2023年四川省瀘州市江陽區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的算術(shù)平方根是(    )A.  B.  C.  D. 2.  年月日上午，重慶至昆明高速鐵路重慶至宜賓段控制性工程瀘州沱江特大橋主跨實(shí)現(xiàn)合龍瀘州沱江特大橋全長約米，為國內(nèi)高速鐵路首次采用雙柱式型橋塔、空間扇形索面斜拉索的斜拉橋，請(qǐng)將用科學(xué)記數(shù)法表示(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列各式計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是(    )
 A. 三棱柱 B. 長方體 C. 圓錐 D. 圓柱5.  若，則下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，已知，點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合在線段上，連接，若，，則(    )A.
B.
C.
D. 7.  有五張背面完全相同的卡片，正面分別寫有數(shù)字，，，，，把這些卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，其正面的數(shù)字是奇數(shù)的概率為(    )A.  B.  C.  D. 8.  如圖，分別以的頂點(diǎn)和為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接若，，，則的周長為(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若菱形的面積為，，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B.  C. 且 D. 且11.  如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，分別過點(diǎn)，點(diǎn)作，的平行線，兩線相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的值是(    )
A.  B.  C.  D. 12.  在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上的兩點(diǎn)，，若對(duì)于，，都有，則的取值范圍是(    )A. 或 B.
C. 或 D. 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）13.  若分式的值為，則的值為______．14.  分解因式：______．15.  若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長是______ ．16.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長的最小值為______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
計(jì)算：．19.  本小題分
如圖，在?中，，，，分別是，，，上的點(diǎn)，且，求證：．
20.  本小題分
某校開展“愛讀書、讀好書、善讀書”的閱讀活動(dòng)，隨機(jī)抽取了名學(xué)生參加“平均每周課外閱讀時(shí)間”的調(diào)查，由調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息解答下列問題： 組別時(shí)間小時(shí)頻數(shù)人數(shù)組組組組組組 ______ ， ______ ；
若該校有人，試估計(jì)全?！捌骄恐苷n外閱讀時(shí)間”在范圍的學(xué)生人數(shù)；
已知組的學(xué)生中，只有名男生，其余都是女生，用列舉法求以下事件的概率：從組中隨機(jī)選取名學(xué)生，恰好都是女生．
21.  本小題分
某校將舉行跳繩比賽，需要購買、兩種跳繩已知每根種跳繩的單價(jià)比種跳繩的單價(jià)少元，元購買種跳繩的數(shù)量與元購買種跳繩的數(shù)量相等．
求購進(jìn)一根種跳繩和一根種跳繩各需多少元？
設(shè)購買種跳繩根，若學(xué)校計(jì)劃購買，兩種跳繩共根，且購買種跳繩的數(shù)量不超過種跳繩的數(shù)量的倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案．22.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．
求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；
過點(diǎn)作直線，交該反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、連接，若：：，求的長．
23.  本小題分
為了計(jì)算花園中古樹到公路的距離，某數(shù)學(xué)興趣小組在公路上的點(diǎn)處，測得古樹在東北方向；從處向正東方向行走米，到達(dá)公路上的點(diǎn)處，再次測得古樹在北偏東的方向上，求古樹到公路的距離結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：
24.  本小題分
如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接交于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．
猜想與的位置關(guān)系，并證明；
連接，若，，求的長和的半徑．
25.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
過點(diǎn)作于點(diǎn)，軸，交于點(diǎn)當(dāng)的周長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長的最大值；
已知點(diǎn)為中求得的點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把其中一個(gè)求點(diǎn)的坐標(biāo)的解答過程寫出來．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．
利用算術(shù)平方根定義計(jì)算即可求出值．
【解答】
解：因?yàn)?/span>，
所以的算術(shù)平方根是，
故選B．  2.【答案】 【解析】解：將用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：．
絕對(duì)值大于的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少，據(jù)此可以解答．
本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)一般形式為，其中，是正整數(shù)，正確確定的值和的值是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：，故錯(cuò)誤，不符合題意；
B.，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C.，故錯(cuò)誤，不符合題意；
D.，正確，符合題意，
故選：．
根據(jù)冪的運(yùn)算法則直接求解，選出正確的即可．
此題考查冪的運(yùn)算、合并同類項(xiàng)，解題關(guān)鍵是有關(guān)冪的公式為：，，．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)所給出的三視圖得出該幾何體是長方體；
故選：．
根據(jù)主視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，可判斷該幾何體是柱體，再根據(jù)俯視圖的形狀，可判斷柱體是長方體．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三視圖，如果有兩個(gè)視圖為三角形，該幾何體一定是錐體，如果有兩個(gè)矩形，該幾何體一定柱體，其底面由第三個(gè)視圖的形狀決定．
 5.【答案】 【解析】解：：，，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；
：，，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；
：，乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，正確，符合題意；
：，比如，，，，，原變形錯(cuò)誤，不符合題意．
故答案為：．
根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
此題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
，，
，
故選：．
根據(jù)可得，結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系即可得到答案．
本題考查三角形內(nèi)外角關(guān)系及平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線性質(zhì)轉(zhuǎn)換等角結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系列等式是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：從寫有數(shù)字，，，，這張卡片中抽取一張，其中正面的數(shù)字是奇數(shù)的有、、這種結(jié)果，
正面的數(shù)字是奇數(shù)的概率為．
故選：．
讓正面的數(shù)字是奇數(shù)的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．
此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，明確概率的意義是解答的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 8.【答案】 【解析】解：由題可知，是線段的垂直平分線，
，
的周長，，，
的周長，
故選：．
根據(jù)作圖痕跡判斷是線段的垂直平分線，然后將的周長轉(zhuǎn)化為的值直接求解即可．
此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是推導(dǎo)出邊相等，然后將三角形的周長轉(zhuǎn)化為線段的和來求解．
 9.【答案】 【解析】解：菱形的面積為，，
可得，解得，
在中，．
故選：．
根據(jù)菱形的面積公式求出的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半直接求出．
此題考查菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的面積公式為兩條對(duì)角線的乘積的一半是解題關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
，
解得：且．
故選：．
一元二次方程有實(shí)數(shù)根應(yīng)滿足的條件是：二次項(xiàng)系數(shù)不能為，根的判別式的值應(yīng)大于或等于，據(jù)此求解即可．
本題考查了一元二次方程的概念和根的判別式，掌握一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是不考慮二次項(xiàng)系數(shù)不能為導(dǎo)致取值范圍錯(cuò)誤．
 11.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，，
四邊形是菱形．
與垂直平分，
四邊形是矩形，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
．
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則．

設(shè)，，則，
，
∽，
，
，
，
，
．
故選：．
過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷四邊形是菱形，則與垂直平分，求出，，求得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則設(shè)，，則，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：拋物線，
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，
，，若對(duì)于，，都有，
，不關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
恒成立，即成立或成立，
或，
解得或．
故選：．
根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可得到答案．
本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)列不等式．
 13.【答案】 【解析】解：依題意得：且，
解得．
故答案是：．
分式的值為零，分子等于零且分母不等于零．
本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：分子為；分母不為這兩個(gè)條件缺一不可．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案為：．  15.【答案】 【解析】解：設(shè)兩條直角邊的長分別是，，
，，
，
直角三角形斜邊的長是．
故答案為：．
根據(jù)直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可直接設(shè)出，，根據(jù)韋達(dá)定理和勾股定理求解即可．
此題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理，解題關(guān)鍵是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為．
 16.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
，，
為直線上，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．

根據(jù)題意可畫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)時(shí)，有最小值，先計(jì)算的值，減去半徑即可直接求解．
此題考查函數(shù)和幾何綜合以及解直角三角形，解題關(guān)鍵是的函數(shù)與軸夾角為，根據(jù)銳角三角函數(shù)直接求解即可．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡，化簡絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．
本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡，化簡絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式

． 【解析】先將括號(hào)內(nèi)式子通分，再將分式除法變形為分式乘法，最后約分化簡即可．
本題考查分式加減乘除的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的運(yùn)算法則．
 19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
又，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，再由，可得，可證明≌，即可．
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：人，人．
故答案為：，；
，
估計(jì)全?！捌骄恐苷n外閱讀時(shí)間”在范圍的學(xué)生人數(shù)占，
則估計(jì)全校“平均每周課外閱讀時(shí)間”在范圍的學(xué)生人數(shù)為名．
設(shè)組的男生為，女生為，，．
畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，所有可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有種，恰好都是女生的結(jié)果有種，
恰好都是女生．
根據(jù)組的頻數(shù)和百分比可求出，用所求值減去各組人數(shù)即可求出．
用組的頻數(shù)除以，得出百分比，再乘以，即可求出答案．
畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到都是女生的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
本題考查了列表法與樹狀圖法、用樣本估計(jì)總體、頻數(shù)率分布表，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式．
 21.【答案】解：設(shè)購買一根種跳繩需元，則購買一根種跳繩需元，
根據(jù)題意，列方程得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
則元，
答：購買一根種跳繩和一根種跳繩各需元，元．
根據(jù)題意，列不等式組得：，
解得，
設(shè)購繩所需總費(fèi)用為元，則，
，
隨的增大而減少，
當(dāng)時(shí)，購繩最省錢，此時(shí)根，
則最省錢的購買方案是購買種跳繩根，購買種跳繩根． 【解析】設(shè)購買一根種跳繩需元，則購買一根種跳繩需元，根據(jù)題意易得，然后求解即可；
根據(jù)題意易得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用及分式方程的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用及分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：點(diǎn)在直線上，
，則，
點(diǎn)，
點(diǎn)在雙曲線上，
，
該反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
解：由，得，
或，則，；，，
點(diǎn)，
如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，
∽，則，
，
．
點(diǎn)在雙曲線上，
，且，
在中，，，
． 【解析】待定系數(shù)法求解析式即可；
求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證∽，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．
本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，
由題意可知，，
則，．
在中，，
在中，，
，
則，
，
，
則古樹到公路的距離約為． 【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造和，設(shè)，根據(jù)題意可得，，列出方程求解即可．
此題考查的是解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出兩個(gè)特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值解答．
 24.【答案】解：與相切，證明如下：

，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
于點(diǎn)，
，
，
，
又是的直徑，
與相切，

解：連接，，

在中，，
又，
，
≌，
，則，
在中于點(diǎn)，
，，
，
，
∽，
，

，

在中，
是的直徑，

，
，
，
．
，半徑為． 【解析】根據(jù)，可得，根據(jù)可得，即可得到，結(jié)合即可得到答案；
連接，，先證≌，結(jié)合可得，，易得∽，得到，即可求出，在中根據(jù)勾股定理求出，最后結(jié)合即可得到答案．
本題考查切線證明及圓的綜合題，全等三角形性質(zhì)與判定，三角形相似性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線根據(jù)圓的性質(zhì)找到等角等關(guān)系．
 25.【答案】解：由題意得，
，
該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
設(shè)直線的解析式為，則，
．
直線的解析式為．
令，則，
，
則在，中．
軸，
，
，
，
，
∽，
，
，
，

當(dāng)值最大時(shí)，最大．
設(shè)點(diǎn)，其中，
，
則．
當(dāng)時(shí)，的值最大，．
的最大值，
此時(shí)點(diǎn)．
滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
理由如下：只把其中一個(gè)求點(diǎn)的坐標(biāo)的解答過程寫出來．
由題意可知，該拋物線的對(duì)稱軸為直線．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，則
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，
且，
則四邊形是平行四邊形，此時(shí)是其對(duì)角線，
則滿足條件．
若是平行四邊形的一邊，
當(dāng)且時(shí)，四邊形是平行四邊形，
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或，
點(diǎn)或．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或． 【解析】利用待定系數(shù)法將 ，代入，即可求得答案；
先運(yùn)用待定系數(shù)法求出的函數(shù)表達(dá)式，設(shè) ，其中，根據(jù)點(diǎn) 在直線上，軸，可得出，再根據(jù)∽即得到的周長，再運(yùn)用二次函數(shù)最值方法即可求出答案；
分兩種情況：若是平行四邊形的對(duì)角線，若是平行四邊形的邊，分別進(jìn)行討論即可．
本題是二次函數(shù)有關(guān)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，三角形周長，相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)及平行四邊形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．
 

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