黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2023屆高三第四次模擬數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．命題，，則命題p的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，2．已知集合，，則集合B的子集的個(gè)數(shù)是（    ）A．2 B．4 C．8 D．163．函數(shù)的部分圖像大致為（    ）A． B．C． D．4．過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓相交，且將該圓分成的兩段弧長(zhǎng)之比為，則的斜率為（    ）A． B． C．或 D．或5．現(xiàn)代建筑物的設(shè)計(jì)中通常會(huì)運(yùn)用各種曲線、曲面，將美感發(fā)揮到極致.如圖所示是位于深圳的田園觀光塔，它的主體呈螺旋形，高15.6m，結(jié)合旋轉(zhuǎn)樓梯的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了建筑中的數(shù)學(xué)之美.某游客從樓梯底端出發(fā)一直走到頂部.現(xiàn)把該游客的運(yùn)動(dòng)軌跡投影到塔的軸截面，得到曲線方程為（x，y的單位：m）.該游客根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，相位的變化量為，則約為（    ）A．0.55 B．0.65 C．0.75 D．0.856．某同學(xué)有一個(gè)形如圓臺(tái)的水杯如圖所示，已知圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)為6cm，上?下底面圓的半徑分別為4cm和2cm.為了防燙和防滑，水杯配有一個(gè)杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯套的厚度）（    ）A． B． C． D．7．如圖，在平面四邊形中，，，，，，，若點(diǎn)F為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（    ）  A．1 B． C． D．28．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b），其共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)果為實(shí)數(shù)的是（    ）A． B． C． D．10．已知，，且，則（    ）A． B．C． D．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，N為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有（    ）A．若，則線段中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為B．若N到直線與到直線的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線C．若直線與所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線D．若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓12．已知數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，為公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列.記，，，，則（    ）參考公式：A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C． D． 三、填空題13．已知，則的值為______．14．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)___________．15．已知紅箱內(nèi)有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，白箱內(nèi)有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，以此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．則第3次取出的球是紅球的概率為______．16．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，短軸的長(zhǎng)為為上異于的兩點(diǎn).設(shè)，且，則的周長(zhǎng)的最大值為__________. 四、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求的值；(2)設(shè)為邊上的高，，求的最大值．18．如圖1，在梯形中，，，，，，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿折起，使，分別到點(diǎn)，的位置，得到幾何體，如圖2所示．(1)判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)若，求平面與平面所成角的正弦值．19．隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，直播帶貨成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道．某服裝品牌為了給所有帶貨網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)分配合理的服裝量，隨機(jī)抽查了100個(gè)帶貨平臺(tái)的銷售情況，銷售每件服裝平均所需時(shí)間情況如下頻率分布直方圖．  (1)求m的值，并估計(jì)這100個(gè)帶貨平臺(tái)銷售每件服裝所用時(shí)間的平均數(shù)a；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)假設(shè)該服裝品牌所有帶貨平臺(tái)銷售每件服裝平均所需時(shí)間X服從正態(tài)分布，其中μ近似為a，．若該服裝品牌所有帶貨平臺(tái)約有10000個(gè)，銷售每件服裝平均所需時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的平臺(tái)屬于“合格平臺(tái)”．為了提升平臺(tái)銷售業(yè)務(wù)，該服裝品牌總公司對(duì)平臺(tái)進(jìn)行獎(jiǎng)罰制度，在時(shí)間大于44.4分鐘的平臺(tái)中，每賣一件扣除（）元；在時(shí)間小于14.4分鐘的平臺(tái)中，每賣一件服裝獎(jiǎng)勵(lì)元；對(duì)于“合格平臺(tái)”，每賣一件服裝獎(jiǎng)勵(lì)1元．求該服裝品牌總公司在所有平臺(tái)均銷售一件服裝時(shí)至少需要準(zhǔn)備多少資金用于本次平臺(tái)銷售業(yè)務(wù)提升．附：若X服從正態(tài)分布，則，，．參考數(shù)據(jù)：．20．?dāng)?shù)列中，，，記．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前n項(xiàng)和；(3)記，求的最大值與最小值．21．已知圓心為D的動(dòng)圓經(jīng)過定點(diǎn)，且內(nèi)切于圓．(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；(2)直線與C相交于兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段于點(diǎn)Q，直線的斜率為k（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為，的面積為，若，判斷：是否為定值？并說明理由．22．曲線的曲率是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，曲線的曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，若記，則函數(shù)在點(diǎn)處的曲率為.(1)求證：拋物線（）在處彎曲程度最大；(2)已知函數(shù)，，，若，曲率為0時(shí)的最小值分別為，，求證：.
參考答案：1．A【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，即可判斷出答案.【詳解】由題意得，為全稱量詞命題，故命題p的否定是，，故選：A2．C【分析】首先確定集合的元素，再求集合的元素，根據(jù)子集個(gè)數(shù)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，的周期為4，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別是，則，因此,所以集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C3．A【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令，則，即為偶函數(shù)，又為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除D，又，故排除B、C；故選：A4．B【分析】由題得兩段弧所對(duì)的圓心角分別為和，圓心到的距離為1，設(shè)的方程為，解方程即得解.【詳解】圓心坐標(biāo)為，半徑為2，因?yàn)?/span>將該圓分成的兩段弧長(zhǎng)之比為，則兩段弧所對(duì)的圓心角分別為和，由幾何性質(zhì)可知，圓心到的距離為1，設(shè)的方程為，則，所以．故選：B5．A【分析】根據(jù)建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表達(dá)出運(yùn)動(dòng)過程的位移變化量，即可計(jì)算出的值.【詳解】由旋轉(zhuǎn)樓梯高為知，投影到軸截面上后，對(duì)應(yīng)曲線中，游客移動(dòng)的水平距離是15.6，∵初始時(shí)游客在最底端，∴當(dāng)時(shí)，初相為，∵整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，相位的變化量為，且最后游客在最高點(diǎn)，∴最后的位置，∴，解得：，故選：A.6．C【分析】先根據(jù)題意得到杯套的形狀可看作一個(gè)圓臺(tái)，求出該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)及上、下底面圓的半徑，然后結(jié)合圓臺(tái)的側(cè)面積公式、圓的面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個(gè)圓臺(tái)，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)的，即4cm，下底面圓的半徑為圓臺(tái)形水杯的下底面圓的半徑，即2cm，上底面圓的半徑是，所以杯套的表面積.故選：C.7．B【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求得，設(shè)，令，得出，利用數(shù)量積的運(yùn)算得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意得，又，在中，由余弦定理得，所以，所以，故，在中，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)?/span>，，故，因?yàn)?/span>，，所以，所以在中，，所以為等邊三角形，所以，所以，設(shè)，由題意令，即，解得，所以，所以，設(shè)，可得其對(duì)稱軸為，且開口向上，所以時(shí)，取得最小值，即的最小值為.故選：B.  8．D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在(0，1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解，則，等價(jià)于函數(shù)與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).令，則，，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在(0，1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，解得.故選：D9．BCD【分析】逐個(gè)代入化簡(jiǎn)，檢驗(yàn)虛部是否為0，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，不一定為實(shí)數(shù);對(duì)于 B， ;對(duì)于 C，;對(duì)于 D，.故選：BCD.10．BD【分析】由不等式的性質(zhì)與基本不等式對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，，，所以，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，即，，，故B正確，對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：BD11．BC【分析】A，由題意可得中點(diǎn)的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑且平行于平面的圓，計(jì)算可判斷選項(xiàng)A；B，由平面，可得即為到直線的距離，由拋物線的定義即可判斷選項(xiàng)B；C，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由與所成的角為，可得點(diǎn)的軌跡方程，從而判斷選項(xiàng)C；D，由與平面所成的角為，計(jì)算可得為定值，可判斷點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，從而判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：對(duì)于A，，，所以，則的中點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為，中點(diǎn)的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑且平行于平面的圓，其面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平面，即為到直線的距離，在平面內(nèi)，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡就是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故B正確；對(duì)于C，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，，，化簡(jiǎn)得，即，所以的軌跡為雙曲線，故C正確；對(duì)于D，與平面所成的角為，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12．BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式一一計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意易得：當(dāng)時(shí)，，，顯然時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由題意易得：，即，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得：，所以若為偶數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；若為奇數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由已知得：，故，故裂項(xiàng)可得：，所以，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考察數(shù)列的綜合，需要較高的計(jì)算能力與邏輯思維能力，屬于壓軸題.C項(xiàng)的關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)得，再將用基本不等式分類討論求最值；D項(xiàng)的關(guān)鍵在于利用條件化簡(jiǎn)得，再用裂項(xiàng)相消求和判定不等式.13．【分析】設(shè)，利用賦值法可得出的值.【詳解】令，則，因此，.故答案為：.14．（答案不唯一）【分析】取，再驗(yàn)證奇偶性和函數(shù)值即可.【詳解】取，則定義域?yàn)?/span>R，且，，，滿足.故答案為：.15．/0.504【分析】先列出所有3次的所有可能，選出符合題意要求的，而后根據(jù)題目要求逐一計(jì)算概率，即可得到第3次取出的球是紅球的概率.【詳解】3次取出的結(jié)果共有8種，分別為：（紅，紅，紅）、（紅，紅，白）、（紅，白，紅）、（紅，白，白）、（白，紅，紅）（白，紅，白）、（白，白，紅）、（白，白，白），其中第3次取出的球是紅球的情況為（紅，紅，紅）、（紅，白，紅）、（白，紅，紅）、（白，白，紅）、共4種.根據(jù)題意，，，，所以，第3次取出的球是紅球的概率.故答案為：16．8【分析】根據(jù)條件求出橢圓方程，再運(yùn)用幾何關(guān)系求出最大值.【詳解】由條件 ， ，即 ， ，設(shè) ，由題意： ，則 ， ，即 ，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， ；設(shè)左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為 ，如下圖：則 的周長(zhǎng) , ，當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立， ，l的得最大值為8；故答案為：8.17．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)余弦定理化邊為角，并通過三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，由此可求，（2）根據(jù)三角形面積關(guān)系得，再根據(jù)余弦定理得范圍，由此可求的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，∴，又，故，所以故，所以，．（2）∵，又，，所以．又由（1）知．由余弦定理得，∴（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），即．∴AO的最大值為．18．(1)存在，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)(2)． 【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，先證明平面，再證平面，由面面平行判定定理證明；（2）先證明，再以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．證明如下：由題易知，，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面．連接，因?yàn)?/span>，，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面．因?yàn)?/span>平面，平面，，所以平面平面．（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以，又，，所以，，兩兩垂直．故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，得，取，得．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得．設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，所以平面與平面所成角的正弦值為．19．(1)，(2)至少需要準(zhǔn)備6824元 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中個(gè)矩形面積之和為1，可求得m；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法即可求得平均數(shù)；（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率值，求出每個(gè)區(qū)間內(nèi)的銷售衣服的件數(shù)，結(jié)合題意可得所要準(zhǔn)備資金的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，即得答案.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得，故平均數(shù)．（2）由題意，，且，，故，所以在時(shí)間大于44.4分鐘的平臺(tái)內(nèi)約有件；，所以在時(shí)間小于14.4分鐘的平臺(tái)內(nèi)約有件；則“合格平臺(tái)”內(nèi)約有件，所以需要資金為，設(shè)（），則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故有最小值，故至少需要準(zhǔn)備6824元.20．(1)證明見解析，(2)(3)最大值與最小值分別為， 【分析】（1）只需證明等于非零常數(shù)即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，由數(shù)列的通項(xiàng)公式可以推出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列的求和問題用錯(cuò)位相減法即可解決；（3）對(duì)分奇偶討論，然后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可以求得最值.【詳解】（1）又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以即．（2）由（1）知∴，①∴，②由①－②有：∴；（3）①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，隨著n的增大而減小，則，又隨著的增大而增大，故；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，隨著n的增大而增大，則，又隨著的增大而增大，故．綜上，的最大值與最小值分別為，．21．(1)(2)為定值，理由見解析 【分析】（1）由題意可推出，根據(jù)橢圓的定義即可求得答案；（2）由可推得，從而，設(shè)，，聯(lián)立，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，即可判斷出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，由題意得圓F2的圓心為，半徑；所以，，則．所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，則，因此軌跡C方程為．（2）為定值，且；理由：由，  因此，由于不可能互補(bǔ)，所以，于是平分，直線的斜率，互為相反數(shù)，即，設(shè)，，．由，消去x，得，，即有，而，則，即于是，則，化簡(jiǎn)得：，且又因?yàn)?/span>在橢圓上，即，即：，，從而，即，又因?yàn)?/span>不在直線上，所以，則有，即，所以為定值，且．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷直線和橢圓位置關(guān)系中的定值問題，需要根據(jù)三角形面積關(guān)系推出，從而利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，但是難點(diǎn)在于復(fù)雜的計(jì)算，特別是關(guān)于字母參數(shù)的計(jì)算，十分復(fù)雜,22．(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)曲線的彎曲程度與曲率的關(guān)系，求解曲率的最大值即可；（2）根據(jù)，曲率為0可得，，再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象可得當(dāng)時(shí)有兩解，設(shè)為，且，再推導(dǎo)出，進(jìn)而將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性與最值即可.【詳解】（1）由題意，，，則，又，故當(dāng)最小時(shí)最大，此時(shí)，即拋物線（）在處彎曲程度最大.（2）由題意，，，，.若，曲率為0，則，即，分別化簡(jiǎn)可得，.令，則令有.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且.又，故有兩解，設(shè)為，，又，故.由可設(shè)，，故，，化簡(jiǎn)可得，則.要證：，即證.令，則，故在上單調(diào)遞增，故，即得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性與最值及零點(diǎn)，進(jìn)而證明不等式的問題.需要根據(jù)題意找到間的關(guān)系，平時(shí)積累常見的函數(shù)如的圖象性質(zhì)與指對(duì)數(shù)函數(shù)的常見化簡(jiǎn)如等是關(guān)鍵，同時(shí)也要注意根據(jù)零點(diǎn)的關(guān)系，，構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法. 

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這是一份2024屆黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含解析，共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023屆黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2023屆黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析，共23頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023屆黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高三第四次模擬數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2023屆黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高三第四次模擬數(shù)學(xué)試題含解析，共21頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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