安徽省合肥市第八中學2023屆高三最后一卷數(shù)學試題

這是一份安徽省合肥市第八中學2023屆高三最后一卷數(shù)學試題，共18頁。試卷主要包含了試卷結(jié)構(gòu)，若為奇函數(shù)，則，已知，其中，則，下列命題中正確是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
合肥八中2023屆最后一卷數(shù)學考生注意：1.試卷結(jié)構(gòu)：分第Ⅰ卷（選擇題）和第ⅠⅠ卷（非選擇題）：試卷分值：150分，考試時間：120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.所有答案均要答在答題卡上，否則無效.考試結(jié)束后只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個正確答案，請把正確答案涂在答題卡上）1.已知集合，則（    ）A.    B.    C.    D.2.已知復數(shù)，且為純虛數(shù)，則（    ）A.    B.    C.1    D.3.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐得到.已知，若該半正多面體的表面積為，體積為，則為（    ）A.    B.    C.2    D.4.若為奇函數(shù)，則（    ）A.3    B.2    C.    D.5.有4名女生2名男生參加學校組織的演講比賽，現(xiàn)場抽簽決定比賽順序，已知男生甲比男生乙先出場，則兩位男生相鄰的概率是（    ）A.    B.    C.    D.6.在平面直角坐標系中，為圓上的動點，定點.現(xiàn)將坐標平面沿軸翻折成平面角為的二面角，此時點翻折至，則兩點間距離的取值范圍是（    ）A.    B.    C.    D.7.已知，其中，則（    ）A.    B.C.    D.8.如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內(nèi)部及三邊上，且可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則當時，（    ）A.    B.    C.    D.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.請把正確答案涂在答題卡上）9.下列命題中正確是（    ）A.數(shù)據(jù)-1，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位數(shù)是1B.若事件的概率滿足且，則相互獨立C.已知隨機變量，若，則D.若隨機變量，則10.已知函數(shù)，對任意均有，且在上單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（    ）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在上的值域為D.若在上恒成立，則的最大值為11.如圖，為坐標原點，分別為雙曲線的左?右焦點，過雙曲線右支上一點作雙曲線的切線分別交兩漸近線于兩點，交軸于點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.B.C.D.若存在點，使得，且，則雙曲線的離心率為2或12.如圖，點是正四面體底面的中心，過點的直線分別交于點是棱上的點，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交于點，則（    ）A.存在點與直線，使B.存在點與直線，使平面C.若，其中，，則的最小值是D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則向量在向量上的投影向量為__________.14.的展開式中的常數(shù)項為__________.15.已知正項數(shù)列，其前項和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項和，設，若對任意恒成立，則的最小值是__________.16.設，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是__________.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）17.（本題滿分10分）已知數(shù)列的前項和為，請從以下三個條件中選擇一個完成解答.①數(shù)列是首項為2的單調(diào)遞減的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列；②；③.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18.（本題滿分12分）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若是的角平分線，且，求的最小值.19.（本題滿分12分）如圖，在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，又側(cè)棱，面對角線，點分別是棱的中點，.（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值.20.（本題滿分12分）當前移動網(wǎng)絡已融入社會生活的方方面面，深刻改變了人們的溝通?交流乃至整個生活方式.4G網(wǎng)絡雖然解決了人與人隨時隨地通信的問題，但隨著移動互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其已難以滿足未來移動數(shù)據(jù)流量暴漲的需求，而5G作為一種新型移動通信網(wǎng)絡，不但可以解決人與人的通信問題，而且還可以為用戶提供增強現(xiàn)實?虛擬現(xiàn)實?超高清（3D）視頻等更加身臨其境的極致業(yè)務體驗，更重要的是還可以解決人與物?物與物的通信問題，從而滿足移動醫(yī)療?車聯(lián)網(wǎng)?智能家居?工業(yè)控制?環(huán)境監(jiān)測等物聯(lián)網(wǎng)應用需求，為更好的滿足消費者對5G網(wǎng)絡的需求，中國電信在某地區(qū)推出了六款不同價位的流量套餐，每款套餐的月資費x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：套餐ABCDEF月資費1（元）384858687888購買人數(shù)y（萬人）16.818.820.722.424.025.5對數(shù)據(jù)作初步的處理，相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：75.324.618.3101.4其中，且繪圖發(fā)現(xiàn)，散點集中在一條直線附近.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；（2）已知流量套餐受關(guān)注度通過指標來測定，當時相應的流量套餐受大眾的歡迎程度更高，被指定為“主打套餐”.現(xiàn)有一家四口從這六款套餐中，購買不同的四款各自使用.記四人中使用“主打套督”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計值分別為.21.（本題滿分12分））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處的切線佮好經(jīng)過點，且對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22.（本題滿分12分）（1）若橢圓的離心率，且被直線截得的線段長為，求橢圓的標準方程；（2）橢圓，其中，若點是上的任意一點，過點作的切線交于兩點，為上異于的任意一點，且滿足，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；否則，說明理由.參考答案?提示及評分細則123456789101112DCACBBCABCDACDABBCD一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，因此，故選D.2.【答案】C【解析】復數(shù)，則，依題意得，，解得，即，所以.故選.3.【答案】A【解析】如圖，該半正多面體的表面由6個正方形和8個正三角形構(gòu)成，則其表面積，該半正多面體的體積可以由正方體截去8個三棱錐的體積計算，.故選A.4.【答案】C【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點對稱.若，則的定義域不關(guān)于原點對稱，所以的定義域為且，從而，解得.所以，定義域為.令，得.經(jīng)檢驗，為奇函數(shù)，.故選C.5.【答案】B【解析】設男生甲比男生乙先出場為事件，則，設兩位男生相鄰為事件，則男生甲比男生乙先出場且兩位男生相鄰為事件120，故在已知男生甲比男生乙先出場的條件下，則兩位男生相鄰的概率是.故選B.6.【答案】B【解析】設所在平面為，圓的另一半所在平面為，若，則三點共線時，有最小值；當在圓與軸交點時，取到最大值，即；若在上的投影為，則到面距離為，則三點共線時，有最大值，，此時；當在圓與軸交點時，有最小值，，此時；即；綜上可得，.故選B.7.【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，可得，即，即，由，可得，即，即，因為在上單調(diào)遞增，所以，故，因為在上單調(diào)遞減，，故，因為，故，即，因為，所以，因為在上單調(diào)遞減，，故，從而.故選C.8.【答案】A【解析】因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)，可得：，解得，因為正方形的面積為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，根據(jù)正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知.正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，因為正方形可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，可知正方形各個頂點均在該的內(nèi)切圓上，以的底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設，即，，，故選A.9.【答案】BCD【解析】對于選項個數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第25百分位數(shù)應該是第二個與第三個的平均數(shù)，故A錯誤；對于選項，由，可得，即，即，所以相互獨立，故B正確；對選項C，，則，故C正確；對選項D：因為隨機變量，由正態(tài)曲線的對稱性可得：，所以，所以.故D正確；故選BCD.10.【答案】ACD【解析】的圖象關(guān)于點對稱，又當時，取得最值，即的圖象關(guān)于直線對稱，又在上單調(diào)遞減，，點和直線是的圖象相鄰的對稱中心和對稱軸，設的最小正周期為，則，，又的圖象關(guān)于點對稱，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，，時，.對于選項，函數(shù)是偶函數(shù)，故正確；對于選項B，函數(shù)的最小正周期為，故B錯誤；對于選項，由圖象可知，函數(shù)在上的值域為，故C正確；對于選項D，由，得，，解得，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，，若在上恒成立，則的最大值為，故D正確.故選ACD.11.【答案】AB【解析】對于選項，先求雙曲線上一點的切線方程，不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）.由得：，所以，則在點的切線斜率為，所以在點的切線方程為：，又因為，所以在點的切線方程為：，不失一般性，設點是雙曲線在第一象限的一點，是切線與漸近線在第一象限的交點，是切線與漸近線在第四象限的交點，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立所以點，同理可得：，則，又因為，所以，即：，故A項正確；對于選項B，由A項知，，所以點是線段的中點，所以，故B項正確；對于選項，因為在點的切線方程為：，令得，所以點，則，當點在頂點時，仍然滿足，故C項錯誤；對于選項D，因為，所以，又因為，所以，解得：，即：，代入得，所以，，，所以，，解得：或6，所以離心率為或，故D項錯誤.故選AB.12.【答案】BCD【解析】對于選項，故A錯誤；對于選項，當直線平行于直線為線段上靠近的三等分點，即，此時平面，以下給出證明：在正四面體中，設各棱長為，均為正三角形，點為的中心，，由正三角形中的性質(zhì)，易得，在中，，由余弦定理得，，，則，同理，，又平面平面，平面存在點與直線，使平面，故B正確；對于選項，，當且僅當時等號成立，故C正確；對于選項，設為的中點，則，又三點共線，三點共線，三點共線，，設，則，四點共面，，又，，即，故D正確.故選BCD.13.【答案】【解析】，又，又，所以向量在向量方向上的投影向量為.故答案為.14.【答案】29【解析】因為，故所求常數(shù)項為.故答案為29.15.【答案】1【解析】由題意知，，且，則當時，，兩式相減得，因此，而，即，又，解得，數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，，，，數(shù)列是單調(diào)遞增的，，而數(shù)列是單調(diào)遞減的，，因為，不等式恒成立，則，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案為1.16.【答案】【解析】由題意知，不等式在上恒成立，令，則在上恒成立，令，所以，若，則在遞增，當時，，不等式不成立，故，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，所以，所以，所以，令，則，所以，當時，當時，，所以當時，取得最小值的最小值是.又，所求最小值是.故答案為.17.【答案】（1）【解析】（1）若選擇①，則，即，解得或，又數(shù)列單調(diào)遞減，故，此時；若選擇②，則當時，，即；當時，，即，故；若選擇③，時，則；當時，符合上式，即.（2），則，則，兩式相減得，從而有.18.【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：因為，由正弦定理可得，即，所以，而，故，因為，所以（2）解：由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，又，從而，當且僅當時，等號成立，故，因此的最小值為.19.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】（1）在和中由勾股定理知，從而可知三棱柱為直三棱柱，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，由，，知，又平面，且，故平面.（2）由，知，設平面的法向量為，則有，令，則，即；又由（1）知平面的法向量為，故求二面角的余弦值為，其正弦值為，故其正切值為.20.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）因為散點集中在一條直線附近，設回歸方程為，由，則，，故變量關(guān)于的回歸方程為.又，故，綜上，關(guān)于的回歸方程為.（2）由，解得，而，所以即為“主打套餐”.則四人中使用“主打套餐”的人數(shù)服從超幾何分布，，且.分布列為234期望.21.【答案】（1）答案見解析；（2【解析】（1）的定義域為，①當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，由得，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當過時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：由題意知，解得，則，即對任意的恒成立.定義，則，①當時，在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故成立.②當時，由解得，，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，從而時單調(diào)遞增，當時單調(diào)遞減，又，所以當時，，不合題意.故實數(shù)的取值范圍為.解法二：令，注意到，要使不等式恒成立，則在附近左側(cè)單調(diào)遞減，在附近右側(cè)單調(diào)遞增，而，所以在附近左側(cè)，在附近右側(cè)，又，所以在附近左右兩側(cè)很小的一個區(qū)間內(nèi)，遞增.設為的導函數(shù).，而，由可得，即.（這是恒成立的必要條件）下面再證其充分性：當時，因為，所以.此時在上遞增，.所以時，時，.所以時，遞減；時，遞增.故，即在上恒成立.綜上可知：對，都有成立時，.22.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】（1）由題意可知：橢圓的離心率，因此，故橢圓的方程為：，令，則橢圓的方程為：，將代入可得，因此被直線截得的線段長為，可得.所以橢圓的方程為.（2）由題意得，，①當直線斜率不存在時，直線，若，不妨設點在軸的上方，則，又，所以，代入中，得，即；若，同理亦可得.②當直線斜率存在時，設直線，由，得，由可得：，即：.，即：，由可得：，即：，，，，因為點在橢圓上，所以，，整理，得，又在上，，，又，因此.綜上所述，為定值，且.