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高三年級知識清單
數(shù)學(xué)





一平面截正方體所得圖形

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目錄
必修模塊 1
第一章集合與常用邏輯用語 1
一.子集 1
二．含有一個量詞的命題的否定 1
第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式 1
第三章函數(shù)的概念和性質(zhì) 1
一.奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì) 1
二.函數(shù)的對稱性 1
1.常用結(jié)論 1
2.函數(shù)圖象的對稱與周期關(guān)系常見結(jié)論 2
三．函數(shù)的周期性 2
第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 2
一.指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 2
二．對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 2
三.函數(shù)的零點 2
第五章三角函數(shù) 2
一.扇形 2
二.三角函數(shù)的概念 3
三.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 3
四.兩角和與差的正弦、余弦、正切 3
五.二倍角的正弦、余弦、正切 3
六.降冪公式 3
七.輔助角公式： 3
八.誘導(dǎo)公式在△ABC中的應(yīng)用 3
九.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 4
第六章平面向量及其應(yīng)用 4
一、向量的定義及表示 4
二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 4
三.向量共線定理 5
四．向量夾角的判斷 5
五．正余弦定理及其變形 5
1.正弦定理 5
2.余弦定理 5
六.三角形面積公式 5
七.解三角形所涉及的其他知識. 5
1.正三角形 5
2.判斷三角形形狀 6
第八章立體幾何初步 6
一.空間幾何體的直觀圖 6
1.斜二測畫法的步驟 6
2.原圖與直觀圖的關(guān)系 6
二.簡單幾何體的表面積與體積 6
1.旋轉(zhuǎn)體的表面積 6
2.柱體、錐體、臺體的體積公式 7
三.球的切、接問題（常見結(jié)論） 7
四、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 8
1、三個基本事實： 8
2、基本事實1和基本事實2的三個推論 8
3、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 8
4、空間中直線與平面的位置關(guān)系 8
5、空間中平面與平面之間的位置關(guān)系 8
6、空間中的平行問題 9
7、空間中的垂直問題 9
第九章 統(tǒng)計 10
一、四數(shù)三差 10
選擇性必修模塊 11
第一章 空間向量與立體幾何 11
一、 共面向量 11
二、空間向量 11
三、空間向量求角 11
四、空間向量求距離 12
第二章 直線與圓知識梳理 12
一、直線方程（知識梳理） 12
1.直線的平行與垂直 12
2.三個距離公式 12
3.解決過定點問題常用的三種方法 12
4.直線系方程 13
二．圓的方程 13
1.圓的方程 13
2.直線與圓 13
3.圓與圓的位置關(guān)系 13
4.與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題 14
5.其它結(jié)論 14
三.圓的切線方程常用結(jié)論 14
1.點與切線 14
2.圓系方程 14
第三章 圓錐曲線的方程 15
一、橢圓知識梳理 15
二、雙曲線（知識梳理） 16
三、拋物線（知識點梳理） 17
第四章 數(shù)列 19
一.基礎(chǔ)知識梳理 19
二.求通項的方法 20
1.公式法 20
2.知與的關(guān)系 20
3.累加法： 適用于： 20
4.累乘法： 20
5.形如型的遞推式： 21
6.分式型 21
三.求和的方法 21
1.公式法： 21
2.倒序相加法： 21
2.分組轉(zhuǎn)化法 21
3.裂項相消法 22
（1）等差型 22
（2）根式型 22
（3）指數(shù)型 22
（5）對數(shù)型 22
（6）冪型 22
4.錯位相減法 23
第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 23
一．導(dǎo)數(shù)定義： 23
二．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 23
三．常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 23
四．導(dǎo)數(shù)的四則運算和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 23
五．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用： 24
1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 24
2.利用導(dǎo)數(shù)求極值： 24
3.利用導(dǎo)數(shù)求最值：比較端點值和極值 24
六．導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的一些常見關(guān)系 24
七.證明不等式 25
八.不等式恒（能）成立問題 25
（1）能分離參數(shù)時求參數(shù)取值范圍的方法： 25
（2）不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后不能求最值—最值轉(zhuǎn)化法 25
（3）含全稱、存在量詞不等式恒成立問題的解題方法 25
九.常見的構(gòu)造函數(shù)方法有如下幾種： 25
(1)利用和、差函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù) 25
(2)利用積、商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù) 25
(3)利用積、商函數(shù)求導(dǎo)法則的特殊情況構(gòu)造函數(shù) 26
第六章 計數(shù)原理 26
1.排列數(shù)公式： 26
2.排列應(yīng)用問題的主要方法 26
3.組合數(shù)公式： 26
4.組合數(shù)性質(zhì) 26
5.階乘 26

三． 二項式定理 27
1．二項式定理 27
2．二項式系數(shù)的性質(zhì) 27
3．賦值法 27
第七章 隨機(jī)變量及其分布 27
1．條件概率的定義 27
2.概率乘法公式 28
3.全概率公式 28
4.離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì) 28
5.離散型隨機(jī)變量的均值與方差 28
6.三種分布（二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布） 28
第八章 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 29
1. 樣本相關(guān)系數(shù) 29
2.獨立性檢驗 30
3.一元線性回歸模型 30
4.殘差與殘差分析 30











必修模塊
第一章集合與常用邏輯用語
一.子集： 若一個集合含有n個元素，則子集個數(shù)為2n個，非空子集個數(shù)為（2n-1）個，非空真子集個數(shù)為（2n-2）個。
數(shù) 集
自然數(shù)集 N
正整數(shù)集N*(或N＋)
整數(shù)集Z
有理數(shù)集Q
實數(shù)集R

二．含有一個量詞的命題的否定
一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：
(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式
第三章函數(shù)的概念和性質(zhì)
一.奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)
（1） 奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱；
（2） 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之亦成立；
（3） 奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性 相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性 相反。
（4） 若奇函數(shù)的定義域內(nèi)包含0，則f(0)= 0
（5） 奇函數(shù)的最大值與最小值之和等于0
（6） 若f(x)是偶函數(shù)，則
（7） 若函數(shù)f(x)的解析式是整式，則奇函數(shù)的解析式中沒有偶次項 （奇中無偶）；偶函數(shù)的解析式中沒有奇次項（偶中無奇）
（8）奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)
【注】利用奇偶性求函數(shù)解析式的思路：若已知f(x)的奇偶性和一個區(qū)間[a，b]上的解析式，求關(guān)于原點對稱的區(qū)間[-b，-a]上的解析式：①設(shè)-x∈[a，b]，則x∈[-b，-a]；②將-x代入已知區(qū)間[a，b]上的解析式中得f(-x)；根據(jù)函數(shù)的奇偶性與f(x)、f(-x)的關(guān)系求出f(x).
二.函數(shù)的對稱性
1.常用結(jié)論
①若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.
②若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.
③若函數(shù)y=f(x+a)是奇函數(shù),即f(-x+a)=-f(x+a),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱.
?若函數(shù)f(-x+a)+f(x+a)=2b,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)中心對稱.
2.函數(shù)圖象的對稱與周期關(guān)系常見結(jié)論
①若函數(shù)y=f(x)的兩條對稱軸方程分別為x=a,x=b,則函數(shù)的一個周期為T=2|a-b|;
②若函數(shù)y=f(x)的兩個對稱中心分別為(a,0), (b,0),則函數(shù)的一個周期為T =2|a-b|;
③若函數(shù)y=f(x)的一條對稱軸方程為x=a,一個對稱中心為點(b,0),則函數(shù)的一個周期為T=4|a-b|.
三．函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.
（2）周期性的常用結(jié)論
設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R,a>0.
①若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的一個周期為2a. ②若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的一個周期為2a.
③若f(x+a)=1f(x),則函數(shù)的一個周期為2a. ④若f(x+a)=-1f(x),則函數(shù)的一個周期為2a.
第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
一.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
1．正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:amn＝nam(a＞0，m，n∈N×，n＞1)
2.運算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q
二．對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
（1）運算性質(zhì)①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)
（2）換底公式logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)
三.函數(shù)的零點
1.概念：對于函數(shù)y=f(x)（x∈D），把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y= f(x)（x∈D）的零點。
2.函數(shù)零點的意義：
方程f(x)=0有實根 ? 函數(shù)y= f(x)的圖像與x軸有交點 ? 函數(shù)y= f(x)有零點
3.函數(shù)零點的求法：
代數(shù)法：求方程f(x)=0的實數(shù)根
幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y= f(x)的圖像聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。
第五章三角函數(shù)
一.扇形
弧長公式和扇形面積公式：弧長:l=αR ； 扇形的面積：S=12lR=12αR2
其中R 是扇形的半徑，α（0b>0)
圖形


頂點


軸
長軸為2a ，短軸為2b
焦點


離心率
（離心率越大，橢圓越扁）
通徑
（過焦點且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段,最短的焦點弦
焦點三角形
面積：若,則，當(dāng) 最大時，即為短軸端點時面積最大

周長：L= 2a+2c
三邊：（1）

（2）

a+c, a-c.
焦點弦長
（為直線的傾斜角）

中點弦
點差法：, （焦點在x軸上）
周角定理
點A，B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A，B的一點，若直線PA，PB的斜率存在且不為0，則（焦在X）


橢圓焦半徑
，，
巧設(shè)方程
1.共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為 ：
。
2.與橢圓共離心率的橢圓方程可設(shè)為：
其它：1.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
2.若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則.
3.若過焦點F的直線與橢圓相交與點A,B，且 ,則有 或； （為通徑）

二、雙曲線（知識梳理）
雙曲線
（符號表示）：
x
O
F1
P
B2
B1
F2
的關(guān)系：.
標(biāo)準(zhǔn)方程
x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)
圖形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1


頂點
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
軸
實軸為2a，虛軸軸為2b
離心率
（離心率越大，開口越大）
漸近線
，焦點到漸近線距離為b.
，焦點到漸近線距離為b.
通徑
（過焦點且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段），最短的焦點弦
焦點三角形
面積：若,則

周長：，
焦點弦長
（為直線的傾斜角）

中點弦
點差法：,
周角定理
點A，B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A，B的一點，若直線PA，PB的斜率存在且不為0，則（焦在X）

等軸雙曲線
當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；
巧設(shè)方程
1.若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為(也是共離心率和共淅近線方程）
（，焦點在x軸上； ，焦點在y軸上）
2.與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是
焦半徑公式
PF1=ex0+a，PF2=ex0?a
其它：(1)過雙曲線上一點的切線: ： 斜率為。
（2）若過焦點F的直線與橢圓相交與點A,B，則 （為通徑）

三、拋物線（知識點梳理）
方程
()
()
()
()
圖形
x
O
F
P
y


O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

對稱軸
軸
軸
軸
軸
焦點




準(zhǔn)線




焦半徑




焦點弦








二級結(jié)論
若AB為拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,F為拋物線的焦點,A,B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),弦中點為M(x0,y0),則:
(1)x1x2= p24 ，y1y2= -p2 ， 1|AF|+1|BF|為定值2p.
(2)|AB|=2psin2θ(θ為弦AB的傾斜角).S△AOB=p22sinθ(θ為弦AB的傾斜角).
(3)|AB|=x1+x2+p,因為x1+x2≥2x1x2=p,所以當(dāng)x1=x2時,|AB|取得最小值,最小值為2p,此時弦AB垂直于x軸,所以拋物線的焦點弦中通徑(垂直于拋物線對稱軸的焦點弦叫做拋物線的通徑)最短.
(4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直,且交點在準(zhǔn)線上..
（7）阿基米德三角形：過拋物線上兩點A（x1，y1）B（x2，y2）
作拋物線的切線，交點為P，則△ABC稱為拋物線的阿基米德三角形。其中，AB稱為阿基米德三角形的底邊，P為該阿基米德三角形的頂點。則有性質(zhì)
（1）切線PA與PB的交點P的坐標(biāo)為（y1y22p，y1+y22）；
（2）Q為AB中點，則直線PQ平行或重合X軸；















第四章 數(shù)列
一.基礎(chǔ)知識梳理

等差數(shù)列
等比數(shù)列
定義
(為常數(shù),)

遞推
公式


通項
公式
或
（）或
中項
成等差數(shù)列的充要條件：
成等比數(shù)列的充要條件：
前n
項和
；


重
要
性
質(zhì)
①
②等和性：若（、、、），則
③若（、、），則．
④構(gòu)成等差數(shù)列.
①
②等積性：若（、、、），
則
③若（、、），則
④構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列.
單
調(diào)
性：
設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則
d>0是遞增數(shù)列；
d0,則 (1)
(2)如果B和C是兩個互斥事件,則
(3)設(shè)和B互為對立事件,則.
2.概率乘法公式：
由條件概率的定義，任意兩個事件A與B ,若P(A)>0，則,我們稱上式為概率的乘法公式.當(dāng)事件A與B相互獨立時，
概率的加法公式：任意兩個事件A與B ，，
當(dāng)事件A與B互斥時，，
當(dāng)事件A與B對立時
3.全概率公式
一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件B?Ω，有，稱該公式為全概率公式．
4.離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)
(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率n為X的概率分布列，簡稱分布列．
(2)分布列的性質(zhì):(1) (2)
5.離散型隨機(jī)變量的均值與方差
(1)隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望:.若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)隨機(jī)變量X的方差: ，若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則Y也是隨機(jī)變量，且有D(aX＋b)＝
6.三種分布（二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布）
（1）若X服從兩點分布，則．
（2）重伯努利試驗：在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行次，各次實驗間互不影響，每次實驗只有兩種結(jié)果，要么發(fā)生，要么不發(fā)生，任何一次實驗中發(fā)生的概率都是一樣的
二項分布： 則
定義：在重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為：


0
1
…

…




…

…

（3）超幾何分布(不放回抽樣)：
件產(chǎn)品中含件次品，任意抽取件，期中恰有件次品的概率
k=m,m+1,...,r
設(shè) 則 ，
（4）正態(tài)分布 ，則
正態(tài)曲線的特點：
①非負(fù)性：對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．
②定值性：曲線與x軸之間的面積為1.
③對稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．
⑤位置：當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.
⑥體型：當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ較小時曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.
正態(tài)分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．
原則：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
第八章 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
1. 樣本相關(guān)系數(shù)

?樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為．
?當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；
?當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．
注意點：?當(dāng)|r|＝1時，表明成對樣本數(shù)據(jù)都在一條直線上，即兩個變量之間滿足一種線性關(guān)系．
?當(dāng)r＝0時，表明成對數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．
2.獨立性檢驗
解決實際問題的主要環(huán)節(jié)：
（1）零假設(shè)（或原假設(shè)）：兩個分類變量獨立；
（2） 2×2列聯(lián)表：

y1
y2
合計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c+d
合計
a+c
b＋d
a+b +c+d
(3)公式：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d.
(4)查表（題目中會給出）：常用臨界值表如下：

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（5）基于小概率值的檢驗規(guī)則是：
當(dāng)時，我們推斷不成立，即認(rèn)為不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；
當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，即可以認(rèn)為獨立.

3.一元線性回歸模型
回歸直線方程必過樣本點的中心（x，y）
將稱為Y關(guān)于x的線性回歸方程其中
4.殘差與殘差分析
（1）殘差：對于響應(yīng)變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得到的 稱為預(yù)測值,觀測值減去預(yù)測值稱為殘差，即 .
（2）殘差平方和法
殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.
(3)利用刻畫回歸效果
決定系數(shù)R是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，代表解釋變量客戶預(yù)報變量的能力.，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差。

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