2022-2023學(xué)年湖北省宜昌市協(xié)作體高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由通項(xiàng)公式取即可.【詳解】因?yàn)?/span>所以 故選：C.2．若，則（    ）A．20 B．21 C．30 D．35【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)求得n，再根據(jù)組合數(shù)公式求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，解得或（舍去），所以,故選：D.3．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式逐項(xiàng)求解即可.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤； ，故D正確.故選：D.4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（    ）A．155 B．160 C．290 D．310【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，再利用等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得，所以.故選：A.5．已知是兩條平行線，直線上有4個(gè)不同的點(diǎn)，直線上有5個(gè)不同的點(diǎn)，從這9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，則組成的三角形的個(gè)數(shù)是（    ）A．30 B．84 C．40 D．70【答案】D【分析】分類討論從直線上選點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】從直線上選2個(gè)點(diǎn)，直線上選1個(gè)點(diǎn)，可以組成個(gè)三角形；從直線上選1個(gè)點(diǎn)，直線上選2個(gè)點(diǎn)，可以組成個(gè)三角形；所以總共可以組成個(gè)三角形.故選：.6．若函數(shù)在上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，再結(jié)合，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，由函數(shù)在上存在極值，所以，解得或，又，所以的取值范圍是.故選：B.7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，則（    ）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列，然后根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而即可求出答案.【詳解】由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因?yàn)?/span>，所以有，解得.故選：C.8．已知是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性比較大小.【詳解】構(gòu)建，則，因?yàn)?/span>對(duì)于恒成立，所以，故在上單調(diào)遞減，由于，且，所以，即.故選：A.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：1.的形式，常構(gòu)建；的形式，常構(gòu)建；2.的形式，常構(gòu)建；的形式，常構(gòu)建. 二、多選題9．已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項(xiàng)的值可能是（    ）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)，建立不等式組，可得答案.【詳解】由題意，得，所以.故選：BC.10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在處取得極小值 D．在處取得極大值【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故C正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，故D正確.故選：ACD.11．若，則（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用賦值法，令，求出，判斷A；令和，將得到的兩式相加、相減，可判斷B、C，令計(jì)算，可判斷D.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加得，，兩式相減得，，所以B正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，D正確.故選：ABD.12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（    ）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)與的關(guān)系，即可推得，變形可得，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)時(shí)，求出，即可得出，求出，即可判斷B、C項(xiàng)；代入裂項(xiàng)可得，然后求和即可得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)， 由，得，兩式相減，得，整理可得，所以，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由B知，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，所以，故D正確.故選：AD. 三、填空題13．若3名學(xué)生報(bào)名參加天文、計(jì)算機(jī)、文學(xué)、美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選報(bào)1組，則不同的報(bào)名方式有__________ 種.【答案】64【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可算出答案.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的報(bào)名方式有（種）.故答案為：6414．某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系是，則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為__________.【答案】5【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再把代入導(dǎo)數(shù)方程即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，.故答案為：515．已知，則__________.【答案】【分析】利用賦值法即可求解.【詳解】取，得；取，得，兩式相加可得；取，得，所以.故答案為：.16．對(duì)于函數(shù)，若存在，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.若時(shí)，函數(shù)的圖象上只有1對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則__________.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價(jià)于與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，分別判定與的單調(diào)性，結(jié)合圖象分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，故原題意等價(jià)于與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；對(duì)于，則，由于，則有：令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為；分別作出與的圖象（如圖所示）.若與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，則，即，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法定睛：對(duì)于方程的根的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解． 四、解答題17．某校舉辦元旦晩會(huì)，現(xiàn)有4首歌曲和3個(gè)舞蹈需要安排出場順序.（結(jié)果用數(shù)字作答）(1)如果4首歌曲相鄰，那么有多少種不同的出場順序？(2)如果3個(gè)舞蹈不相鄰，那么有多少種不同的出場順序？【答案】(1)576種(2)1440種 【分析】（1）因?yàn)槭窍噜弳栴}，故利用捆綁法即可求得答案；（2）由于3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，故利用插空法即可求得答案.【詳解】（1）先將4首歌曲捆綁，四首歌曲內(nèi)部全排列，有種情況，再將捆綁好的4首歌曲看做一個(gè)整體與3個(gè)舞蹈排序，有種情況，所以有（種）不同的出場順序.（2）先將4首歌曲排好，有種情況，再將3個(gè)舞蹈排入4首歌曲隔開的5個(gè)空中，有種情況，所以有1440（種）不同的出場順序.18．已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可構(gòu)造方程求得的值，結(jié)合可求得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)值和極值可求得的最值，由此可得的值域.【詳解】（1），，解得：，，則，在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）由（1）知：，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，，，的值域?yàn)?/span>.19．若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】(1)(2)135 【分析】（1）根據(jù)展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，即可求出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)檎归_式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22，所以，即，解得或（舍），故的值為6，即展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)， 即.（2）由題意知展開式中通項(xiàng)公式為，令，解得，所以，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為135.20．已知數(shù)列 中 ，，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由題意得，結(jié)合等比數(shù)列定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）可求即，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）由(1)知 ，因?yàn)?/span>，所以，所以 ， ，兩式相減，得 ，所以 21．第18屆亞足聯(lián)亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是.（以下問題用數(shù)字作答）(1)若亞洲杯組委會(huì)邀請(qǐng)甲裁判組派裁判去參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問甲裁判組共有多少種不同的安排方法？(2)若亞洲杯組委會(huì)安排這6名裁判擔(dān)任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔(dān)任1場比賽的主裁判，根據(jù)回避規(guī)則，其中A不擔(dān)任第一場比賽的主裁判，不擔(dān)任第三場比賽的主裁判，問共有多少種不同的安排方法？(3)若亞洲杯組委會(huì)將這6名裁判全部安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項(xiàng)活動(dòng)，問共有多少種不同的安排方法？【答案】(1)63種(2)504種(3)540種 【分析】（1）根據(jù)可去裁判的人數(shù)結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算；（2）利用間接法，在所有排列情況下排除A擔(dān)任第一場比賽的主裁判或C擔(dān)任第三場比賽的主裁判的可能；（3）根據(jù)題意，分類討論人數(shù)的分配情況運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意知：可去名裁判，所以共有（種）不同的安排方法.（2）這6名裁判擔(dān)任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔(dān)任1場比賽的主裁判，共有種方法，若A擔(dān)任第一場比賽的主裁判的方法數(shù)為；若C擔(dān)任第三場比賽的主裁判的方法數(shù)為；若A擔(dān)任第一場比賽的主裁判同時(shí)擔(dān)任第三場比賽的主裁判的方法數(shù)為；所以A不擔(dān)任第一場比賽的主裁判，不擔(dān)任第三場比賽的主裁判，共有（種）不同的安排方法.（3）亞洲杯組委會(huì)將這6名裁判安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，則分類如下：①這6名裁判分為1人，1人，4人這三組，共有（種）不同的安排方法；②這6名裁判分為1人，2人，3人這三組，共有（種）不同的安排方法；③這6名裁判分為2人，2人，2人這三組，共有（種）不同的安排方法.綜上所述：組委會(huì)將這6名裁判安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，共有（種）不同的安排方法.22．已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值(2) 【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可求得的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義可求得結(jié)果；（2）分離變量可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；求導(dǎo)后可令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可求得的零點(diǎn)，并得到的單調(diào)性，由此可求得，化簡可得，由此可求得的取值范圍.【詳解】（1）定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，無極小值.（2）由得：，在上恒成立；令，則；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；由得：，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過分離變量的方式，將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系問題，從而利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值來求得變量的取值范圍. 

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