某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2023年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動，為設(shè)計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該市某高中學(xué)生征集活動方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用．方案如下：將一個4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎一次中獎的禮品價值為η．(1)求P(ξ＝3)．(2)凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎．記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎，獲得價值50元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎，獲得價值10元的禮品，其他情況不獲獎．求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的分布列與數(shù)學(xué)期望．[規(guī)范解答]解：(1)64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色，所以P(ξ＝3)＝＝＝． 4分(2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6，η的取值為50,30,10,0， 5分P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝， 6分P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝， 7分P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝， 8分P(η＝0)＝1－－－＝． 9分所以，隨機變量η的分布列為η5030100P所以E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝．12分第一步：確定隨機變量的所有可能值；第二步：求每一個可能值所對應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顧、查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范．類型一　統(tǒng)計與概率的綜合問題某手機廠家生產(chǎn)A，B，C三種型號的手機，每種型號手機又分為標準版和Pro版兩個版本，某月的產(chǎn)量(單位：部)如表： A型號B型號C型號標準版200650NPro版300350600該廠質(zhì)檢部門采用分層隨機抽樣的方法從這個月生產(chǎn)的手機中抽取100部，其中A型號手機20部．(1)求N的值；(2)在C型號手機中采用分層隨機抽樣的方法抽取5部手機，再從這5部手機中任意抽取2部，求至多有1部手機為Pro版的概率；(3)該手機廠家所在城市的質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督部門從B型號手機中采用簡單隨機抽樣的方法抽取了8部手機，經(jīng)相關(guān)技術(shù)部門進行檢測，這8部手機的綜合質(zhì)量得分分別為9.2,8.8,8.5，9.0，9.3,9.2,8.6,9.4(滿分均為10分)．將這8部手機的得分看成一個整體，若這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的概率低于0.65時，則該型號的手機不能投入市場．請通過計算判斷B型號手機是否能投入市場？解：(1)由分層隨機抽樣的性質(zhì)得＝，解得N＝400．(2)在C型號手機中采用分層隨機抽樣的方法抽取5部手機，則標準版抽取5×＝2(部)，Pro版抽取5×＝3(部)，再從這5部手機中任意抽取2部，樣本點總數(shù)n＝C＝10，至多有1部手機為Pro版包含的樣本點個數(shù)m＝CC＋C＝7，所以至多有1部手機為Pro版的概率p＝＝．(3)這8部手機的綜合質(zhì)量得分分別為9.2,8.8,8.5，9.0，9.3,9.2,8.6,9.4(滿分均為10分)，將這8部手機的得分看成一個整體，該整體平均得分為＝×(9.2＋8.8＋8.5＋9.0＋9.3＋9.2＋8.6＋9.4)＝9，這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的綜合質(zhì)量得分有9.2,8.8,9.0,9.3,9.2，共5個，所以這8部手機中，與該整體平均得分之差的絕對值不超過0.3的概率p＝≈0.625<0.65，所以B型號手機不能投入市場．類型二　回歸分析問題我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金，現(xiàn)該企業(yè)為了解年研發(fā)資金投入額x(單位：億元)對年盈利額y(單位：億元)的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額xi和年盈利額yi的數(shù)據(jù)．通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y＝α＋βx2；②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．令ui＝x，vi＝ln y(i＝1,2，…，10)，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好；(2)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程(回歸系數(shù)精確到0.01)．解：(1)若選擇模型①y＝α＋βx2，ui＝x，故可得其相關(guān)系數(shù)r1＝＝≈0.87．若選擇模型②y＝eλx＋t，vi＝ln y，故可得其相關(guān)系數(shù)r2＝＝＝≈0.92，則|r1|<|r2|，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y＝eλx＋t的擬合程度更好．(2)先建立v關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，由y＝eλx＋t得ln y＝λx＋t，即＝x＋．＝≈0.18，＝－＝5.36－×26＝0.56，故v關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝0.18x＋0.56，故ln ＝0.18x＋0.56，即＝e0.18x＋0.56，故y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為＝e0.18x＋0.56．類型三　獨立性檢驗問題2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國人民普遍關(guān)注的大事，因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機構(gòu)將每天關(guān)注這件大事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中隨機抽取了100人進行分析，得到下表(單位：人)： 天文愛好者非天文愛好者合計女20 50男 15 合計  100(1)將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并依據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，能否認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)；(2)現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層隨機抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，求其中至少有1人是“天文愛好者”的概率．附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)填寫表格如下： 天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100零假設(shè)為H0：“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得χ2＝＝≈9.091>7.879＝x0.005．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．(2)按分層隨機抽樣抽取的5人中：2名為“天文愛好者”，編號為a，b；3名為“非天文愛好者”，編號為1,2,3，則從這5人中隨機選出3人，所有可能結(jié)果如下：ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23,123，共10種情況，其中至少有1人是“天文愛好者”的有9種，所以概率為．類型四　分布列、均值與方差某城市A公司外賣配送員底薪是每月1 800元，設(shè)一人每月配送的單數(shù)為X．若X∈[1,300]，每單提成3元；若X∈(300,600]，每單提成4元；若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2 100元，設(shè)一人每月配送單數(shù)為Y．若Y∈[1,400]，每單提成3元；若Y∈(400, ＋∞)，每單提成4元．小王想在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在2021年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1　A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2　B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資(單位：元)為f(X)，B公司外賣配送員月工資(單位：元)為g(Y)，當(dāng)X＝Y且X，Y∈(300,600]時，比較f(X)與g(Y)的大小關(guān)系．(2)將甲、乙4月份的日送餐量的頻率視為對應(yīng)公司的外賣配送員日送餐量的概率．①計算外賣配送員甲和乙的日送餐量的數(shù)學(xué)期望E(x)和E(y)；②請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王做出選擇，并說明理由．解：(1)當(dāng)X＝Y且X，Y∈(300,600]時，g(Y)＝g(X)．當(dāng)X∈(300,400]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0；當(dāng)X∈(400,600]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0．所以當(dāng)X∈(300,400]時，f(X)>g(Y)；當(dāng)X∈(400,600]時，f(X)<g(Y)．(2)①甲的日送餐量x的分布列為x131416171820P乙的日送餐量y的分布列為y111314151618P則E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16，E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14．②小王應(yīng)選擇B公司．理由如下：E(X)＝30E(x)＝480,480∈(300,600]．E(Y)＝30E(y)＝420,420∈(400，＋∞)．所以A公司外賣配送員的平均月薪約為1 800＋4E(X)＝3 720(元)，B公司外賣配送員的平均月薪約為2 100＋4E(Y)＝3 780(元)．因為3 720<3 780，所以小王應(yīng)選擇做B公司外賣配送員． 

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