2022-2023學年四川省樂山市峨眉第二中學校高二下學期期中數(shù)學（文）試題 一、單選題1．設(shè)，是兩個集合，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】試題分析：若，對任意，則，又，則，所以，充分性得證，若，則對任意，有，從而，反之若，則，因此，必要性得證，因此應(yīng)選充分必要條件．故選C．【解析】充分必要條件． 2．曲線在點處的導數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用公式對求導，在某點處的導數(shù)就是把該點橫坐標代入導函數(shù)中，這里把代入即可.【詳解】解：因為，所以，在點處的導數(shù)為.故選：.3．下面程序框圖的算術(shù)思路源于《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”（如圖），若輸入，則輸出的為A． B． C． D．【答案】D【詳解】第1次執(zhí)行循環(huán)體， ，不滿足退出循環(huán)的條件；第2次執(zhí)行循環(huán)體， 不滿足退出循環(huán)的條件；第3次執(zhí)行循環(huán)體， ，不滿足退出循環(huán)的條件；第4次執(zhí)行循環(huán)體， ，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的值為5．故選D．4．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是(　　)A．10 B．11 C．12 D．16【答案】D【分析】由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【點睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識，屬于基礎(chǔ)題．5．命題，，的否定應(yīng)該是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定可得答案.【詳解】命題，，的否定是，，.故選:C.6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（    ）A． B． C． D．，【答案】A【分析】求導，根據(jù)導函數(shù)的符號確定的減區(qū)間.【詳解】，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；的減區(qū)間是；故選：A.7．已知，．若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出，然后求出，，根據(jù)是的充分條件，得出關(guān)于的不等式即可求解.【詳解】或，或.又因為是的充分條件，所以，解之得.故選：A8．已知函數(shù) 的導函數(shù)為，且滿足，則 （   ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，令，即可求解.【詳解】由，可得，所以 ，則 .故選：B.9．函數(shù)在處有極值為7，則A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3【答案】C【分析】題意說明，，由此可求得【詳解】，∴，解得或，時，，當時，，當時，，是極小值點；時，，不是極值點．∴．故選C．【點睛】本題考查導數(shù)與極值，對于可導函數(shù)，是為極值的必要條件，但不是充分條件，因此由求出參數(shù)值后，一般要驗證是否是極值點．10．函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為.所以要使，即，只需要，故選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11．已知函數(shù) 有兩個極值點，求的范圍（    ）．A．  B．  C．  D． 【答案】B【分析】原問題等價于導函數(shù)有2個零點，求導，參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的值域求解.【詳解】 ，有2個極值點等價于有2個零點，令 ，有，令，則 ，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增， 在時，取得極大值也是最大值，當x趨于時，趨于，當x趨于時，趨于0，函數(shù)大致圖像如下圖：所以，a的取值范圍是 ；故選：B.12．已知函數(shù).若過點可以作曲線三條切線，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】切點為，利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，設(shè)切線為：，可得，設(shè)，求，利用導數(shù)求的單調(diào)性和極值，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點的個數(shù)，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】設(shè)切點為，由可得，所以在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線為：，因為切線過點，所以，即，即這個方程有三個不等根即可，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點的個數(shù)，設(shè)，則由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當趨近于正無窮，趨近于0，當趨近于負無窮，趨近于正無窮，的圖象如下圖，且，要使與的圖象有三個交點，則.則的取值范圍是:.故選：A. 二、填空題13．在命題“若m＞－n，則m2＞n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個數(shù)是________．【答案】3【分析】根據(jù)命題得否命題、逆命題，逆否命題，再判斷真假,(本題舉反例說明為假命題)【詳解】若m＝2，n＝3，則2>－3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m＝－3，n＝－2，則(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題．故假命題的個數(shù)為3.【點睛】本題考查四種命題關(guān)系及其真假，考查簡單應(yīng)用以及判斷能力.14．為了了解高一、高二、高三年級學生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，三個年級學生人數(shù)之比依次為.已知高一年級共抽取了人，則高三年級抽取的人數(shù)為___________人.【答案】360【分析】根據(jù)高一年級學生所占的比例，求出，得到高三年級抽取的人數(shù)．【詳解】由已知高一年級抽取的比例為，所以，得，故高三年級抽取的人數(shù)為．故答案為：36015．若函數(shù)有兩個實根，則的取值范圍是______．【答案】【分析】參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的值域，運用幾何解釋求解.【詳解】，原問題等價于直線與曲線有2個交點，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，在處，取得極小值也是最小值，，當時， ，，當時，，當趨于時，趨于；函數(shù)的大致圖像如下：所以，k的取值范圍是 ；故答案為：.16．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有______．①是周期函數(shù)        ②在 有4個零點③在 上是增函數(shù)    ④的最小值為．【答案】②③【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，單調(diào)性和周期性逐項分析.【詳解】對于①,不存在實數(shù)T，使得，不是周期函數(shù)，錯誤；對于②， ，是偶函數(shù)，區(qū)間關(guān)于原點對稱，當時， ，令， 當時，解得，由對稱性知：在內(nèi)有4個零點，正確；對于③，當時， ，當時，是增函數(shù)，正確；對于④，時， ，令 ，當時，取得最小值，錯誤； 故答案為：②③. 三、解答題17．某高級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表： 高一年級高二年級高三年級女生373男生377370已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19．（1）求的值；（2）現(xiàn)用分層抽樣在全校抽取48名學生，則高三年級抽取多少名？【答案】（1）380；（2）12.【解析】（1）根據(jù)已知條件，根據(jù)分層抽樣是等比抽樣，即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，求得高三年級人數(shù)，再根據(jù)抽樣比即可求得結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴．（2）高三年級人數(shù)為：，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應(yīng)在高三年級抽取的人數(shù)為：人．18．已知：存在，，：任意，．(1)若為假命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若為真，為假，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先求出、為真命題時的取值范圍，為假命題，則、都為假命題，列不等式組求解即可.（2）為真，為假，則、一真一假，分類討論列不等組求解.【詳解】（1）解：真：恒過，顯然不成立，開口向下，真：，解得.為假，則假假（2），一真一假假真則有，真假則有綜上：或19．已知函數(shù)f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函數(shù)f （x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；（Ⅱ）若曲線y＝f （x）存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．【答案】（I）；（II）.【詳解】試題分析：（I）由函數(shù)的圖象過原點可求得，由在原點處的切線斜率為可得進而可求得；（II）由曲線存在兩條垂直于軸的切線得有兩個不同的根，即，可解得的取值范圍.試題解析：．（Ⅰ）由題意得，解得．（Ⅱ）∵曲線存在兩條垂直于軸的切線，∴關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴即∴∴a的取值范圍是【解析】導數(shù)的幾何意義.20．如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD的中點，將△ADE沿AE折到△APE的位置．（1）證明：AE⊥PB；（2）當四棱錐P-ABCE的體積最大時，求點C到平面PAB的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在等腰梯形ABCD中連接BD，結(jié)合已知條件可證BD⊥AE，由△ADE翻折后，根據(jù)線面垂直判定證AE⊥面POB，再由線面垂直的性質(zhì)可證AE⊥PB；（2）由，點C到平面PAB的距離為以面為底的高，而即可求出C到平面PAB的距離.【詳解】（1）證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點O，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE為等邊三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如圖，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP?平面POB，OB?平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴AE⊥PB.（2）當四棱錐P-ABCE的體積最大時，有平面PAE⊥平面ABCE；又面PAE∩面ABCE＝AE，PO?面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝，∴PB＝，∵AP＝AB＝1，∴，連接AC，則，設(shè)點C到平面PAB的距離為d，∵，∴.【點睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)證明異面直線垂直，應(yīng)用等體積法求點面距，屬于基礎(chǔ)題.21．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.22．已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：時，．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）先對求導，再對分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）時，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，令，，分別根據(jù)導數(shù)求出的最小值和的最大值即可證明不等式.【詳解】解：（1），，.當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時，由，得，由，得，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：時，要證，即要證：，，令，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.可得時，函數(shù)取得最小值，.令，，當時，，此時為增函數(shù)，當時，，此時為減函數(shù)，所以時，函數(shù)取得最大值，.與不同時取得，因此，即，.故原不等式成立.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值、分類討論方法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了利用導數(shù)證明不等式，屬于中檔題. 

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