．－【答案】A【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)已知求得，再結(jié)合正切的和角公式和倍角公式，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以＝2，即，所以tan α＝，所以tan 2α＝，所以tan＝＝－，故選：.【點睛】本題考查倍角公式、和角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬綜合基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)，則（    ）A．的最大值為，最小值為B．的最大值為，無最小值C．的最大值為，無最小值D．的最大值為，最小值為【答案】C【分析】在同一坐標(biāo)系中先畫出與的圖象，然后根據(jù)定義畫出，就容易看出有最大值，無最小值，解出兩個函數(shù)的交點，即可求得最大值.【詳解】在同一坐標(biāo)系中先畫出與的圖象，然后根據(jù)定義畫出的圖象（圖中實線部分）由圖象可知，當(dāng)時，取得最大值，由得或（舍去），此時函數(shù)有最大值，無最小值．故選：C． 二、多選題9．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點問題，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，觀察交點可得交點在和區(qū)間上.故選：BC.10．已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A、B、D選項可直接利用基本不等式判斷是否正確，C選項可通過基本不等式進(jìn)行計算并判斷出是否正確.【詳解】A．因為，所以，所以，取等號時，故正確；B．因為，取等號時，故正確；C．因為，取等號時，故錯誤；D．因為，所以，取等號時，故正確.故選：ABD.【點睛】本題考查基本不等式鏈的簡單運(yùn)用，難度一般.當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.11．關(guān)于函數(shù)，下列敘述正確的是（    ）A．其圖像關(guān)于直線對稱B．其圖像可由圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>得到C．其圖像關(guān)于點對稱D．其值域是【答案】BD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，故A錯誤；對于B，函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，可得，故B正確；對于C，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：BD.12．已知函數(shù)，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1【答案】BCD【解析】由解析式得到函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)各分段的性質(zhì)有，，，即可知正確選項.【詳解】由函數(shù)解析式可得圖象如下：∴由圖知：，，而當(dāng)時，有，即或2，∴，而知：，∴，.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用分段函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象，由二次函數(shù)、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)確定的范圍及關(guān)系. 三、填空題13．若命題“，使得成立”是假命題，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【分析】由題意先找到等價命題“,都有恒成立”,再求的最小值即可.【詳解】“,使得成立”是假命題等價于“,都有恒成立”是真命題．因為,即的最小值為1,要使“恒成立”,只需,即．故答案為：【點睛】本題主要考查了特稱命題的否定與恒成立問題,屬于簡單題型.14．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是_________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性可得，根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】解：由題意可得，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：.15．已知角的終邊上的一點，則的值為___________.【答案】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，原式可化簡為可求解.【詳解】因為角的終邊上的一點，所以，所以.故答案為：.16．某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少至少達(dá)7000萬元，則，x 的最小值_______【答案】20【詳解】把一月份至十月份的銷售額相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的銷售總額為:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以xmin=20.  四、解答題17．求值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）5．【解析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計算即得解；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡計算即得解.【詳解】（1）原式＝；（2）原式＝.【點睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18．已知全集，集合，集合.（1）求；（2）若集合，且集合與集合滿足，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）化簡集合，按照補(bǔ)集，并集定義，即可求解；（2），得，結(jié)合數(shù)軸，確定集合端點位置，即可求解.【詳解】（1）∵；∴；∴；（2）∵，∴；∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查集合間的運(yùn)算，以及由集合關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；(2)最大值為，最小值為． 【分析】（1）先通過降冪公式化簡得，進(jìn)而求出最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）通過，求出，進(jìn)而求出最大值和最小值.【詳解】（1），∴函數(shù)f（x）的最小正周期為，令，k∈Z，則，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．（2）∵，∴，則，∴，∴函數(shù)f（x）的最大值為，最小值為．20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)若，，求的值.【答案】(1)最大值為，最小值為(2) 【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化簡得，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求得的最值；（2）先利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再利用倍角公式求得，進(jìn)而利用正弦的和差公式求得.【詳解】（1）因為，又，所以，故，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）因為，，所以，所以，，所以.21．已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求常數(shù)的值；（2）若對任意都有成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義由求解.（2）設(shè)函數(shù),利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求得其值域，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)對任意都有成立，由求解【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即，或，當(dāng)時，函數(shù)，無意義，舍去，當(dāng)時，函數(shù)，定義域（-∞，-2）∪（2，+∞），滿足題意，綜上所述，.（2）設(shè)函數(shù)，因為函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，因為對任意都有成立，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查奇偶性的定義的應(yīng)用，對數(shù)型函數(shù)值域的求法以及不等式恒成立問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22．如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點C，已知AB長為4米，AD長為3米，設(shè)．(1)要使矩形花壇AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)要使矩形花壇AMPN的擴(kuò)建部分鋪上大理石，則AN的長度是多少時，用料最??？（精確到0.1米）(3)當(dāng)AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出最小值．【答案】(1)(2)(3)，最小面積48平方米 【分析】（1）利用得到，然后得到，解不等式即可；（2）結(jié)合（1）得到擴(kuò)建部分的面積，然后利用基本不等式得到面積最小時的長度；（3）利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）由題可知，所以，又，所以，，所以，，，解得或，由題意得，所以的長的范圍為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)為6米時，用料最省.（3），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)為6米時，矩形花壇的面積最小，最小為48平方米. 

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