2022-2023學年安徽省江南十校高二下學期5月階段聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．過點且與直線平行的直線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】與直線平行，計算出斜率，用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】直線的斜率為-2，所以所求直線的方程為，即.故選：A.2．已知隨機變量，其正態(tài)曲線如圖所示，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的圖形，利用正態(tài)分布的對稱性求解作答.【詳解】隨機變量，由圖知，而，所以.故選：D3．我國古代數(shù)學家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它是世界數(shù)學史上光輝的一頁，定理涉及的是整除問題.現(xiàn)有如下一個整除問題：將1至2023這2023個數(shù)中，能被3除余1且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為（    ）A．133項 B．134項 C．135項 D．136項【答案】C【分析】由，變形得到的通項公式，從而得到不等式組，求出此數(shù)列的項數(shù).【詳解】由題意得：能被3除余1數(shù)為1，4，7，10,……，故，，被5除余2的數(shù)為2，7，12，17，……，故，，由，；，，故，，由，得，又，故此數(shù)列共有135項，故選：C4．圓與圓的位置關系是（    ）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】先將兩圓化為標準方程，再根據(jù)兩圓的位置關系判定即可.【詳解】兩圓化為標準形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.5．隨機變量滿足，且，則與的值分別為（    ）A． B．3，4 C．4，3 D．【答案】A【分析】根據(jù)二項分布的均值和方差公式求得，而，再根據(jù)均值和方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故選：A.6．2023年亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國浙江杭州舉行，杭州亞運會吉祥物是一組承載深厚底蘊和充滿活力的機器人，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，融合了杭州的歷史人文?自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.現(xiàn)將編號為的6個吉祥物機器人贈送給3名亞運會志愿者留作紀念，若要求每名志愿者至少獲得1個吉祥物且1號和2號吉祥物被贈送給同一名志愿者，則不同的贈送方法數(shù)為（    ）A．36 B．72 C．114 D．150【答案】D【分析】根據(jù)先分組再分配的方法計算即可.【詳解】由題意1號和2號吉祥物被贈送給同一名志愿者，將1號和2號捆綁在一起，然后將5個吉祥物先分為3組，有兩類：，再將分好的三組分配給3名志愿者，不同的方法數(shù)為，故選：D7．如圖，三棱錐中，、所成的角為，則（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及余弦定理得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出.【詳解】因為，所以.故選：B.8．函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關系以及零點的存在性定理求解.【詳解】對函數(shù)求導可得，，記,則，當時，，則，當時，，則，所以在上，，所以，所以單調(diào)遞增，注意到，所以必存在使得，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間上必存在一個零點.綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.故選:B. 二、多選題9．關于及其展開式，下列說法正確的是（    ）A．展開式中各項系數(shù)和為1B．展開式中第11項的二項式系數(shù)最大C．展開式中第16項為D．當時，除以3的余數(shù)是1【答案】BD【分析】令，可得展開式中各項系數(shù)和，即可求解A；根據(jù)二項式系數(shù)的對稱性以及單調(diào)性即可求解B，根據(jù)二項展開式的通項公式可求解C，利用二項式的展開公式以及整數(shù)的定義可求解D.【詳解】令，可得展開式中各項系數(shù)和為，故錯誤；因為20是偶數(shù)，所以展開式中中間項第11項的二項式系數(shù)最大，故B正確；展開式中的第16項為，故C錯誤；當時，，其中能被3整除，所以除以3的余數(shù)是1，故D正確.故選：BD.10．設雙曲線，其離心率為，虛軸長為，則（    ）A．上任意一點到的距離之差的絕對值為定值B．雙曲線與雙曲線：共漸近線C．上的任意一點（不在軸上）與兩頂點所成的直線的斜率之積為D．過點作直線交于兩點，不可能是弦中點【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件可以求得雙曲線的方程，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】雙曲線的離心率為，虛軸長為，所以，解得，所以雙曲線，所以兩焦點坐標分別為，由雙曲線定義知，故A正確；雙曲線的漸近線方程是，雙曲線：的漸近線方程也是，故B正確；上的任意一點（不在軸上）設為，則，即，又兩頂點為，所以斜率之積為，故C錯誤；易知點在雙曲線的右側，此區(qū)域內(nèi)存在一條直線交于兩點，使是弦中點，故D錯誤.故選：AB11．已知數(shù)列和滿足：，記數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（    ）A．B．數(shù)列是等差數(shù)列C．D．數(shù)列最小項是第2項【答案】ACD【分析】代入首項判斷選項A，由，兩式相減結合等比數(shù)列的定義判斷B，利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式判斷C，由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象判斷D.【詳解】代入首項，可得，故A正確；由題意知，兩式相減，可得，又因為，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，故B錯誤；由數(shù)列是等比數(shù)列，可得，所以所以，故C正確；因為，所以前4項分別為，當時，因為指數(shù)函數(shù)比二次函數(shù)增長快，即的分子增加的速度比分母快，所以，所以最小項為第2項，故D正確.故選：ACD12．集合（為正整數(shù)），集合是的非空子集，定義：中的最大元素與最小元素的差稱為集合的長度，則（    ）A．當時，長度為2的集合的所有元素之和為10B．當時，含有元素1和53且長度為52的四元集合的個數(shù)為720C．當時，長度為51的所有集合的元素的個數(shù)之和為D．集合的所有子集的元素之和為【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義分不同情況分別計算判斷A,B,C選項，計算子集的元素和判斷D選項即可.【詳解】當時，長度為2的集合為，所以和為10，故A正確；當時，含有元素1和53且長度為52的四元集合，則集合為，易知有種，故B錯誤；集合的長度為51，先考慮最小元素1，最大元素52的集合，分為以下幾類：集合含有2個元素：，有種，集合含有3個元素：，有種，，依次類推，集合含有52個元素：，有種，所以滿足要求的子集元素個數(shù)之和為，運用倒序相加法可得，所以，改變最小值元素與最大元素，同理可得，所有子集的元素的個數(shù)之和都是，所以長度為51的所有集合的元素的個數(shù)之和為，故C正確；元集合的子集個數(shù)為，以元素1為例，其中一半的子集中出現(xiàn)1，另外一半的集合中不出現(xiàn)1，所以1共出現(xiàn)次，同理其他元素也是這種情形，所以集合的所有子集的元素之和為，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．已知是平面的法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為___________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求點到平面的距離.【詳解】由題意可得，所以點到平面的距離為,故答案為: .14．某大學有兩個圖書館，學生小李周六隨機選擇一圖書館閱讀，如果周六去圖書館，那么周日去圖書館的概率為0.4；如果周六去圖書館，那么周日去圖書館的概率為0.6.小李周日去圖書館的概率為___________.【答案】0.5/【分析】事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周日去圖書館，則，用全概率公式化簡計算即可.【詳解】記事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周日去圖書館，則，其中與為互斥事件，依題意，所以由全概率公式可得.故答案為：0.5. 四、雙空題15．已知函數(shù)，若，則函數(shù)在處的瞬時變化率為___________，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】          【分析】求出，求出的值，可得出在處的瞬時變化率；分、兩種情況討論，當時，直接驗證；當時，由參變量分離法可得，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，求導可得，則，即在處的瞬時變化率為.當時，恒成立，當時，成立；當時，即，記，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，所以，解得.故答案為：；. 五、填空題16．已知拋物線上的點到軸的距離比到焦點的距離小1，過的直線交拋物線于兩點，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用韋達定理證明，進而可得恒成立，即可求解.【詳解】因為拋物線上點到軸的距離比到焦點的距離小1，所以由拋物線定義可知，即，所以拋物線的方程為.易知直線的斜率顯然存在，設為，則過的直線為，聯(lián)立，得.設，則，所以，于是，由恒成立，可得恒成立，而，當且僅當，即時，等號成立，所以取得最小值0，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 六、解答題17．已知圓過三個點，過點引圓的切線，求：(1)圓的一般方程；(2)圓過點的切線方程.【答案】(1)(2)和 【分析】（1）設圓的一般方程為，代入三點的坐標，求解即可；（2）分斜率不存在和斜率存在兩種情況，再結合點線距離公式即可求解.【詳解】（1）設圓的一般方程為，代入三個點得，解得所以圓的一般方程為.（2）圓的一般方程化為標準形式為.當切線斜率不存在時，易知切線方程符合題意.當切線斜率存在時，設切線方程為，即，則依題意可得，解得，此時切線方程為，即.綜上所述，圓過點的切線方程為和.18．2022年新修訂的《中華人民共和國體育法》于2023年1月1日正式施行，其中明確要求國家優(yōu)先發(fā)展青少年和學校體育，推進體育強國和健康中國建設.某校為此積極開展羽毛球運動項目，學生甲和乙經(jīng)過一段時間訓練后進行了一場羽毛球友誼賽，比賽采用3局2勝制（即有一名運動員先勝2局獲勝），已知甲每局獲勝的概率為，且雙方約定：以取勝的運動員得3分，負者得1分；以取勝的運動員得2分，負者得1分.(1)求甲獲勝的概率；(2)比賽結束后，求乙的積分的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望： 【分析】（1）甲以取勝或以取勝，直接計算概率即可.（2）先求出的所有可能取值，然后計算取每個值的概率，從而得分布列，進而求出數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意可知甲獲勝，則以取勝或以取勝，所以甲獲勝的概率為.（2）乙的積分的取值可能為，，，，所以乙的積分的分布列為123所以數(shù)學期望為.19．如圖1，平面圖形是由矩形和等腰梯形組合而成，.將沿折起，得到圖2，其中在上，且平面，連接.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）先根據(jù)直線和平面垂直得到直線與直線垂直，然后根據(jù)題目中的數(shù)量求出，然后利用勾股定理即可證明直線與直線垂直；（2）先建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后利用向量法即可求出結果.【詳解】（1）證明：因為平面，且均在平面中，所以，所以易得.因為四邊形為矩形，，所以，因為，故.（2）以為坐標原點，的方向分別為軸，軸的正方向，以過點垂直于平面且向上的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設平面的法向量為，由，令，得.設直線與平面所成角為，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)公式得到數(shù)列為以首項為，公比為的等比數(shù)列，得到答案.（2）計算，，利用裂項相消法計算得到答案.【詳解】（1）由得，當時，，上述兩式相減可得，即.當時，，解得，所以，也符合上式.所以數(shù)列是等比數(shù)列，而，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）得，于是，所以.21．如圖，點A為橢圓的上頂點，圓，過坐標原點的直線交橢圓于，兩點.  (1)求直線的斜率之積；(2)設直線與圓交于兩點，記直線的斜率分別為，探究是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，值為 【分析】(1)設M、N的坐標，由兩點斜率公式計算斜率之積再利用橢圓方程轉化消元即可；(2)聯(lián)立直線AM與橢圓、圓的方程，利用韋達定理計算可分別表示、，再結合（1）的結論得Q    坐標，用分別表示，化簡即可得結果.【詳解】（1）設，則，則直線的斜率之積；（2）由（1）知，直線的方程為.聯(lián)立，消去可得，因為均在橢圓上，所以，即，所以，所以.設，聯(lián)立，消去可得，因為均在圓上，所以，即，所以.所以坐標將所以點坐標中的換成，可得，所以，所以，即存在實數(shù)，使得.22．已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍，并證明：【答案】(1)(2)，證明見解析 【分析】（1）先求函數(shù)的導函數(shù)，求函數(shù)單調(diào)性最后求出最值即得；（2）先根據(jù)極值點求極值點的和差，再構造函數(shù)再求導函數(shù)根據(jù)單調(diào)性證明不等式即可.【詳解】（1）對求導可得，令，得，所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以函數(shù)的最小值為；（2），求導可得，因為函數(shù)有兩個極值點，所以導函數(shù)有兩個正的零點，且在零點左右附近導數(shù)值異號，所以二次函數(shù)必有兩個正的零點，故，解得，即實數(shù)的取值范圍是.又，代入中可得，設，則，所以，即.又由（1）中可知（在取等號），所以當時，，再結合，可得，所以.綜上，成立. 

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