四川省成都市石室中學2023屆高考理科數(shù)學適應性考試(一)試題（Word版附解析）

這是一份四川省成都市石室中學2023屆高考理科數(shù)學適應性考試(一)試題（Word版附解析），共24頁。試卷主要包含了考生必須保證答題卡的整潔等內容，歡迎下載使用。
（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在本試卷和答題卡相應位置上．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答．答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的．
1. 設集合，，則（ ）
A. A=BB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡集合，再判斷各選項的對錯.
【詳解】因為，，
所以且，所以A錯，B錯，
，C錯，
，D對，
故選：D.
2. 已知復數(shù)，則共軛復數(shù)在復平面對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
化簡，求出，找到對應的坐標即可.
【詳解】
對應的點的坐標為，在第三象限
故選：C
3. 在統(tǒng)計中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比是指本月和上一個月相比較的增長率，如圖是2022年1月至2022年12月我國居民消費價格月度漲跌幅度統(tǒng)計圖，則以下說法錯誤的是（ ）

A. 在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為
B. 在這12個月中，月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個數(shù)比月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負數(shù)的個數(shù)多3
C. 在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的均值為
D. 在這12個月中，我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖分別求出消費價格月度同比數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均值；求出月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個數(shù)、月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負數(shù)的個數(shù)，再求出月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)，即可得答案.
【詳解】在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)由小到大依次為，
，
中位數(shù)為，
平均數(shù)為,
由數(shù)據(jù)可知我國居民消費價格月度環(huán)比的數(shù)據(jù)中，
有6個月的數(shù)據(jù)為正數(shù)，3個月的數(shù)據(jù)為，3個月的數(shù)據(jù)為負數(shù)，
所以月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個數(shù)比月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負數(shù)的個數(shù)多3，
且出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為 ，
故選項A，B，D正確，C錯誤，
故選：C.
4. 設，若，則（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先求出展開式第項，再由列出方程，即可求出的值.
【詳解】展開式第項，
∵，∴，
∴.
故選：A.
5. 函數(shù)是（ ）
A. 奇函數(shù)，且最小值為B. 奇函數(shù)，且最大值為
C. 偶函數(shù)，且最小值為D. 偶函數(shù)，且最大值為
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知定義域關于原點對稱，再利用同角三角函數(shù)之間的基本關系化簡可得，由三角函數(shù)值域即可得，即可得出結果.
【詳解】由題可知，的定義域為，關于原點對稱，
且，
而，即函數(shù)為偶函數(shù)；
所以，又，
即，可得函數(shù)最小值為0，無最大值.
故選：C
6. 考拉茲猜想由德國數(shù)學家洛塔爾·考拉茲在20世紀30年代提出．其內容是：任意正整數(shù)s，如果s是奇數(shù)就乘3加1．如果s是偶數(shù)就除以2，如此循環(huán)，最終都能夠得到1．如圖所示的程序框圖演示了考拉茲猜想的變換過程．若輸入s的值為5，則輸出i的值為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)程序框圖，模擬程序運算即可得解.
【詳解】模擬程序運行，
第一次循環(huán)，不成立，不成
立；
第二次循環(huán)，成立，不成立；
第三次循環(huán)，成立，則不成立；
第四次循環(huán)，成立，則不成立；
第五次循環(huán)，成立，則成立.
跳出循環(huán)體，輸出.
故選：C.
7. 已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且在上單調，則的取值集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件列式，由此求得的取值集合.
詳解】關于點對稱，所以，
所以①；
，而上單調，
所以，②；
由①②得的取值集合為.
故選：C
8. 已知，，，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】條件等式兩邊取對數(shù)后，得，再結合換底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【詳解】因為，所以，即，
所以，
當且僅當，即，時等號成立，
所以的最小值為6.
故選：B.
9. 過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，若△ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題設條件可得四邊形為矩形，設，，根據(jù)雙曲線定義和△ABF的面積可得，故可求的值.
【詳解】如圖，因為以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，
所以AB為直徑的圓的方程為，圓也過左焦點，
所以AB與相等且平分，所以四邊形為矩形，
所以．設，，則，
所以．因為，所以．
因為△ABF的面積為，所以，得，所以，
得，所以，所以，得，
所以雙曲線的漸近線方程為．
故選：D．

10. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構造函數(shù)，對求導，結合導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合單調性即可比較函數(shù)值大?。?br>【詳解】令，則，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
因為，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故選：B
11. 已知橢圓，過原點的直線交橢圓于、（在第一象限）由向軸作垂線，垂足為，連接交橢圓于，若三角形為直角三角形，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設點、，其中，，則、，分析可知，利用點差法可得出，可求得，由可求得該橢圓的離心率的值.
【詳解】如下圖所示，設點，其中，，則、，
則，，
設點，則，作差可得，
所以，，
所以，，則不互相垂直，
所以，則，所以，，
又因為，所以，，
所以，該橢圓的離心率為.
故選：B.
12. 已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，拋物線的準線上一點滿足，則（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先求出拋物線的方程，得到焦點坐標.設直線：，用點差法表示出的中點為，利用半徑相等得到：,解出k，即可求出.
【詳解】由題意知，拋物線的準線為，即，得，
所以拋物線的方程為，其焦點為.
因為直線過拋物線的焦點，
所以直線的方程為.
因為，
所以在以為直徑的圓上.
設點，，聯(lián)立方程組，
兩式相減可得，
設的中點為，則.
因為點在直線l上，
所以，所以點是以為直徑的圓的圓心.
由拋物線的定義知，圓的半徑，
因為，
所以，解得，
所以弦長.
故選：C.
【點睛】處理直線與二次曲線相交的問題：
（1）“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決大部分直線與二次曲線相交的問題；
（2）“中點弦”問題通常用“點差法”處理.
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 上海某高校哲學專業(yè)的4名研究生到指定的4所高級中學宣講習近平新時代中國特色社會主義思想．若他們每人都隨機地從4所學校選擇一所，則4人中至少有2人選擇到同一所學校的概率是______________．（結果用最簡分數(shù)表示）
【答案】
【解析】
【分析】考慮反面，4個人恰好分配到4個學校的情況，再作減法即得.
【詳解】4個人分配到4個學校的情況總數(shù)為種，4個人恰好分配到4個學校的情況為種，所以4人中至少有2人選擇到同一所學校的情況有種，所以4人中至少有2人選擇到同一所學校的概率是.
故答案為：.
14. 已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理變形得出，在以為焦點，長軸長為6的橢圓上，因此當是橢圓短軸頂點時，到的距離最大，由此可求得三角形面積最大值．
【詳解】, ，
由余弦定理得，
所以，
即，又，
所以在以為焦點，長軸長為6的橢圓上（不在直線上），
如圖以為軸，線段中垂線為軸建立平面直角坐標系，
設橢圓方程為，則，
所以，
當是橢圓短軸頂點時，到的距離最大為，
所以的最大值為，
故答案為：．
15. 如圖，在正四棱臺中，，，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積______．
【答案】
【解析】
【分析】作出正棱臺以及球的截面圖，作輔助線結合圓的切線性質，求得球的半徑，即可求得答案.
【詳解】設球O與上底面、下底面分別切于點，與面，面分別切于點，
作出其截面如圖所示，則，，
于是，
過點M作于點H，則，
由勾股定理可得︰,
所以，
所以該球的表面積，
故答案為：
16. 若關于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先將轉化為，再令構造函數(shù)，
求導得到單調性，最后參變分離得到a的取值范圍即可.
【詳解】由可得，，令，，
故在上單增，.令且，，當時，單增，
當或，單減.
又等價于，
當時，恒成立，；
當時，可得，即，；
當時，可得 ，又時，，.
綜上，，故a的最大值是.
故答案為：.
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. “雙減”政策執(zhí)行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.
（1）估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率；
（2）從全校學生中隨機選取3人，記表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
（3）設全校學生一周參加課后活動的時間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計值分別為，，，請直接寫出這三個數(shù)的大小關系.（樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值替代）
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）直接計算得到答案.
（2）概率，的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學期望得到答案.
（3）根據(jù)公式計算眾數(shù)，平均數(shù)和中位數(shù)，再比較大小即可.
【小問1詳解】
參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率.
【小問2詳解】
活動的時間在區(qū)間的概率，
的可能取值為，
，，
，.
故分布列為：
【小問3詳解】
眾數(shù)為：；
，
，
則，；
，
故
18. 已知正項數(shù)列的前項和，其中，，為常數(shù).
（1）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由退位相減法求得數(shù)列的通項公式，再由等比數(shù)列的定義進行判斷即可；
（2）先由求得，再由求得，即得數(shù)列的通項公式，再由錯位相減求和即可.
【小問1詳解】
當時，，則，
又正項數(shù)列，則且，當時，，又，則，也符合，
則，，則，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
【小問2詳解】
由（1）知：當時，，則，由可得，又正項數(shù)列可得，則，
，則，又，可得，則，時也符合，則，
則，，
兩式相減得，則.
19. 如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點，點在棱上，且.

（1）求證：四點共面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明過程見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，根據(jù)條件寫出相應點的坐標，利用空間向量基本定理即可求解；
（2）結合（1）中對應點的坐標，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.
【小問1詳解】
由，且，
取的中點，連接，則，且，
所以，又是以為直角的等腰直角三角形，
所以.
過點作，垂足為，則點為的中點，且，
因為平面平面，且平面平面，
所以平面，故以所在的直線分別為軸，軸，過點作垂直于平面的軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，
因為為棱的中點，所以，又因為點在棱上，且，
所以，則，，，
令，
則，解得，
故，則共面，且向量有公共點，
所以四點共面.
【小問2詳解】
由（1）可知，，，
設平面的法向量為，
則，即，令，則，，
所以，
設平面的法向量為，
則，即，令，則，，
所以，設平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
20. 已知橢圓C：的離心率，點，為橢圓C的左、右焦點且經(jīng)過點的最短弦長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點A，B，與直線交于點P，若，且點Q滿足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）由通徑性質、離心率和橢圓參數(shù)關系列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；
（2）討論直線斜率，設，，，為，注意情況，聯(lián)立橢圓方程應用韋達定理求，，結合、坐標表示得到，進而有求，再求坐標，應用兩點距離公式得到關于表達式求最值，注意取值條件.
【小問1詳解】
由題意，，解得，，所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無交點，不滿足條件．
設直線：，若，則則不滿足，所以．
設，，，
由得：，，．
因為，即，則，，
所以，解得，則，即，
直線：，聯(lián)立，解得，
∴，當且僅當或時等號成立
∴的最小值為5．
21. 已知函數(shù)，函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）記，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）先求出解析式，利用導數(shù)，分類討論研究函數(shù)單調性和最值，可求實數(shù)取值范圍.
【小問1詳解】
，函數(shù)定義域為R，
則且，
令，，在上單調遞增，
所以，所以的單調遞增區(qū)間為，
，，所以的單調遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
，，
則，且，
令，，
令，時，
所以在上單調遞增，
①若，，
所以在上單調遞增，所以，
所以恒成立.
②若，，
所以存在，使，
故存在，使得，
此時單調遞減，即在上單調遞減，
所以，故在上單調遞減，
所以此時，不合題意.
綜上，
實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：
1. 導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．
2.利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用.
3.證明不等式，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，那么按所做的第一題計分．
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22. 在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線 .與曲線相交于P，Q兩點.
（1）寫出曲線的直角坐標方程，并求出的取值范圍；
（2）求 的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由，代入曲線求解，然后根據(jù)直線與圓有兩個交點，由圓心到直線的距離小于半徑求解；
（2）設P，Q兩點對應的極徑由，利用韋達定理求解.
【小問1詳解】
解：因為，且曲線，
所以其直角坐標方程為，即；
當時，顯然成立；
當時，設直線方程為，圓心到直線的距離為，
因為直線與圓有兩個交點，
所以，
解得或，
因為，所以，
綜上，
【小問2詳解】
設P，Q兩點對應的極徑分別為
將，代入，
得，則，
所以 ，
因為，所以，則，
所以 的取值范圍是 .
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知函數(shù)，不等式的解集為．
（1）求的值；
（2）若三個實數(shù)，，，滿足．證明：
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）依題意可得，即可得到方程組，解得即可；
（2）由（1）可知，則，利用柯西不等式即可證明.
【小問1詳解】
∵不等式的解集為，
∴，即，∴，經(jīng)檢驗得符合題意.
【小問2詳解】
∵，
∴
，
由柯西不等式可知：
，
∴，
即，
當且僅當，，時等號成立.