2022-2023學(xué)年貴州省三聯(lián)教育集團(tuán)高二上學(xué)期質(zhì)量檢測考試（二）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定方程求出直線的斜率，再由斜率的定義直接計(jì)算作答.【詳解】直線的斜率為，設(shè)這條直線的傾斜角為，顯然，則，解得，所以直線的傾斜角為.故選：B2．，，若，則（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量共線求出m，n的值作答.【詳解】因?yàn)?/span>，，，則存在，使得，即，于是，解得，所以.故選：C3．斜率為2，且過直線和直線交點(diǎn)的直線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線方程為.整理為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求兩直線的交點(diǎn)，考查了直線方程的點(diǎn)斜式，屬于基礎(chǔ)題.4．已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，則的周長是（    ）A．20 B．36 C．64 D．100【答案】B【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出長短半軸長、半焦距即可作答.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸知，半焦距，依題意，的周長為.故選：B5．已知圓：平分圓：的周長，則（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用圓的圓心在兩圓的公共弦上求解．（兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程）．【詳解】由圓：平分圓：的周長可知，圓經(jīng)過圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以圓的圓心在圓與圓的公共弦上，兩圓方程相減整理得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，又圓心，所以，所以，故選：C.6．在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，所以.故選：A.7．已知曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，將代入中，得到，再根據(jù)判別式為零得到的值即可．【詳解】由，得．表示下半圓，表示過的直線，要使兩圖象有一個(gè)交點(diǎn) 必須判別式為零，將代入中，可得，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，△，，，，，當(dāng)時(shí)，與，矛盾，．故選：．8．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，，I是的內(nèi)心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．是直角三角形 B．點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為1C． D．的內(nèi)切圓的面積為【答案】D【分析】由雙曲線的定義得，，設(shè)，由余弦定理可求解，即可判斷出，再由等面積法計(jì)算內(nèi)接圓的半徑，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)和面積，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，利用距離公式可求解出.【詳解】由已知可得，，設(shè)，則，得，所以，即，所以，所以A正確；設(shè)內(nèi)接圓半徑為，則，得，所以I的坐標(biāo)為，面積為所以B正確，D錯(cuò)誤；由題意，，所以C正確；故選：D. 二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解．【詳解】解：向量，，，，故正確；，1，，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故正確．故選：．10．對于直線：，下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線斜率必定存在C．時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為D．時(shí)直線的傾斜角為【答案】BD【分析】求出過的定點(diǎn)判斷A；根據(jù)m的取值情況判斷B；當(dāng)時(shí)，求出直線的橫縱截距計(jì)算判斷C；當(dāng)時(shí)，求出直線的斜率判斷D作答.【詳解】對于A，直線：恒過定點(diǎn)，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，直線：垂直于x軸，傾斜角為，斜率不存在，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，直線：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，此時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，直線：的斜率，因此傾斜角為，D錯(cuò)誤.故選：BD11．已知圓：與直線：，下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．直線與圓不一定相交B．當(dāng)時(shí)，圓上至少有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1C．當(dāng)時(shí)，圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是D．圓心到直線距離的最大值為5【答案】AB【分析】利用直線l經(jīng)過的定點(diǎn)與圓的關(guān)系判斷A；利用圓心到直線l距離小于5判斷B；求出圓心關(guān)于l的對稱點(diǎn)判斷C；求出圓心到l的距離最大值判斷D作答.【詳解】顯然直線：過定點(diǎn)，圓：的圓心，半徑，對于A，，即點(diǎn)在圓外，因此直線與圓不一定相交，A正確；對于B，圓上至少有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到直線的距離小于5，因此，解得，即B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，直線：，令圓心關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，因此圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是，C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)A知，，當(dāng)且僅當(dāng)直線時(shí)，圓心到直線距離取得最大值，D錯(cuò)誤.故選：AB12．拋物線：的焦點(diǎn)為，為其上一動點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．的最小值為3B．拋物線上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值為3C．不存在直線，使得，兩點(diǎn)關(guān)于對稱D．若直線過焦點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值為2【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線定義計(jì)算最小值判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求出最小值判斷B；利用對稱思想探求直線的條件判斷C；設(shè)出直線方程，求出面積關(guān)系判斷D作答.【詳解】對于A，設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線，過作于，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立．所以最小值是3，A正確；對于B．設(shè)是拋物線上任一點(diǎn)，即，，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對于C，假設(shè)存在直線，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，設(shè)方程為，由得，于是，即，設(shè)，則，中點(diǎn)為，則，，必在直線上，即，，與矛盾，因此直線不存在，C正確；對于D，顯然點(diǎn)，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去y得：，設(shè)，則，于是的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此的面積有最小值2，無最大值，D錯(cuò)誤.故選：AC 三、填空題13．已知向量，，若，則________.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，求出及，再利用垂直關(guān)系的向量表示求解作答.【詳解】向量，，則，，由得：，所以.故答案為：114．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離，類比可得在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】5【分析】把平面點(diǎn)到直線距離公式類比到空間點(diǎn)到平面的距離公式：點(diǎn)，平面方程，距離．由此計(jì)算．【詳解】類比可得點(diǎn)到平面的距離．故答案為：5．15．已知圓： ，為圓上任一點(diǎn)，則的最大值為________.【答案】【分析】設(shè)，得到直線方程為，根據(jù)條件得到直線與圓有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，從而得到關(guān)于不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，則，即直線方程為，因?yàn)?/span>為圓上任一點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值為，故答案為：.16．已知點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最大值是__________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則且，計(jì)算得出，再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)即可求得的最大值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑長為，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，可得：且，由為圓的任意一條直徑可得：，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：. 四、解答題17．已知向量，，．(1)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)x的值；(2)若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)x的值．【答案】(1)或.(2). 【分析】（1）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立方程，求解即可；（2）設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算建立方程組，求解即可．【詳解】（1）解： ，因?yàn)?/span>，所以，即，解得或；（2）解：因?yàn)橄蛄?/span>與向量，共面，所以設(shè)．因?yàn)?/span>，，所以所以實(shí)數(shù)x的值為.18．已知的頂點(diǎn)，AC邊上的高BD所在直線方程為．AC邊上的中線BE所在直線方程為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及BC邊所在直線方程．【答案】(1)；(2)；. 【分析】（1）解直線BD與直線BE的方程組成的方程組，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）求出直線AC的方程，與直線BE的方程聯(lián)立求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC方程作答.【詳解】（1）依題意，點(diǎn)B是直線BD與直線BE的交點(diǎn)，由解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是.（2）因，則設(shè)直線AC的方程為，而點(diǎn)，則，解得，直線AC：，由解得，于是得邊AC的中點(diǎn)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線BC的方程為，即，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，BC邊所在直線方程.19．已知圓的圓心在直線：上，且過點(diǎn)和.(1)求圓的方程；(2)求證：直線：，與圓恒相交.【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓心坐標(biāo)及半徑作答.（2）求出直線過的定點(diǎn)，再判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系作答.【詳解】（1）因?yàn)閳A過點(diǎn)和，則圓心在線段的中垂線上，線段的中點(diǎn)，直線的斜率為，因此線段的中垂線方程為，即，由，解得，則點(diǎn)，圓半徑，所以圓的方程為.（2）直線：，即，，由解得，因此直線恒過定點(diǎn)，而，則點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒相交.20．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的一條漸近線為：．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)且與平行的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求線段的長．【答案】(1)；(2)32. 【分析】（1）根據(jù)題意，求出拋物線的交點(diǎn)，結(jié)合雙曲線焦點(diǎn)的位置，以及漸近線方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出直線的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理與拋物線焦點(diǎn)弦的公式，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，易知拋物線E的焦點(diǎn)為，故可設(shè)雙曲線C的方程為，且，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，所以，解得，，故雙曲線C的方程為.（2）由已知，可得直線m的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去y，整理得，故，因此線段AB的長為．21．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面底面，.(1)證明：平面平面；(2)已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理及線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）取的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）連接，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，則，，因?yàn)槠矫?/span>底面，平面底面，底面，則平面，平面，又平面，于是，而，則有，于是，因此，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）取邊的中點(diǎn)，連接，則，由（1）知平面，，顯然兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，因此，顯然二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值是.22．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：的長軸長為4，的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，已知點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，（，兩點(diǎn)都在軸上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求出的標(biāo)準(zhǔn)方程作答.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式推理作答.【詳解】（1）令橢圓半焦距為c，依題意，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）顯然直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：，由消去y并整理得：，設(shè)點(diǎn)，則，由得：直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，即，因此，整理得，即，化簡得：，而，有，此時(shí)直線：，即，所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為. 

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