?2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)一中高二（19班）下學期期中考試數(shù)學試題

一、單選題
1．若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則、共軛復數(shù)定義即可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，
，.
故選：B.
2．設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出，依題意可得，即可得到不等式，解得即可.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
又，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
3．春節(jié)期間，小胡、小張、小陳、小常四個人計劃到北京、重慶、成都三地旅游，每個人只去一個地方，每個地方至少有一個人去，且小胡不去北京，則不同的旅游方案共有（????）
A．18種 B．12種 C．36種 D．24種
【答案】D
【分析】分為小胡單獨一個人旅游以及小胡和小張、小陳、小常中的1人一起旅游兩種情況討論即可.
【詳解】由題意，可分為兩種情況：
①小胡單獨一個人旅游，在重慶，成都中任選1個，有2種選法，
再將其他3人分成兩組，對應(yīng)剩下的2個地方，有種情況，
所以此時共有種；
②小胡和小張、小陳、小常中的1人一起旅游，先在小張、小陳、小常中任選1人，與小胡一起在重慶，成都中任選1個，有種情況，
將剩下的2人全排列，對應(yīng)剩下的2個地方，有種情況，
所以此時共有種，
綜上，不同的旅游方案共有種.
故選：D.
4．公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點滿足，若點的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)的坐標為，由題意計算得的軌跡方程為，根據(jù)對稱性，則圓心在直線方程上，得到，利用乘“1”法即可得到最值.
【詳解】設(shè)點的坐標為，因為，則，
即，
所以點的軌跡方程為，
因為點的軌跡關(guān)于直線對稱，
所以圓心在此直線上，即，
所以，
當且僅當，即時，等號成立.
故選：D.
5．將函數(shù)圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，若對于滿足的，，都有，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由伸縮變換結(jié)合余弦函數(shù)的圖像的特點得出和必然一個為極大值點，一個為極小值點，進而由周期得出的值.
【詳解】解：由題可得，若滿足，
則和必然一個為極大值點，一個為極小值點，
又，則，即，所以，所以．
故選：A．
6．已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，圓與線段相交于點，且被直線截得的弦長為，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點在拋物線上及拋物線的定義，利用圓的弦長及勾股定理即可求解
【詳解】由題意可知，如圖所示，

在拋物線上，則
易知，，由，
因為被直線截得的弦長為，則，
由，于是在中，

由解得：，所以．
故選：C.
7．空間中四個點、、、滿足，，且直線與平面所成的角為，則三棱錐的外接球體積最大為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求的外接圓的半徑，過作平面于，可得，可得當，，在一直線上時，三棱錐的外接球體積最大，求解即可．
【詳解】設(shè)是三角形的外接圓的圓心，因為，所以是正三角形，

則三棱錐的外接球的球心在過且與平面垂直的直線上，
由題意可得，過作平面于，
直線與平面所成的角為，，，
故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
當球心到的距離最大時，三棱錐的外接球體積最大，
所以在延長線上時，三棱錐的外接球體積最大，

設(shè)的中點為，連接，則，，
又，，
所以，，
，
三棱錐的外接球體積最大為.
故選：C．
8．已知，，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則下列大小關(guān)系正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，，，構(gòu)造函數(shù)，，，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.
【詳解】由題意可得，，，
設(shè)，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
則，從而，即，故，即，
設(shè)，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
則，即，即，
從而，即，故，即，
設(shè)，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
則，即，從而，
即，故，即.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)，，是解決本題的關(guān)鍵.

二、多選題
9．定義在上的函數(shù)滿足，，若，則（????）
A．是周期函數(shù) B．
C．的圖象關(guān)于對稱 D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)，可得，進而可得，從而可得函數(shù)的周期性，即可判斷A；結(jié)合，可得函數(shù)的對稱性，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的周期性及對稱性計算即可判斷BD.
【詳解】因為，，所以，
所以，即，
所以是周期為4的周期函數(shù)，則A正確；
在中，令，得，則，
因為，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，則C正確；
因為，所以，所以，則B錯誤；
由函數(shù)的對稱性與周期性可得，
因為，即，
所以，
則

，則D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)，可得，進而可得，從而可得是周期為4的周期函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵.
10．一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則（????）
A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨立事件
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的定義判斷AB，由組合知識求得判斷C，根據(jù)條件概率的定義求得判斷D．
【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥的，A正確；
由于是紅球有3個，白球有2個，事件發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨立，B錯；
，C正確；
事件發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．
故選：ACD．
11．已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點為在第一象限上的點，點的坐標為，為的平分線則下列正確的是（????）
A．雙曲線的方程為 B．
C． D．點到軸的距離為
【答案】ACD
【分析】由到的距離為以及漸近線方程為可求得，即可得出方程，判斷A；由可求出判斷B；結(jié)合雙曲線定義可求得，求出，即可求出，判斷C；利用等面積法可求得點到軸的距離，判斷D.
【詳解】到的距離為，，解得，
又漸近線方程為，則，結(jié)合可解得，，
則雙曲線的方程為，故A正確；
為的平分線，，故B錯誤；
由雙曲線定義可得，則可得，，
則在中，，
則，
則，即，故C正確；
在中，，
設(shè)點到軸的距離為d，則，
即，解得，故D正確．
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：是根據(jù)已知求出雙曲線方程，結(jié)合雙曲線的定義求得焦點三角形的各邊長.
12．如圖圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（????）

A．球與圓柱的體積之比為
B．四面體CDEF的體積的取值范圍為
C．平面DEF截得球的截面面積最小值為
D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為
【答案】AD
【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.
【詳解】對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；
對于B，設(shè)為點到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點，
四面體CDEF的體積，B錯誤；
對于C，過作于，如圖，而，則，

又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，
又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯誤；
對于D，令經(jīng)過點P的圓柱的母線與下底面圓的公共點為Q，連接，
當與都不重合時，設(shè)，則，當與之一重合時，上式也成立，
因此，，
則，
令，則，而，即，
因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.
故選：AD
【點睛】思路點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.

三、填空題
13．的展開式中的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】展開式中的系數(shù)是由兩部分組成，求得系數(shù)相加即可得出結(jié)果.
【詳解】的展開式中有兩項：，
則系數(shù)為.
故答案：.
14．已知甲罐中有個紅球、個黑球，乙罐中有個紅球、個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則__________．
【答案】/
【分析】由題意可求，，再根據(jù)條件概率的計算公式求解即可．
【詳解】因為甲罐中有個紅球、個黑球，所以，
因為，所以．
故答案為：．

四、雙空題
15．已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，若數(shù)列各項單調(diào)遞增，則首項的取值范圍是__________當時，記，若，則整數(shù)__________．
【答案】
【分析】根據(jù)正項數(shù)列各項單調(diào)遞增，可得出，化簡求出，由此可得首項的取值范圍；再由裂項相消法求出的表達式，然后求其范圍，即可得出答案.
【詳解】由題意，正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，

且，解得，
，
又由，
可得：．
，


．
，且數(shù)列是遞增數(shù)列，，即，
整數(shù)．
故答案為：；.

五、填空題
16．函數(shù)．若，使得成立，則整數(shù)a的最大值為________．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性得到為函數(shù)的最大值．將問題等價轉(zhuǎn)化為，再次構(gòu)造函數(shù)和，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】，易知是周期為的周期函數(shù)．
，當時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，且．
構(gòu)造函數(shù)，求得，
由基本不等式可得，當時，恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，故，所以有，
即為函數(shù)的最大值．
若，使得成立，
即，
亦即，
構(gòu)造函數(shù)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
又，所以，，所以，
令，則，構(gòu)造函數(shù)，可知在單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增．又，，
，，所以滿足條件的整數(shù)，
故整數(shù)，所以整數(shù)a的最大值為．
故答案為：.
【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

六、解答題
17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求的大??；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理進行邊角互換，然后利用誘導公式、和差公式和輔助角公式化簡得到，即可得到；
（2）利用正弦定理進行邊角互換，然后利用和差公式和二倍角公式得到，最后求范圍即可.
【詳解】（1），，
，，
，，可得，
，又，.
（2）

為銳角三角形，，解得，則，
，，.
的取值范圍是
18．已知數(shù)列的前項和滿足，
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列的前項和為，且對任意的滿足，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)求出為等比和首項均為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式求出答案；
（2）變形得到，利用裂項相消法求和得到，結(jié)合恒成立，從而得到，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）整理為，
當時，，即，解得：，
當時，，
與相減得：，
即，
故為等比和首項均為的等比數(shù)列，
所以；
（2），
故
，
因為對任意的滿足，
故只需，
解得：或，
故實數(shù)的取值范圍是.
19．如圖，已知AB'C是邊長為2的等邊三角形，D是AB'的中點，DH⊥B′C，如圖，將B'DH沿邊DH翻折至BDH.

(1)在線段BC上是否存在點F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，求三棱錐B-DCH的體積.
【答案】(1)存在，；
(2)

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的三線合一及線線垂直的性質(zhì)定理，利用平行線分線段成比例定理及線面平行的判定定理，結(jié)合面面平行的判定定理及面面平行的性質(zhì)定理即可求解；
（2）根據(jù)已知條件及線面垂直的判定定理，建立空間直線坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，分別求出平面BHC與平面BDA的法向量，利用向量的夾角公式及棱錐的體積公式即可求解.
【詳解】（1）存在點F滿足題意，且，理由如下:
在圖甲中，取B′C的中點M，連接AM，如圖所示

因為AB'C是等邊三角形， B′C的中點為M，
所以,
因為DH⊥B′C，
所以AM∥DH，
在圖乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，
所以AM∥平面BDH，且；
在線段BC上取點F使，連接MF，F(xiàn)A，如圖所示

因為，
所以MF∥BH，
又因為平面BDH，平面BDH，
所以MF∥平面BDH，
又因為MFAM=M，MF，AM平面AMF，
所以平面AMF//平面BDH，
又因為AF平面AMF，
所以AF∥平面BDH.
（2）在圖中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB?平面BHC，所以DH⊥平面BHC，以H為原點建立的空間直角坐標系，如圖所示

則H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），
設(shè)，則，
，，
設(shè)平面BDA的法向量為則
，即，
令，則，，
所以，
易知平面BHC的一個法向量
因為平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，
所以，
化簡整理得:，
所以，，，
所以B（，0，），
所以三棱錐B-DCH的高為，
又因為底面積，
所以三棱錐的體積為.
20．馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿椋屹€輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．

當賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：
(1)請直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當時，分別計算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當時，的統(tǒng)計含義．
【答案】(1)，
(2)證明見解析；
(3)時，，當時，，統(tǒng)計含義見解析

【分析】（1）明確和的含義，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結(jié)論；
（3）由（2）結(jié)論可得，即可求得，時，的數(shù)值，結(jié)合概率的變化趨勢，即可得統(tǒng)計含義.
【詳解】（1）當時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.
當時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.
（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,
,
即，
所以，
所以是一個等差數(shù)列，
設(shè)，則，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
當時，，
當時，，
當時，，因此可知久賭無贏家，
即便是一個這樣看似公平的游戲，
只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．
【點睛】關(guān)鍵點睛：此題很新穎，題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復雜，但解答并不困難，該題將概率和數(shù)列知識綜合到了一起，解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確，即可求解,
21．已知橢圓的左焦點與短軸兩端點的連線及短軸構(gòu)成等邊三角形，且橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點，直線，與軸分別交于，兩點，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意得，將點代入橢圓即可；
（2）設(shè)，，直線，則，
聯(lián)立得到韋達定理，要證直線MR與直線MB的斜率互為相反數(shù)，
即證，代入求解計算即可.
【詳解】（1）設(shè)橢圓上下頂點分別為，左焦點為，
則是等邊三角形，所以，則橢圓方程為，
將代入橢圓方程，可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)，則.
將直線代入橢圓方程，得，
其判別式，即，
.
所以要證直線MR與直線MB的斜率互為相反數(shù)，即證，


，所以.
【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，
重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
22．已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若，證明：當時，；當時，.
(2)設(shè)函數(shù)，若是的極大值點，求實數(shù)的取值范圍.
（參考數(shù)據(jù)： ）
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，再由導函數(shù)的導數(shù)的單調(diào)性和最值判斷出的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性與最值，可證命題；
（2）本題需對進行多次求導，從而確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）證明：當時，，所以.
令，則.
由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因為，所以當時，，即，
則在上單調(diào)遞減.
因為，所以當時，，當時，.
（2）由題意可得，
則，且.
令，則.
令，則.
當時，，，所以，即.
所以在上是增函數(shù)，則.
①當，即時，在上恒成立，即在上是增函數(shù).
因為，所以，所以在上單調(diào)遞增.
與是極大值點矛盾，即不符合題意.
所以當，即時，因為在上是增函數(shù)，且，

，
所以，
則當時，，即在上是減函數(shù)，從而，
故在上單調(diào)遞減.
當時，對，，，
即，，所以，
則當時，.
故在上是增函數(shù).
因為，即當時，在上是減函數(shù)，
所以，則在上單調(diào)遞增，符合是極大值點.
故所求實數(shù)的取值范圍為.

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2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)一中高一（19班）下學期期中考試數(shù)學試題含解析：

這是一份2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)一中高一（19班）下學期期中考試數(shù)學試題含解析，共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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這是一份2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)一中高一（18班）下學期期中考試數(shù)學試題含解析，共21頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)一中高二（18班）下學期期中考試數(shù)學試題含解析：

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