2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市第四十中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知等比數(shù)列，…，各項(xiàng)為正且公比，則（    ）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不能確定【答案】C【分析】作差得到，判斷差的符號(hào)即得解.【詳解】，因?yàn)?/span>，，，所以．故選：C．2．若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式，結(jié)合代入法可以求出數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以該數(shù)列的周期為，于是有，故選：C3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公差為（    ）A． B．6 C．4 D．8【答案】B【分析】由等差數(shù)列的求和公式以及通項(xiàng)公式列出方程組，得出公差.【詳解】由題意可得，解得故選：B4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝，則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大值和最小值分別是（    ）A．a10，a9 B．a10，a30 C．a1，a30 D．a1，a9【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】＝當(dāng) 時(shí)， ，為正值且隨n的增大而減小，則單調(diào)遞減，故數(shù)列的前30項(xiàng)中最大值是 ，當(dāng)時(shí)， ，為負(fù)值且隨n增大而減小，則單調(diào)遞減，故數(shù)列的前30項(xiàng)中最小值是 ∴數(shù)列的前30項(xiàng)中最大值和最小值分別是；故選：A.5．在等比數(shù)列中，，公比，則與的等比中項(xiàng)是（    ）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】D【分析】先通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算，進(jìn)而可得其等比中項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以與的等比中項(xiàng)是，故選：D.6．已知均為等差數(shù)列的與的前n項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由，，即可求解結(jié)果．【詳解】因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，所以可設(shè)，，則，所以，即.故選：A7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為?公差為的等差數(shù)列，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性首先求出函數(shù)是以2為周期的函數(shù)，且，而數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則可將所求轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，從而有，即可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，即是以2為周期的函數(shù)，而，∴，又∵數(shù)列是首項(xiàng)為?公差為的等差數(shù)列，∴，∴，又∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，而，∴，∴，∴.故選：B.8．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的最小值為（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列滿足的條件求得公比，將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，設(shè)的首項(xiàng)和公比分別為 ，則，即，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：B 二、多選題9．已知數(shù)列滿足．若對(duì)，都有成立，則整數(shù)的值可能是（    ）A． B． C．0 D．1【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)列以及構(gòu)造不等式可得對(duì)都成立；分別對(duì)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)進(jìn)行分類討論即可求得的取值范圍并得出結(jié)果.【詳解】由可得，若對(duì)，都有成立，即，整理可得，所以對(duì)都成立；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，所以，即；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，所以，即；所以的取值范圍是，則整數(shù)的值可能是.故選：BC10．已知數(shù)列中，，，則以下說法正確的是（    ）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】利用遞推關(guān)系可得前4項(xiàng)，故可判斷AB，利用分組求和可判斷D，由題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可判斷C.【詳解】由及可得前四項(xiàng)為2，2，6，10，∴A選項(xiàng)正確，而，故2，2，6不為等比數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．．故D選項(xiàng)正確．因?yàn)?/span>，故，所以，故，故C選項(xiàng)正確.故選：ACD．11．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，記，，其中是高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)，可的，再根據(jù)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可求出等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而求出，即可判斷選項(xiàng)A正確；根據(jù)可得，即再利用裂項(xiàng)相消法即可求出，進(jìn)而判斷B是否正確；根據(jù)可得，，可證數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，又相當(dāng)于數(shù)列前項(xiàng)和，由此即可求出結(jié)果，進(jìn)而判斷C是否正確；根據(jù)可得，分別求出正自然數(shù)在區(qū)間，，中的通項(xiàng)公式，以及時(shí)的值，再求，即可判斷D是否正確.【詳解】由為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，即；又，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，所以，故A正確；由選項(xiàng)A可知，所以，所以，故B錯(cuò)誤；由選項(xiàng)A可知，所以，，所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以 ，故C正確；由選項(xiàng)A可知，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故D正確.故選:ACD.12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.則下列選項(xiàng)正確的為（    ）A．B．?dāng)?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列C．對(duì)于任意的，D．的最小正整數(shù)n的值為15【答案】ABD【解析】根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得，從而可得，由此可得的通項(xiàng)和的通項(xiàng)，從而可逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】由題設(shè)可得，因?yàn)?/span>，，故，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，故，所以，所以為等比數(shù)列，所以即，故，故A對(duì)，C錯(cuò).又，故，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.，，故的最小正整數(shù)n的值為15，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：題設(shè)中給出的是混合遞推關(guān)系，因此需要考慮奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系和偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，另外討論D是否成立時(shí)注意先考慮的值. 三、填空題13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則________________．【答案】【分析】根據(jù)題意列出方程組，求得的值，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到，進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以，解得，可得3，所以，所以，則，所以.故答案為：．14．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足對(duì)于任意正整數(shù)均有，求數(shù)列的前66項(xiàng)和為______．【答案】【分析】根據(jù)的關(guān)系求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】由可得，兩式相減得，，則有，因?yàn)?/span>是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，所以，所以，即，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，且，解得，所以，首項(xiàng)也滿足上式，所以，因?yàn)?/span>，所以數(shù)列的前66項(xiàng)和為，故答案為: .15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為_____________.【答案】【分析】先根據(jù)可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可得到，結(jié)合可得，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由，得，兩式相減得，而，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即.又，即，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：.16．已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，試寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：__________．【答案】（答案不唯一）.【分析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，取為非零常數(shù)列，所以令為非0常數(shù)且），即可求出是通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證數(shù)列是等比數(shù)列即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，取為非零常數(shù)列，令為非0常數(shù)且），則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，此時(shí)是等比數(shù)列，符合題意，事實(shí)上，取皆符合．例如，則，此時(shí)，為等比，符合題意，故答案為：（答案不唯一）. 四、解答題17．已知數(shù)列滿足，它的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程可以求出，進(jìn)而可以求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出通項(xiàng)公式，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而分類可以求出結(jié)果.【詳解】（1）由可知是等差數(shù)列，又因?yàn)?/span>，，則有，解得，，所以的前n項(xiàng)和，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取最小值為，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值為.（2）由（1）知，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，綜上，.18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，有，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得知，然后利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可證明出.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，有，解得，有，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，有，由，有，故有，由上知.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，在求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，一般要建立首項(xiàng)和公差的方程組，利用方程思想求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用，，成等差數(shù)列以及求出首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可；（2）由（1）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中化簡，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，即，解得或，因?yàn)?/span>各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，，則，所以，兩式相減可得，整理可得．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：. (1)求證：數(shù)列為常數(shù)列；(2)設(shè)，求.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以數(shù)列為常數(shù)列；（2）由（1）得，所以，則，則，兩式相減得，所以.21．國際足聯(lián)世界杯，簡稱“世界杯”，是由全世界國家級(jí)別球隊(duì)參與的，并具有最大知名度和影響力的足球賽事，2022年世界杯于11月21日—12月18日在卡塔爾舉行．某大學(xué)為了解本校學(xué)生對(duì)世界杯的關(guān)注程度，從學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（其中男生120名），根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果得到如下圖所示的等高規(guī)程條形圖． 關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生   女生   合計(jì)    (1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為學(xué)生是否關(guān)注世界杯與性別有關(guān)．(2)從這200名學(xué)生里對(duì)世界杯關(guān)注的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再從這8名學(xué)生中隨機(jī)選取3名參與學(xué)校足協(xié)活動(dòng)．記參與學(xué)校足協(xié)活動(dòng)的男生人數(shù)為，求的分布列與期望．附：，其中．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828 【答案】(1)表格見詳解，有(2)分布列見詳解，期望為 【分析】（1）等高規(guī)程條形圖即可完成列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可計(jì)算得到，再對(duì)比臨界值表可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到求的分布列與期望．【詳解】（1）有120名男生，則有80名女生，結(jié)合條形圖，男生中關(guān)注的有60人，不關(guān)注的有60人，女生中關(guān)注的有20人，不關(guān)注的有60人，則列聯(lián)表如下： 關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生6060120女生206080合計(jì)80120200則，又，則有的把握認(rèn)為學(xué)生關(guān)注世界杯與性別有關(guān)．（2）由（1）可知，關(guān)注的學(xué)生中，男女比例為，則抽出的8人中，男生有6人，女生有2人，則的對(duì)應(yīng)值有，則，，，則的分布列為123．22．某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點(diǎn)圖（如下圖）.1.4720.60.782.350.81-19.316.2表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型?（不必說明理由）(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x成正比，那么x為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，…，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】(1)選更適宜；(2)；(3). 【分析】（1）根據(jù)給定的散點(diǎn)圖直接選擇回歸方程類型作答.（2）由（1）中方程類型，令，求出關(guān)于的回歸直線方程即可作答.（3）由（2）的結(jié)論，列出煤氣用量關(guān)于x的函數(shù)，借助均值不等式求解作答.【詳解】（1）由于隨x的增大散點(diǎn)圖中的點(diǎn)近似地在一條曲線上逐漸下降，所以選更適宜.（2）由（1）令，于是得關(guān)于的回歸直線方程，由最小二乘法公式得：，，則關(guān)于的回歸直線方程為，所以所求回歸方程為.（3）依題意，設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，煤氣用量最小. 

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